Naujas pirminių skaičių dėsningumas. Vartiklis: matematika

Pirminio skaičiaus teorema

1792 m., būdamas 15 m. amžiaus, K. Gausas užrašų knygutėje užrašė teiginį:

Atsitiktinai paimtas sveikas skaičius N yra pirminiu maždaug su 1 / ln(N) tikimybe.

Nėra nesutarimų dėl p(x) svarbos. Šis teiginys dažniau formuluojamas įvairiomis aproksimacijomis vadinamajai pirminių skaičių kiekio funkcijai p(x), pateikiančiai pirminių skaičių kiekį natūriniams, mažesniam už x skaičiui. 1808 m. A.M. Ležandras¹⁾ pasiūlė aproksimaciją, panaudodama B konstantą (dabar vadinamą Ležandro konstanta), lygią maždaug 1,08366...
p(x) ~ x / (B + ln x)

1849 m. K. Gausas išreiškė jos reikšmę logaritminio integralo li(x) arba Li(x) pagalba (nors išspausdinta tebuvo tik 1863 m.), - tai PST (pirminio skaičiaus teorema):
p (x) ~ li(x) ~ Li(x) ~ x / ln(x) + x / (ln x)² + 2x / (ln x)³ + ... + k! x / (ln x)^k+1 + ...

Nors būtų geriau išlaikyti pirmus tris narius, PST paprastai formuluojama išsaugant tik pagrindinį narį x/ln(n), t.y.
Pirminio skaičiaus teoremos formulė

1848 m., iki įrodant šį sąryšį, P. Čebyševas parodė, kad, jeigu riba egzistuoja ta ji privalo būti lygi 1.

Šios teoremos du nepriklausomus įrodymus 1896 m. pateikė Ž.S. Adamaras²⁾ (1865-1963) ir Ch.J.E.G. de la Valee-Poissin‘as³⁾ (1866-1962). 1951 m. N. Vineris parodė, kad abu tie įrodymai remiasi faktu, kad Rymano dzeta funkcija z neturi nulių, kurių forma 1+it. Panašią pastabą trečiame iš įrodymų, 1903 m. pateikto Edmundo Landau kaip įvadą į jo pirminių idealų teoremos algebrinių skaičių laukams įrodymą.

Rymano hipotezė būtų tapati teiginiui:
p(x) = Li(x) + O( ln x)

Pastaba: 1959 m. elegantišką PST įrodymą vienu metu pateikė du matematikai Paulis Erdošas (1913-1996) ir Atlė Selbergas⁴⁾ (1917-2007).

Nors jokie paskaičiavimai nerodė, kad p(x) yra virš Li(x). Dž. Littlewood‘as 1914 m. įrodė, kad p (x)-Li(x) ženklą keičia begalinį kiekį kartų.

Pirminiai skaičiai nuolat traukė smalsių tyrinėtojų dėmesį. Jie atrodė esą atsitiktinai išsibarstę tarp natūrinių skaičių be jokio dėsningumo. Tačiau tuo pačiu jų visuotinis pasiskirstymas pasižymėjo aiškiu reguliarumu. Tai skatino ieškoti jų pasiskirstymo dėsningumo.

Neseniai Ispanijos Madrido Politechnikos universiteto matematikai Bartolo Luque ir Lucas Lacasa nustatė iki tol nepastebėtą dėsningumą, kad pirmas skaitmuo pirminių skaičių sekoje gali būti

Roberto Sakso spiralė, 1994

apibūdintas pagal apibendrintą Benfordo dėsnį (BL). Be to, tas pats dėsningumas pasireiškia ir kitoje skaičių sekoje, - pirmų skaitmenų netrivialioje Rymano dzeta nulių sekoje, kuri, kaip žinoma, susijusi su pirminių skaičių pasiskirstymu. Šis atradimas gali būti panaudotas apgaulės (fraud) nustatyme bei rinkos akcijų analizėje.

Fiziko Franko Benfordo 1938 m. suformuluotas dėsnis apibrėžia pirmo skaitmens pasiskirstymą daugelyje duomenų rinkinių ir matematinių sekų. Pasirodo, kad pirmi skaitmenys pasiskirstę ne atsitiktinai ar tolygiai, o logaritmiškai. T.y. 1 sutinkamas beveik 30%, o kiti vis mažėjančiu dažniu, o rečiausiai sutinkamas 9.

Nuo 8 dešimtm. pabaigos buvo žinoma, kad patys pirminiai skaičiai nėra pasiskirstę pagal Benfordo dėsnį. Atrodė, kad pirmo skaitmens pasiskirstymas gana vienodas. Tačiau ispanų tyrinėtojai parodė, kad mažesnėse duomenų imtyse (intervaluose) aiškiai išryškėja pirmo skaitmens pasiskirstymas. Kuo didesnė aibė imama, tuo pasiskirstymo vienodumas didesnis. Tad kažin ar egzistuoja koks nors dėsningumas, kai pirminių skaičių intervalas artėja iki begalybės.

Pirminių skaičių aibė begalinė. Yra problematiška pasirinkti „atsitiktinį“ skaičių begalinėje aibėje. Tad tenka imti baigtinį intervalą, net jei tai neįmanoma padaryti visiškai atsitiktinai tenkinant tikimybių teorijos dėsnius. Tad tyrinėtojai rinkosi tokio tipo intervalus [1, 10^d]. Tokiose aibėse pirmi skaitmenys yra vienodai tikėtini. Tad jei tarp jų išskiriamas kažkoks dėsningumas, tai turi kažką reikšti apie pirminių skaičių pasiskirstymą (tegu, kad tik šioje aibėje).

Stebėdami pirmų pirminių skaičių skaitmenų pasiskirstymus besiplečiančiose aibėse, B. Luque ir L. Lacaca pastebėjo, kad pirminiai skaičiai tenkina nuo apimties priklausantį apibendrintą Benfordo dėsnį (GBL). d didėjant, pirmų pirminių skaičių skaitmenų pasiskirstymas tampa vienodesnis.

BL ir GBL pritaikomi daugeliui procesų. Tarkim, kad į banką padėjote 1000 Lt indėlį su 1% palūkanomis. Po mėnesio jūsų sąskaitoje bus jau 1000 * 1,01 = 1010 Lt, dar po mėnesio 1010*1.01 Lt ir t.t. Po n mėnesių jūs turėsite 1000*(1,01ⁿ) Lt. Gana daug mėnesių prireiks, kol pasieksite 2000 Lt, tačiau daug greičiau bus pereita nuo 8000 Lt prie 9000 Lt. Jei patyrinėsite kasmėnesines sąskaitas, tai matysite, kad pirmu skaitmeniu 1 yra kur kas dažniau, nei 8 ar 9 – būtent tai ir teigia Benfordo dėsnis. Taip yra, kai multiplikatyvinis elementas yra 1 / x (arba x^-1). Jei multiplikatyviniu elementu imsime x^-a, kai a <> 1, turėsime GBL.

Skirtingos spalvos piešinyje žymi kampinę tinklelio sumą padalintą iš bazinės dvimatės sumos. Žydrose srityse privalo būti tiksliai tas pats kiekvienos funkcijos nulių skaičius, kas parodo svarbias kiekvienos jų savybes.

Buvo panagrinėtos ir netrivialių Rymano dzeta nulių sekos, kuriose pasiskirstymas laikomas viena iš svarbių neišspręstų matematinių problemų. Buvo nustatyta, kad ir jie tenkina GBL priklausomai nuo intervalo dydžio (kaip ir pirminiai).

Daugiau: B. Luque, L. Lacasa. The first digit frequences of primes and Riemann zeta zeros// Proc. of the Royal Society A.
Rymano hipotezės paaiškinimas

Netikėtai, sugeneravę 400 mlrd. pirmų pirminių skaičių, 2016 m. pradžioje K. Soundararajan ir R.Lemke iš JAV pastebėjo tam tikrą pirminių skaičių dėsningumą paskutinio skaitmens atžvilgiu. Pirminiai skaičiai didesni už 5 gali baigtis tik 1, 3, 7, 9. Jei jie pasiskirstę atsitiktinai, kai kito pirminio skaičiaus pabaiga turėtų pasirodyti su vienoda tikimybe. Tačiau pasirodė, kad jie „vengia kartoti save“, t.y., labiau linkę, kad kito skaičiaus pabaiga būtų kitokia. Taip besibaigiantis 1 po pasibaigusio 1 pasirodo tik 18,5% kartų vietoje lauktų 25%, o 3 labiau linkęs pasirodyti po 9, nei po 1 ir 7.
Matematikai mano, kad tai gali būti susiję su 20 a. pradžioje suformuluotu „k-tuple“ teiginiu apie asimptotinį pirminių skaičių pasiskirstymą (pirmasis Hardy-Litlevudo teiginys).

Ulamo spiralė

Įdomų dėsningumą pastebėjo lenkų kilmės amerikiečių matematikas Stanislovas Ulamas (1909-1986) 1963 m., kai “ilgo ir nuobodaus straipsnio” pristatymo metu dėliojo skaičius į gardelę. Tada pasinaudojo kompiuteriu spiralės iki 65 tūkst. skaičių nubrėžimui. O jau kitų metų kovą M. Gardneris apie Ulamo spiralę paskelbė „Scientific American“ žurnalo kovo mėn. skiltyje „Matematiniai žaidimai“. Jame paminimi ir herpetologo L.M. Klauberio darbus su dviem dvimačiame pirminių skaičių masyvais nustatant gausiai pirminius skaičius generuojančius antro laipsnio polinomus, pristatytus 1932 m. Amerikos matematikų draugijos susirinkime. Skirtingai nuo Ulamo, jis skaičius buvo surašęs ne spirale, o trikampe forma.

Dar įdomu, kad fantastas A. Klarkas pirminių skaičių spiralę aprašo romane „Miestas ir žvaigždės“ (1956), t.y. 7 m. anksčiau už Ulamą, tik jis nepastebėjo minėto dėsningumo (skaitykite >>>>>).

S. Ulamas natūrinius skaičius surašė spirale, pradėdamas 1-tu centre. Tada, spiralėje pavaizdavus pirminius skaičius taškais, o kitus paslėpus, pasimatė tam tikri dėsningumai – pirminiai skaičiai būriavosi ties įstrižainėmis. Kadangi visi pirminiai skaičiai yra nelyginiai, tai neturėjo stebinti, tačiau matėsi, kad vienose Ulamo spiralė įstrižainėse pirminiai skaičiai buvo daug dažnesni nei kitose. Piešinyje tam pat ryškėjo ir horizontalios bei vertikalios linijos (iliustraciją žr. šiame puslapyje).

Pasirodė, kad dėsningumai pasirodo ir tada, kai centre yra ne vienetas. Tai reikštų, kad natūrinių skaičių funkcija
f(n)=4n²+bn+c
kai kurioms b ir c reikšmėms pirminius skaičius generuoja daug dažniau nei jie pasiskirstę vidutiškai.

Įdomu, kad 1923 m. straipsnyje apie Golbacho teiginį (skaitykite apie teigiamą jo įrodymą), vis dar neįrodytą („kiekvieną lyginį skaičių galima išreikšti pirminių skaičių suma“), G.H. Hardy ir J.E. Littlewood’assuformulavo keletą teiginių, kurių vienas (vadinamasis „teiginys F“) gali paaiškinti Ulamo spiralės ypatybes.

Beje, jei spirale išdėstysime tik nelyginius skaičius, tai pirminiai skaičiai būriuosis vertikaliai ir horizontaliai, tačiau bus pastebimi ir jų sutankėjimai įstrižainėmis. O 1994 m. R. Saksas pasiūlė naują spiralės variantą, išdėstydamas natūrinius skaičius ne ant paprastos „stačiakampės“, o ant Archimedo spiralės – tokios, kad „tobulas“ kvadratas būtų vieną kartą vieno apsisukimo metu (Ulamo spiralėje vieno apsisukimo metu yra 2 kvadratai). Čia irgi matosi pirminių skaičių dėsningumas.
Sudarinėjamos ir kitokios skaičių spiralės, pvz., šešiakampės arba skaičių, kongruencinių 1 arba 5 (moduliu 6), spiralės.

M. Gardner. The Remarkable Lore of the Prime Number// Sci. Am, March 1964 p.120–128,
D. Wells. Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, 2005

Jau 150 m. Rymano hipotezė išlieka vienu didžiausių ir vis dar neišspręstų iššūkių matematikams. Tai 1859 m. Bernhardo Rymano (1826-1866) iškeltas teiginys apie Rymano dzeta funkcijos nulių pasiskirstymą. Ji yra Clay matematikos instituto Tūkstantmečio uždavinių sąraše. Kompiuterių dėka paskaičiuota, kad pirmieji 10 trilijonų nulių yra kritinėje tiesėje (1/2+it, kur i yra menamas vienetas).

2011 m kovo mėn. R. McPhedran ir jo kolegos iš Sidnio straipsnyje (žr. >>>>) aptaria dvimates sumas (Rymano hipotezė yra iš vienmačių sumų srities). Jie nustatė anksčiau netirtą dvimačių sumų, priklausančių tiek nuo kampo plokštumoje, tiek atstumų, klasę. Buvo įrodyta, kad visos tos kampinės sumos tenkina Rymano hipotezę tada ir tik tada, jei bazinė dvimatė suma ją tenkina. Kartu įrodyta, kad visų tų sumų nulių pasiskirstymas yra vienodas.

Tai gali priartinti Rymano hipotezės įrodymą ir leisti geriau suprasti pirminių skaičių pasiskirstymą.

Per 150 m. daug būdų buvo pasiūlyta Rymano hipotezės įrodymui, tačiau nė vienas jų dar neatnešė sėkmės. 2019 m. gegužę PNAS Ken Ono, Don Zagier ir poros Ken Ono studentų paskelbtas straipsnis, kurio laiko, kad perspektyvus yra vienas iš senų pasiūlymų. Jame remiamasi J. Jensen ir G. Polya darbais ir nurodomas metodas Jensen-Polya polinomų paskaičiavimui. Straipsnio idėja kilo prieš du metus, kai Ken Ono kaip „dovaną“ D. Zagierio 65-mečio proga įteikė „laisvalaikio uždavinį“, kuris išsivystė į bendresnę teoriją.

1927 m. G. Polya įrodė, kad Rymano hipotezė yra tapati Jenseno polinomų hiperboliškumui Rymano dzeta funkcijai jos simetrijos taške, kai laipsniai d <= 3. Minėtame straipsnyje išvedama asimptotinė formulė centrinians vediniams ir hiperboliškumas įrodomas d <= 8.

Skaičių teorijoje pirminių skaičių formulės yra išraiškos, generuojančios vien pirminius skaičius. Gaila, kad iki šiol nėra žinoma jokia formulė, kuri būtų efektyviai paskaičiuota.

Pirmąją tokią formulę išvedė W.H. Mills, 1947 m. įrodęs, kad egzistuoja toksai realusis A, kuriam visiems teigiamiems n - skaičiaus A³ⁿ sveikoji dalis visada yra pirminis skaičius. Jis panaudojo Guido Hoheisel‘o (1894-1968) 1930-ais bei Albert Ingham’o (1900-1967) 1937-ais pasiektus rezultatus apie pirminių skaičių pasiskirstymus.

Jei Rymano hipotezė yra teisinga, mažiausias toks A gali būti paskaičiuotas ir yra lygus maždaug 1,3063…, kuris vadinamas Mills‘o konstanta. Ši formulė neturi praktinės reikšmės, nes labai mažai žinoma apie šią konstantą (netgi, ar ji yra racionalus skaičius) ir neaišku kaip ją paskaičiuoti pirma nenustačius pačių pirminių skaičių.

Pastaba: Tikslesnė Mills‘o konstantos reikšmė: 1,306377883863080690468614492602605712916784585156713644368...

Tobulasis skaičius yra teigiamas skaičius lygus savo (teigiamų) daliklių, išskyrus jį patį, sumai (vadinamai „kartotinių suma“). Pvz., 6 yra tobulasis skaičius,
nes 1+2+3=6, kaip ir 28=1+2+4+7+14. Sekantys tobulieji skaičiai yra 496 ir 8128 – šiuos 4 skaičius jau žinojo senovės graikų mokslininkai (8128 nurodė Nikomachas „Introductio Arithmeticae“ maždaug 100 m. pr.m.e.). Tik 15 a. viduryje buvo nustatytas 5-sis tobulasis skaičius (33 550 336), o 1588 m. italas Pietro Kataldi (Cataldi) surado 6- ąjį ir 7-ąjį. Apie 1000 m. arabų matematikas Ibn al-Haythamas suformulavo teiginį, kad visi lyginiai tobulieji skaičiai turi formą 2^n-1(2ⁿ-1), kur 2ⁿ-1 yra pirminis (jie vadinami Merseno pirminiais skaičiais, kurių dabar žinoma 48), kurį tik 18 a. įrodė L. Oileris. Yra stiprus ryšis tarp Merseno ir tobuliųjų skaičių, tad suformuluota vadinamoji Euklido-Oilerio teorema, kad kiekvienas Merseno skaičius dalyvauja generuojant vieną tobuląjį skaičių (ir atvirkščiai). Ir visiems iki 2014 m. pradžios žinomiems 48-iems Merseno skaičiams tai teisinga.

Tačiau nežinoma, ar egzistuoja bent vienas nelyginis tobulasis skaičius. Dalinis priartėjimas šiai problemai Bendžamino Pirso įrodymas, kad
jei egzistuoja nelyginis tobulasis skaičius, tai jis privalo turėti bent 4 pirminius daugiklius.

¹⁾ Andrienas-Mari Ležandras (Adrien-Marie Legendre, 1752-1833) – prancūzų matematikas, pasižymėjęs gausiais indėliais į matematiką, kurių ypač svarbūs yra Ležandro polinomai bei Ležandro transformacija. Parengė puikų vadovėlį „Geometrijos pradmenys“ (1794). 1798 m. išleido fundamentalią „Skaičių teorijos patirtį, apimančią 18 a. aritmetikos pasiekimus, kurioje pasiūlė ir „Ležandro simbolius“. Taip pat joje buvo išdėstyta pilna grandininių trupmenų teorija ir jų taikymas sprendžiant Diofanto lygtis. Daugelis įrodymų joje nebuvo griežti arba jų visai nebuvo – įrodymų spragas vėliau užpildė K. Gausas. Antrame knygos leidime jis pateikė įvertinimą (irgi be įrodymo), kad pirmojo skaičių milijono ribose pirminių skaičių, mažesnių nei x, apytiksliai yra

²⁾ Žakas Adamaras (Jacques Salomon Hadamard, 1865-1963) – žydų kilmės prancūzų matematikas ir mechanikas, prisidėjęs vystant skaičių teoriją, kompleksinio kintamojo analizę, diferencialinę geometriją ir diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis teoriją. 1896 m. įrodė P. Čebyševo pasiūlytą asimptotinį pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnį, vystė sveikų analitinių funkcijų teoriją. Mechanikoje užsiėmė stabilumo problemomis ir tyrinėjo trajektorijas greta pusiausvyros taškų. Nemažai dėmesio skyrė dėstymui mokyklose ir parengė elementariosios geometrijos vadovėlį.

³⁾ Šarlis de Valė Pusenas (Charles-Jean Etienne Gustave Nicolas, baron de la Vallée Poussin, 1866-1962) – belgų matematikas, žinomas pasiekimai skaičių teorijoje, matematinėje analizėje ir kitose matematikos srityse. Vienu metu su Ž. Adamaru 1896 m. įrodė asimptotinį pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnį, o taip pat įrodė A.M. Lažandro pasiūlytą pirminių skaičių kiekį, mažesnių už duotą skaičių. Pateikė apibendrintos simetrinės išvestinės apibrėžimą. Parengė ir išleido keletą mokymosi priemonių, tame tarpe matematinės analizės ir teorinės mechanikos kursus. 1920 m. tapo pirmuoju Tarptautinės matematikų sąjungos pirmininku.

⁴⁾ Atlė Selbergas (Atle Selberg, 1917-2007) – norvegų matematikas, žinomas darbais analitinės skaičių teorijos ir automorfinių formų teorijos srityse; Fieldso medalio laureatas (1950). 1942 m. įrodė, kad Rymano dzeta funkcija randasi ant kritinės tiesės Re(s)=1/2. Rado vieną iš elementarių Dirichlė teoremos apie pirminius skaičius aritmetinėje progresijoje įrodymų. 1956 m. įrodė „Selbergo pėdsako formulę“.