Naujas pirminių skaičių dėsningumas
Papildomai skaitykite: Pirminiai skaičiai
Pirminiai skaičiai nuolat traukė smalsių tyrinėtojų dėmesį. Jie atrodė esą atsitiktinai išsibarstę tarp natūrinių skaičių be jokio dėsningumo. Tačiau tuo pačiu jų visuotinis pasiskirstymas pasižymėjo aiškiu reguliarumu. Tai skatino ieškoti jų pasiskirstymo dėsningumo.
Neseniai Ispanijos Madrido Politechnikos universiteto matematikai Bartolo Luque ir Lucas Lacasa nustatė iki tol nepastebėtą dėsningumą, kad pirmas skaitmuo pirminių skaičių sekoje gali būti apibūdintas pagal apibendrintą Benfordo dėsnį (BL). Be to, tas pats dėsningumas pasireiškia ir kitoje skaičių sekoje, - pirmų skaitmenų netrivialioje Rymano dzeta nulių sekoje, kuri, kaip žinoma, susijusi su pirminių skaičių pasiskirstymu. Šis atradimas gali būti panaudotas apgaulės (fraud) nustatyme bei rinkos akcijų analizėje.
Fiziko Franko Benfordo 1938 m. suformuluotas dėsnis apibrėžia pirmo skaitmens pasiskirstymą
daugelyje duomenų rinkinių ir matematinių sekų. Pasirodo, kad pirmi skaitmenys pasiskirstę ne atsitiktinai ar
tolygiai, o logaritmiškai. T.y. 1 sutinkamas beveik 30%, o kiti vis mažėjančiu dažniu, o rečiausiai sutinkamas 9.
Nuo 8 dešimtm. pabaigos buvo žinoma, kad patys pirminiai skaičiai nėra pasiskirstę pagal Benfordo dėsnį. Atrodė, kad pirmo skaitmens pasiskirstymas gana vienodas. Tačiau ispanų tyrinėtojai parodė, kad mažesnėse duomenų imtyse (intervaluose) aiškiai išryškėja pirmo skaitmens pasiskirstymas. Kuo didesnė aibė imama, tuo pasiskirstymo vienodumas didesnis. Tad kažin ar egzistuoja koks nors dėsningumas, kai pirminių skaičių intervalas artėja iki begalybės.
Pirminių skaičių aibė begalinė. Yra problematiška pasirinkti atsitiktinį skaičių begalinėje aibėje. Tad tenka imti baigtinį intervalą, net jei tai neįmanoma padaryti visiškai atsitiktinai tenkinant tikimybių teorijos dėsnius. Tad tyrinėtojai rinkosi tokio tipo intervalus [1, 10d]. Tokiose aibėse pirmi skaitmenys yra vienodai tikėtini. Tad jei tarp jų išskiriamas kažkoks dėsningumas, tai turi kažką reikšti apie pirminių skaičių pasiskirstymą (tegu, kad tik šioje aibėje).
Stebėdami pirmų pirminių skaičių skaitmenų pasiskirstymus besiplečiančiose aibėse, B. Luque ir L. Lacaca pastebėjo, kad pirminiai skaičiai tenkina nuo apimties priklausantį apibendrintą Benfordo dėsnį (GBL). d didėjant, pirmų pirminių skaičių skaitmenų pasiskirstymas tampa vienodesnis.
BL ir GBL pritaikomi daugeliui procesų. Tarkim, kad į banką padėjote 1000 Lt indėlį su 1% palūkanomis. Po mėnesio jūsų sąskaitoje bus jau 1000 * 1,01 = 1010 Lt, dar po mėnesio 1010*1.01 Lt ir t.t. Po n mėnesių jūs turėsite 1000*(1,01n) Lt. Gana daug mėnesių prireiks, kol pasieksite 2000 Lt, tačiau daug greičiau bus pereita nuo 8000 Lt prie 9000 Lt. Jei patyrinėsite kasmėnesines sąskaitas, tai matysite, kad pirmu skaitmeniu 1 yra kur kas dažniau, nei 8 ar 9 būtent tai ir teigia Benfordo dėsnis. Taip yra, kai multiplikatyvinis elementas yra 1 / x (arba x-1). Jei multiplikatyviniu elementu imsime x-a, kai a <> 1, turėsime GBL.
Buvo panagrinėtos ir netrivialių Rymano dzeta nulių sekos, kuriose pasiskirstymas laikomas viena iš svarbių neišspręstų matematinių problemų. Buvo nustatyta, kad ir jie tenkina GBL priklausomai nuo intervalo dydžio (kaip ir pirminiai).
Daugiau: B. Luque, L. Lacasa. The first digit frequences of primes and Riemann zeta zeros// Proc. Of the Riyal Society A. doi: 10.1098/rspa.2009.0126
 Skirtingos spalvos piešinyje žymi kampinę tinklelio sumą padalintą iš bazinės dvimatės sumos. Žydrose srityse privalo būti tiksliai tas pats kiekvienos funkcijos nulių skaičius, kas parodo svarbias kiekvienos jų savybes. |
Naujas postūmis nulių žaidime
Jau 150 m. Rymano hipotezė išlieka vienu didžiausių ir vis dar neišspręstų iššūkių matematikams. Tai 1859 m. Bernhardo Rymano (1826-1866) iškeltas teiginys apie Rymano dzeta funkcijos nulių pasiskirstymą. Ji yra Clay matematikos instituto Tūkstantmečio uždavinių sąraše. Kompiuterių dėka paskaičiuota, kad pirmieji 10 trilijonų nulių yra kritinėje tiesėje (1/2+it, kur i yra menamas vienetas).
2011 m kovo mėn. R. McPhedran ir jo kolegos iš Sidnio straipsnyje (žr. >>>>) aptaria dvimates sumas (Rymano hipotezė yra iš vienmačių sumų srities). Jie nustatė anksčiau netirtą dvimačių sumų, priklausančių tiek nuo kampo plokštumoje, tiek atstumų, klasę. Buvo įrodyta, kad visos tos kampinės sumos tenkina Rymano hipotezę tada ir tik tada, jei bazinė dvimatė suma ją tenkina. Kartu įrodyta, kad visų tų sumų nulių pasiskirstymas yra vienodas.
Tai gali priartinti Rymano hipotezės įrodymą ir leisti geriau suprasti pirminių skaičių pasiskirstymą.
Papildomai skaitykite: Pirminiai skaičiai
Pirminiai dvyniai
Pitagoro teorema
Skaičiai apžvalga/ pradmenys
Didžioji Ferma teorema
Ar įrodytas abc teiginys?
Pagrindinė aritmetikos teorema
Didžiausias bendras daliklis
Hipatija pirmoji matematikė
Euklidas iš Aleksandrijos
Iniciatyva: Matematikos keliu
Šiuolaikiniai iškilūs matematikai
Omaras Chajamas: ne vien Rubijatai
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Pagrindinės algebrinės struktūros
Surasta trilijonas trikampių
Puankarė problemos įrodymas
Matematika Egipte: Rindo papirusas ir kt.
Matematikai: Davidas Hilbertas
Graikų matematikai - filosofai
Matematikos filosofinės problemos
Senovės Graikijos skaičiuotuvas
Skaičių simbolika Vedose
Kaip supakuoti standžiau?
Harmoninės eilutės
Algebros istorija
Dalyba iš nulio
Beal'o hipotezė
Erdvės formos
Vartiklio naujienos