Abelio premijos laureatai. Vartiklis

Kiti laureatai:
2009: M. Gromovas; 2010: J. Tate; 2011: J. Milnoras; 2012: Endre Szemeredi; 2013: Pierre Deligne; 2014: Jakovas Sinajus;
2016: Endriu Vailsas už Ferma didžiosios teoremos įrodymą; 2017: Yves Meyer’is už vilnelių teoriją; 2018: Robertas Langlandsas už matematikos sričių sąryšius;
2019: Karen Uhlenbeck už darbus geometrinės analizės ir kalibracinėje teorijos srityse.
2020: Hillel Furstenberg’as ir Gregory Margulis už „tikimybių, dinamikos metodų panaudojimą grupių ir skaičių teorijose bei kombinatorikoje“.
2021: vengras Laszlo Lovasz‘as (g. 1948 m.) ir Izraelio matematikas Avi Wigderson‘as (g. 1956 m.) už fundamentalų indėlį į teorinę informatiką ir diskretinę matematiką, o taip pat už jų vaidmenį jas įtvirtinant šiuolaikinėje matematikoje.
2022: amerikietis Dennis Sullivan‘as (g. 1941 m.) už „novatorišką indėlį ir atskiru atveju jos algebrinius, geometrinius ir dinaminius aspektus“.

Avi Vigderzonas (Avi Wigderson, g. 1956 m.) - Izraelio matematikas, dirbantis diskrečiosios matematikos (tame tarpe ir grafų teorijos) ir kompiuterinių mokslų (lygiagrečių ir paskirstytų skaičiavimų, neuroninių tinklų) srityje. 2021 m. gavo Abelio premiją. Nuo 1999 m. profesoriauja Prinstono Pažangių studijų inst-te. Jis įvedė nulinio žinojimo protokolo koncepciją kriptografijoje, vystė tikimybinių skaičiavimų teoriją; parodė (kartu su S. Aaronsonu), kad P ir NP klasių lygybė negali būti atmesta remiantis „algebrizacija“ – samprotavimais, paremtais tam tikro tipo orakulais.

Hilelis Furstenbergas (Hillel (Harry) Furstenberg, g. 1935 m.) - žydų iš Vokietijos kilmės matematikas, 1939 m. pasitraukęs į JAV, 1965 m. persikėlęs į Izraelį ir dirbęs Jeruzalės Hebrajų un-te. Jam paskelbus vieną ankstyvųjų straipsnių, pasklido gandai, kad tai ne autorius, o matematikų grupės pseudonimas, nes jame buvo idėjos iš daugelio matematikos sričių.
Jis kartu su G. Marguliu sukūrė „atsitiktinio judėjimo“ techniką tokių matematinių objektų kaip grupės ir grafai tyrinėjimams, t.y. įtraukė tikimybinius metodus sprendžiant atvirus uždavinius. „Atsitiktinis judėjimas“ yra kelias, kurį sudaro nuoseklūs atsitiktiniai žingsniai.

2019-ais Abelio premija skirta 76 m. amžiaus amerikiečių matematikei Karen Uhlenbeck už darbus geometrinės analizės ir kalibracinėje teorijos srityse (apie tai paskelbta buvo kovo 19 d.). Kalibracinėje teorijoje ji dirbo su Yang-Mills lygtimis dalinėmis išvestinėmis. Kalibracinė teorija plačiai naudojama šiuolaikinėje teorinėje fizikoje: el. dalelių fizikoje, stygų teorijoje ir bendrojoje reliatyvumo teorijoje. Jos darbai padeda pagrįsti dviejų pagrindinių gamtos jėgų sąveiką: elektromagnetinės ir silpnosios branduolinės.
Taip pat jos darbai pagerino minimalių paviršių (pvz., kuriuos sudaro muilo burbulai) ir bendresnius minimizacijos didesnių matavimų erdvėse klausimų supratimą (kur dirbo kartu su J. Sacks). Ji yra pirmoji moteris apdovanota Abelio premija: iš didžiųjų matematinių apdovanojimų iki tol tik M. Mirzakhani buvo gavusi Fieldso medalį (o ir iš 607 Nobelio premijų mokslo nominacijose kol kas tėra 19 moterų). Dar 2007 m. gavusi AMS Steele premiją, ji peikė matematikų bendruomenę už mažą moterų skaičių aukštose pozicijoje.

Karen Keskulla Uhlenbeck (g. 1942 m.) – amerikiečių matematikė, pirmoji moteris gavusi Abelio premiją (2019). Nuo 1987 m. dėstė Ostino Teksaso un-te (į pensiją išėjo 2014-ais). 1991 m. ji kartu su kitais įsteigė Park City Mathematics Institute (PCMI). 1990 m. buvo antrąja moterimi, kuriai buvo patikėtas Tarptautinio matematikų kongreso plenarinio posėdžio Kioto mieste pravedimas (po E. Nėter, 1932 m.). Ji buvo viena geometrinės analizės pradininkių. Ši sritis naudoja diferencialinę geometriją nagrinėjant diferencialinių lygčių sprendinius. Taip pat prisidėjo prie topologinės kvantinės lauko teorijos ir integruojamų sistemų (t.y., išsprendžiamų tiksliai) vystymo.
Nemažą dalį darbų atliko 9-me dešimtm., kai glaudžiau kalbėjosi matematikų ir fizikų bendruomenės. Uhlenbeck įvestas technikas panaudojo ir kiti premijų laureatai: S. Donaldsonas, 1986 m. Fieldso medalio laureatas, panaudojo kalibracinę teoriją 4-mačių erdvių topologijoms, o M. Gromovas, 2009 m. Abelio premijos laureatas analizavo matematinį „stygos“ analogą iš stygų teorijos, kur aptiko, kad esmine yra burbulo idėja.

2018 m. Abelio premija skirta Robertui Langlandsui už jo darbus nuo pat 1967 m. sausio mėn., kai 30-metis Prinstono profesorius per Kalėdinį laikotarpį parašė 17 psl. laišką prancūzų matematikui Andre Weil‘ui, išdėstydamas kai kurias naujas matematines įžvalgas. Jis pridėjo: Jei ketinate tai perskaityti kaip gryną spekuliaciją, aš tai įvertinsiu. Jei ne – tai esu tikras, kad po ranką turite šiukšlinę.

Laimei, laiškas nebaigė gyvenimo šiukšlinėje. Jame siūlytas ryšis tarp dviejų matematikos sričių: skaičių teorijos ir harmoninės analizės, duotas L-grupės apibrėžimas ir vadinamasis funktorialumo principas. Įžvalgos buvo tokios gilios, kad atvedė prie Langlandso programa vadinamo projekto, kuris yra nepaprastai platus, jame pasiekta puikių rezultatų ir įsitraukė labai daug žmonių (bent trys gavo Fieldso medalį; o Pierre Deligne ir Andrew Wiles gavo Abelio premijas). Apie Abelio premijos paskyrimą paskelbta kovo 20 d., o įteikimo ceremonija įvyks gegužės 22 d. Oslo un-te.

2017 m. Abelio premija skirta Yves Meyer’iui (g. 1939 m.) už vilnelių (wavelets) teoriją, - matematinį instrumentą, leidžiantį įvairią informaciją suskaidyti į paprastesnes komponentes. Tai pritaikoma daugelyje praktinių sričių – nuo vaizdų apdorojimo medicinoje iki gravitacinių bangų paieškų (pvz., atliekant akustinius matavimus). Vilnelių teorijos ištakos gana ankstyvos (A. Haar‘as vilnelės variantą aptiko dar prieš šimtmetį), tačiau Y. Meyer’is suteikė joms matematinį pagrindą.

Norvegijos MA nusprendė 2015 m. Abelio premiją skirti Dž. Nešui Jr. ir Louis Nirenberg’ui už indėlį į netiesinių diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis teoriją ir jos taikymą geometrinei analizei. Dž. Nešas (g. 1928) gerai žinomas ir darbais žaidimų teorijos rityje, sprendimų priėmimo matematiką, jam atnešusius 1994 m. Nobelio premiją ekonomikos srityje.
L. Nirenbergas (g. 1925) yra Kanadoje gimęs matematikas, prisidėjęs ir kompleksinio kintamojo analizės bei geometrijos vystymo. Jo garbei yra pavadintas asteroidas 11796, 1980 m. atrastas Krymo observatorijoje.

2014 m. Abelio premija skirta Jakovui Sinajui už indėlį tiriant dinamines sistemas, ergodinę teoriją ir matematinę fiziką. Apie premijos laureatą buvo paskelbta kovo 26 d., o premija įteikta gegužės 20 d. Osle.

Jakovas Sinajus (Yakov Sinai, g. 1935) – žydų kilmės matematikas iš Rusijos, dabar dirbantis JAV, kelių prestižinių premijų laureatas, tame tarpe ir Abelio premijos (2014). Buvo A. Kolmogorovo mokiniu.

Jis yra V. Kagano, vieno pirmųjų Rusijos matematikų, dirbusių neeuklidinės ir diferencialinės geometrijos srityse. Studijavo MVU mechanikos-matematikos fakultete, kurį baigė 1957 m. Nuo 1960 m. dirbo MGU, nuo 1971 m. – profesorius. Nuo 1993 m. – Prinstono un-to profesorius.

Dirba matematikos ir matematinės fizikos srityse stipriai panaudojant tikimybių teoriją, užsiima ergodine teorija ir kitomis statistinės fizikos sritimis. Jis vienas pirmųjų rado galimybę paskaičiuoti entropiją plačiai dinaminių sistemų klasei (Kolmogorovo-Sinajaus entropija). Didelę svarbą turi jo darbai apie geodezinius srautus neigiamo kreivumo paviršiuose. Vertingi darbai fazinių perėjimų, kvantinio chaoso teorijose.

Nemažą dėmesį skyrė biliardų pasiskirstymo teorijai. Šioje idealizuotoje sistemoje dalelytė, neprarasdama energijos, juda stačiakampiame lauke, atsitrenkdama į sieneles ir kitas daleles. Lauko viduryje yra kita apvali siena, į kurią dalekė irgi atsitrenkinėja. Buvo įrodyta, kad sistema yra erdoninė, t. y., turint begalinį laiką, ji pereis visas įmanomas būsenas.

Tarp jo mokinių garsiausias G. Margulis. Jo žmona irgi matematikė – su ja kartu parašyti keli straipsniai.

2013 m. Abelio premija skirta belgui Pierre Deligne (iš Pažangių studijų instituto, Prinstonas, JAV) „už žymų indėlį į algebrinę geometriją ir jos keičiantį poveikį skaičių teorijai, atvaizdavimų teorijai bei susijusioms sritims“. Jis žinomas savo darbais, susijusiais su Weil teiginiais, kurie atvedė prie jų galutinio įrodymo 1973 m.
Premija įteikta 2013 m. gegužės 21 d. Osle.

Pierre René Deligne gimė 1944 m. spalio 3 d. Etterbeek'e, Belgijoje. Jau 12 m. amžiaus pradėjo skaityti brolio matematines knygas. Pamatęs jo susidomėjimą, mokytojas 14-mečiui Deligne davė N. Burbaki „Matematikos elementus“. Tėvas norėjo, kad jis tampų inžinieriumi ir užsitikrintų sau gyvenimą. Tačiau jis įstojo Université libre de Bruxelles (ULB) ir ketino tapti dėstytoju. Matematiką jis ketino turėti kaip hobį. Tačiau universitete suprato, kad pragyventi galime ir „žaidžiant“, t. y., užsiimant matematika.

Po doktorato dirbo Aukštesniųjų mokslo studijų institute (IHES) prie Paryžiaus, pradėjęs darbus Zaiskio pagrindinės teoremos apibendrinimų srityje. 1968 m. kartu su Jean-Pierre Serre pasiekė 'svarbių rezultatų L-funkcijų srityje. Taip pat dėmesį skyrė ir Hodge teorijai. Jis įvedė svorius ir patikrino juos su kompleksinės geometrijos objektais. Bendradarbiavo su David Mumford'u kurdami naują Rymano paviršių modulių apibrėžimą. Jų darbai buvo tarsi įvadas į algebrinių ryšulių (stacks) teoriją, - ir neseniai imta žiūrėti apie jos taikymus klausimams, kylantiems iš stygų teorijos. Tačiau didžiausias Deligne indėlis yra buvo jo trečiojo ir paskutinio A. Weil teiginių įrodymas, kuris užbaigė A. Grothendieck'o inicijuotą programą.
Ta proga susipažinkite su susijusiu Rymano hipotezės paaiškinimu

1970-84 m. persikėlė į Prinstono Pažangių tyrimų institutą ir tuo metu jis atliko svarbių darbų algebrinės geometrijos srityje. Savo darbuose derino skirtingų teorijų pasiekimus. 1978 m. Deligne skirtas Fieldso medalis. Kiti jo gauti apdovanojimai: Krafordo premija (1988), Balzan premija (2004), Wolf premija (2008) ir, pagaliau, Abelio premija (2013). 2006 m. Belgijos karalius Albertas II Deligne suteikė viskonto titulą.

2012 m. Abelio premiją gavo vengrų kilmės JAV dėstantis matematikas Endre Szemeredi už „indėlį diskrečiajai matematikai ir informatikai bei jo gilaus ir kaip ilgalaikio indėlio į adityvinę skaičių teoriją ir ergodiką pripažinimo ženklą“. Ją jam Osle 2012 m. gegužės 22 d. įteikė Norvegijos karalius Haraldas V. Ceremonijos metu kalbas pasakė Norvegijos mokslo ir tyrinėjimų ministras K. Halvorsenas, MA prezidentas N. Stenseth‘as ir Abelio premijos komiteto vadovas R. Piene. Endre Szemeredi, mathematician

Endre Szemeredi (g. 1940) – vengrų kilmės matematikas, dirbantis kombinatorikos ir teorinės informatikos srityse.

Gimė 1940 m. rugpjūčio mėn. 21 d. Budapešte. Į matematiką atėjo vėlai – pradžioje medus studijavo mediciną, dirbo fabrike. Budapešto un-te magistro laipsnį gavo 1965 m., tada Maskvos M.V. Lomonosovo vardo un-te 1970 m., vadovaujant I. Gelfandui, apgynė kandidatinę disertaciją. Nuo 1986 m. yra informatikos profesorius Rutgerso un-te.

Jo vardu pavadinta Szemeredi teorema (skaičių teorijoje; kombinatorikoje; įrodyta 1975 m.), Szemeredi reguliarumo lema (grafų teorijoje), Erdos-Szemeredi teorema (kombinatorikoje), Hajnal-Szemeredi teorema (grafų teorijoje), Szemeredi-Trotter teorema (kombinatorinėje geometrijoje).

2010 m. Szemeredi 70-mečio proga A. Renyi vardo Matematikos institutas ir Janos Bolyai Matematikos draugija Budapešte surengė konferenciją, kurios proga išleista jam pašvęsta knyga „Nepaprastas protas“ (An Irregular Mind)).

Michailas Gromovas 2009 m. kovo mėn. 19 d. gavo 684 tūkst. eurų vertės Norvegijos Abelio premiją „už revoliucinį indėlį į geometriją“. Abelio premijos komitetas apibūdino, kad jis „nuolat nagrinėjo naujus uždavinius ir nuolat kėlė naujas idėjas senų problemų sprendimui“. M. Gromovas yra trečiasis Prancūzijos matematikas, gavęs šią prieš 6 m. įsteigtą premiją - po Jean Pierre Serre (2003 m.) ir Jacques Tits;o kartu su John Griggs Thompson'u (2008 m.).

Michailas Gromovas (g. 1943 m.) prancūzų-rusų matematikas, V. Rochlino mokinys, nusipelnęs daugeliui matematikos sričių. Jis laikytinas geometru labai plačia prasme. Didžiausias jo indėlis yra geometrinių grupių teorijai, kurioje įvedė naują hiperbolinės grupės sąvoką, o taip pat simpleksinėje topologijoje, į kurią įvedė pseudoholomorfines kreives, bei Rymano geometrijoje. Tačiau gilinosi ir į matematinę analizę bei algebrą, kuriose problemas neretai formulavo „geometrijos“ terminais.

Gimė 1943 m. gruodžio 23 d. Boksitogorske (Leningrado srityje). 1965 m. baigė Leningrado universitetą, kur 1969 m. apsigynė kandidatinę, o 1973 m. ir daktarinę disertacijas. Jame iki 1974 m. kai emigravo į JAV, dirbo docentu. Nuo 1982 m. dirbo profesoriumi Prancūzijos Aukštųjų Mokslinių Tyrinėjimų Institute (IHES). Dabar yra nuolatinis IHES narys, o taip pat Niujorko universiteto matematikos profesorius. Už nuopelnus geometrijai yra apdovanotas Lobačevskio (1997 m.), Volfo (1993 m.), Balcano (1999 m.), Kioto (2002 m.) ir Abelio (2009 m.) premijomis.

Ergodinė teorija - matematikos šaka, kuri nagrinėja dinaminių sistemų elgseną ilgo laikotarpio ribose. Šiuos tyrimus pradėjo dar L. Bolcmanas statistinės fizikos srityje kilus poreikiui pakeisti fazinius vidurkius fazinėje erdvėje laiko vidurkiais. Terminas „ergodinis“ kilęs iš graikų kalbos žodžių „ergon“ (darbas) bei „odos“ (takas, kelias) ir buvo įvestas L. Bolcmano jo hipotezės (didelėms sąveikaujančių dalelių sistemoms laiko vidurkis atskirai trajektorijai lygus erdvės vidurkiui) kontekste. Hipotezė nebuvo teisinga ir pradėtos tirti sąlygos, kurioms tie dydžiai lygūs.

Ji prasidėjo, kai A. Puankarė pateikė „sugrįžimo“ teoremą, kad bet kuri sistema per pakankamą, tačiau baigtinį laiką, pasieks pusiausvyros (stabilią) būseną, greičiausiai, artimą pradinei, o beveik visi bet kurio jos poaibio taškai vėl sugrįš (kuo ne Nyčės „amžinojo sugrįžimo“ pagrindimas?). Dviem svarbiomis teoremomis joje tapo Dž. Birkhofo (1931) bei Dž. fon Neimano (1932), nusakančios laiko trukmę kiekvienai trajektorijai.

Ergodinė teorija dažnai nagrinėja ergodines transformacijas. Birkhofo teorema teigia, kad ergodinėms transformacijoms visiems pradiniams taškams „laiko vidurkis lygus erdviniam vidurkiui“, t.y., kad visiems pradiniams taškams laiko vidurkiai konverguoja į tą pačią ribinę reikšmę. Specialiai ergodinių sistemų klasei laiko vidurkis yra vienodas beveik visiems pradiniams taškams – statistiškai kalbant, per ilgą laiką sistema „pamiršta“ savo pradinę būseną.
Kita svarbia teorijos dalimi yra sistemų klasifikacija.

Ergodinė teorija imta naudoti įvairiose matematikos šakose. Jos taikymas kitose matematikos srityse paprastai susijęs su ergodiškumo savybių nustatymu specialaus ipo sistemoms. Geometrijoje jos metodais nagridėjami geodeziniai srautai Rymano daugdarose, pradedant E. Hopfo rezultatais neigiamo kreivumo paviršiams. Markovo grandinės yra bendru pagrindu taikymams tikimybių teorijoje. Taip pat produktyvūs ryšiai su harmonine analize, Li teorija (reprezentacijos, gardelės algebrinėse grupėse) bei skaičių teorijoje (diofantinės aproksimacijos, L-funkcijos).

Ergodiškumo pavyzdys elektronikoje.
Kiekvienas rezistorius turi savąjį terminį triukšmą, priklausantį nuo temperatūros. Paimkim N (kai N gana didelis) rezistorių kiekį ir ilgą laiką leiskime srovę per tuos rezistorius. Kiekvienam rezistoriui gausime bangos formą – paskaičiuokime jos vidurkį. Tai duoda laiko vidurkį. Turime N bangų formų – tai sudaro rinkinį. Tad apaimkime konkretų laiko momentą ir paskaičiuokime vidutinę įtampą. Jei ši lygi laiko vidurkiui, tada rinkinys ergodinis.

Demografijoje ergodiškumu vadina savybę, išreiškiančią amžiaus struktūros stabilizacijos per ilgą laiką dėsningumą esant nekintančiam gimimų ir mirimų santykiui.

Į literatūrą terminą „ergodinis“ atnešė norvegas E.J. Aarsethas. Ergodinėje literatūroje reikalinga netriviali pastanga, leidžianti skaitytojui perskaityti ir išanalizuoti tekstą. Tekstas nėra linijinis, jis labiau primena hipertekstą. Skaitydamas ergodinį tekstą žmogus turi persikelti per skirtingus knygos lygius. Ergodinėje literatūroje nėra jokio diskurso, kol skaitytojas jo nesukuria. Čia ypač reikšmingas skaitytojo vaidmuo, nes šis literatūros tipas reikalauja iš skaitytojo tam tikrų pastangų (netrivalių-neįprastų). Neužtenka tik versti puslapius ir judinti akis. Puikus pavyzdys Julio Cortasaro romanas „Žaidžiame klases“.

Robertas Langlandsas (Robert Phelan Langlands, g. 1936 m.) – Kanados matematikas dirbantis Prinstono Pažangių studijų institute. Langlandso programa - platus hipotezių ir teoremų, jungiančių atvaizdavimų, automorfinių grupių ir Galua grupių teorijas, tinklas.
1960 m. pradėjo dirbti Prinstono un-te, kur užsiėmė automorfinėmis formomis, o taip klasių laukų teorija. Po 1967 m. laiško A. Veilui, pora metų praleidęs Ankaroje (Turkija), grįžo į Jeilą, kur vystė funktorialumo ir abipusiškumo idėjas. 1972 m. ėmė dirbti Prinstono PSI. 9-o dešimt. viduryje dėmesį sutelkė perkoliacijai ir konformaliam invariantui – teorinės fizikos sritims. Paskutiniu laiku grįžo prie savo ankstesnių idėjų, tų, kurias jis vadina „endoskopija“.

Pradiniu tašku buvo algebrinių lygčių teorija. 19 a. E. Galua nustatė, kad aukštesnių laipsnių lygtis galima išspręsti tik iš dalies, tačiau jis kartu parodė, kad jų sprendinius privalo sieti simetrija. Pvz., lygties x⁵ sprendiniai yra 5-i taškai ant apskritimo, nubrėžto plokštumoje. Taip pat jis parodė, kad net jei lygtis nrgali būti išspręsta, vis tik įmanoma iš simetrijos išgauti nemažai informacijos apie jos sprendinius.

Dideliu pasiekimu 20 a. pradžioje buvo klasių laukų teorija, Gauso kvadratinio abipusiškumo dėsnio apibendrinimas. Ji tyrinėjo klausimus, susijusius su Abelio Galua grupėmis. Ne-abelinėse grupėse reikalai buvo gilesni – tuos aspektus ir lietė 1967 m. Langlandso laiškas. Galua grupių atvaizdavimas į automorfines formas susijęs su vadinamuoju Langlandso funktorialumu, t.y., kad reduktyvios grupės automorfinis atvaizdavimas per L-funkcijas susijęs su Galua atvaizdavimais dualioje grupėje. Langlandsas su Jacquet‘u nustatė pirmąjį funktorialumą GL(2) grupei, kuri yra paprasciausia ne-abelinė reduktyvi grupė. Funktorialumas nepaprastai suvienija daug svarbių pasiekimų, tame tarpe apie elipsinių kreivių moduliarumą.

Besiremiančios Galua teorijos išvystymu, Langlandso idėjos leido tyrinėtojams algebros klausimus perkelti į harmoninės analizės „kalbą“ – ši matematikos šaka užsiima sudėtingų bangų formų suskaidymu į paprastesnius, sinusoidinius blokus O 9-me dešimtm. ukrainiečių kilmės Vladimiras Drinfelas su kitais pasiūlė panašų ryšį tarp geometrijos ir harmoninės analizės (1990 m. Fieldso medalis). Tai leido A. Wiles įrodyti Ferma teoremą.

Dėl visuomenėje sumažėjusio matematikos dėmesio 2012 m. Toronte buvo surengtas pirmasis Fieldso medalio simpoziumas^*) ir ketinta jį nuo tol rengti kasmet (taip ir buvo, paskutiniųjų „herojais“ pasirinkti: 2020 - Alessio Figalli; 2021 - Peter Scholze). Ir pirmasis buvo pašvęstas Lenglendso programos Fundamentaliesiems klausimams.

2012 m. Fieldso medalio simpoziumo Toronte „pagrindiniu herojumi“ buvo išrinktas vietnamietis Ngo Bao Čau, gavęs Fieldso medalį 2010-ais už Fundamentaliosios lemos Lenglendso programoje (suformuluotos dar 1983-ais) įrodymą – ne tik novatorišku būdu, bet ir nustatydamas daug iki tol nežinotų sąryšių.

Populiariai Lenglendso programą pristato kaip griežtos matematinės kalbos, nustatančios skaičių teorijos ir matematinės analizės atitikmenį, sukūrimą. Tačiau iš tikro tai daug platesnis ratas. Kai R. Lendlengsas 20 a. 7-me dešimtm. sumanė savo programą, tam jį „stūmė“ sunkūs skaičių teorijos uždaviniai.

Skaičių teorijoje dažnai užsiimama algebrinių lygčių sprendimu, kai nežinomųjų reikšmės gali įgauti tik sveikas reikšmes moduliu p - ir dažnai p būna pirminiu skaičiumi. Ir dažnai labai svarbu iš anksto žinoti, kiek lygtis turi sveikų sprendinių moduliu p (ir visoms pirminėms p reikšmėms). O tai, pasirodo, nepaprastai sunkus uždavinys.

R. Lenglendso įžvalga buvo tai, kad sprendinių kiekį galima „nuskaityti“ iš objektų visai kitoje matematikos srityje – matematinės analizės srityje, vadinamoje harmonine analize. Joje nagrinėjamos funkcijos, susijusios su reguliariais svyravimais (ir muzika!). Dar 19 a. pradžioje Ž. Furjė įrodė, kad beveik visas periodines funkcijas galima užrašyti sin ir cos kombinacijomis. Pasirodė, kad tai labai naudinga savybė (pvz., komunikacijų srityje). Tik pradžioje atrodė, kad ji labai tolima skaičių teorijai. Ir čia R. Lenglendsas nusprendė įrodyti, kad tiedu pasauliai (akaičių teorija ir harmoninė analizė) glaudžiai susiję. O kitaip tariant, skaičių teorijos klausimai gali būti atsakyti panaudojant harmoninės analizės priemones. Pvz., bet kuriai algebrinei lygčiai egzistuoja harmoninė funkcija, kuri tarytum iš anksto „žino“ tos lygties sprendinių kiekį visiems pirminiams moduliams p.

Tačiau tasai abipusis atitikmuo lyg ir iš nieko nesekė - ir tai atrodė tarsi kokia magija ar burtai. Būtent todėl matematinis ratas ir buvo taip suintriguotas Lenglendso programos – juk tai leistų išspręsti ir tas problemas, kurios iki tol laikytos neišsprendžiamomis. Bet kartu tai nurodo ir kai kuriuos giluminius ir fundamentalius sąryšius. Bet to mes kol kas iki galo dar nežinom...

Tokia buvo pradžia, o vėliau ėmė rastis paslaptingų atitikmenų ir bendrų bruožų ne tik tarp matematikos sričių bet ir už jos ribų, pvz., kvantinėje mechanikoje.

^*) Fieldso medalio simpoziumas - kasmetinis renginys, vykstantis nuo 2012-ųjų skirtas pagerbti vieną kurį Fieldso medalistą. Visi jie vyksta Fieldso institute Toronte, Kanada. Simpoziumo metu išanalizuojama pagerbto finalisto matematinė veikla. Skaitomos viešos paskaitos, skatinančias susidomėjimą matematiką, renginius studentams ir kt.

Geometrinė grupių teorija - matematikos sritis, tirianti baigtines generuotas grupes analizuodama ryšius tarp algebrinių savybių ir erdvių, virš kurių grupė veikia, topologinių ir geometrinių savybių. Idomi idėja yra pačias tas grupes laikyti geometriniais objektais. Tai praprastai daroma nagrinėjant grupių Kelio grafus (Cayley colour graph). Geometrinė grupių teorija, kaip atskira matematikos sritis, išsikristalizavo per paskutinius dvejus 20 a. dešimtmečius. Ji išaugo iš kombinatorinės grupių teorijos.

Hiperbolinė grupė algebroje – baigtinė generuota grupė, kuri yra hiperbolinė kaip metrinė erdvė, t.y. tenkina geometrines hiperbolės sąlygas. Šioje grupėje yra apibrėžta „žodžių“ metrika, t.y., atstumas tarp elementų kaip „žodis“, kurio raidės ateina iš grupę generuojančios aibės. Tuo ji labai artima metrikai Kelio grafe.

Simpleksinė topologija - diferencialinės geometrijos ir diferencialinės topologijos sritis, tirianti simpleksines daugdaras: glotnias daugdaras su pasirinkta uždara neišsigimusia 2-forma. Ji išsivystė iš klasikinės mechanikos Hamiltono formalizmo. Simpleksinė topologija turi panašumų, tačiau ir skirtumų su Rymano geometrija, tiriančia daugdaras su pasirinktu metrikos tenzoriumi.

Pseudoholomorfinės kreivės (arba J-holomorfinė kreivė) – glotnus Rymano paviršiaus atvaizdavimas į beveik kompleksinę daugdarą. Sąvoka paspartino simpleksinių daugdarų tyrinėjimus.

Rymano geometrija - diferencialinės geometrijos šaka, tyrinėjanti Rymano daugdaras, t.y. glotnias daugdaras su įvesta Rymano metrika. Ji susijusi su liestinių erdvėmis, kurių metrikos nežymiai skiriasi kiekviename taške. Tai leidžia turėti lokalias kampo, kreivės ilgio, paviršiaus ploto bei tūrio sąvokas. Panaudojama Einšteino bendrojoje reliatyvumo teorijoje.

Kompleksinė geometrija tiria kompleksines daugdaras ir daugelio kompleksinių kintamųjų funkcijas. Ši sritis apima ir transcendentinių metodų taikymą algebrinėje geometrijoje, kaip ir daugiau kompleksinio kintamojo analizės geometrinių aspektų.

IHES (Institut des Hautes Études Scientifiques) - Prancūzijos Aukštųjų Mokslinių Tyrinėjimų Institutas, vykdantis matematikos ir teorinės fizikos tyrimus. Jis įsikūręs Bures-sur-Yvette, piečiau Paryžiaus. Jį 1958 m. įkūrė verslininkas ir matematikas Leonas Motscane, kad vienoje vietoje sutelktų geriausius mokslininkus. Jame dirba vos keli nuolatiniai profesoriai, tačiau kasmet pakviečiama apie 200 mokslininkų. Institutas leidžia labai aukštai vertinamą žurnalą „Publications Mathématiques de l'IHÉS“.

Harmonine analizė arba Furjė analizė - matematinės analizės sritis nagrinėjanti funkcijų išdėstymą eilutėmis arba Furjė integralais bei uždavinių sprendimas tokiu būdu išskleidžiant funkcijas. Pagrindiniai jos objektai: trigonometrinės eilutės, Furjė transformacijos, Dirichlė eilutės ir kt. 20 a. 3-4 dešimtm. harmoninės analizės metodai iš euklidinės erdvės perkelti į abstrakčias struktūras panaudojant tokias sąvokas kaip Haaro matas ir grupių atvaizdavimus (reprezentacijas) suformuojant naują sritį.