Zenono paradoksai. Matematika. Vartiklis

Zenono padadoksai (arba - „sunkumai“) – Zenono Elėjiečio (5 a. pr.m.e.) sugalvotos situacijos, atseit, neigiančios judėjimą, erdvės ir materijos begalinį dualumą. Priimta laikyti, kad Zenonas juos sukūrė, nes kiti filosofai kūrė paradoksus prieš Parmenido „visa yra viena“ koncepciją. Juos paneigė matematinė analizė, matyt, analogiškai kada nors panašiai paneigta bus ir kvantinė mechanika.

Amžininkai minėjo per 40 Zenono aporijų, o mus pasiekė tik 9, aptariamos Aristotelio „Fizikoje” ir kituose darbuose, Simplicijaus, Filopono¹⁾ ir Temistijaus²⁾ komentaruose; viena jų pateikiama ir Diogeno Laertiečio³⁾, aporijos apie įvairovę (daugį) aptariama Platono dialoge „Parmenidas“.

Anot komentatoriaus Elijo⁴⁾ (6 a.) 40 samprotavimų buvo apie daugį ir 5 apie judėjimą):
„Jis savo mokytojui Parmenidui, kuris teigė, kad esatis vienokia išvaizda, tačiau įvairovėje pagal akivaizdumą, sudarė [argumentaciją] iš 40 epicheirų tam, kad esatis viena, nes laikė, kad yra gerai būti mokytojo sąjungininku. Dar kažkaip, gindamas tą patį mokytoją, teigusį, kad esatis nejuda, iškėlė 5 epicheiras nejudančios esaties naudai. Kinikas Antisfenas, negalėjęs joms paprieštarauti, atsistojo ir ėmė vaikštinėti, manydamas, kad įrodymas veiksmu stipresnis už bet kokį prieštaravimą žodžiu“.

Kadangi Platonas nemini „Achilo ir vėžlio“ ir kitų susijusių su judėjimu, reikia manyti, kad jos sumąstytos vėliau. Klaidinga tas aporijas laikyti sofizmais, nes išsivysčius matematikai, jos buvo paneigtos. B. Raselas rašė, kad jos „viena ar kita forma paliečia beveik visų erdvės, laiko ir begalybės teorijų pagrindus“. Diskusijos apie jas pagilino supratimą tokių fundamentalių sąvokų kaip nenutrūkstamojo ir diskretinio pradų vaidmuo gamtoje, fizinio judėjimo ir matematinio modelio atitikmens ir pan. Diskusijos aplink juos (ir jų atmainas, pvz. Tomsono lempą⁵⁾) tebesitęsia ir mūsų laikais, nes jie išlieka tinkamais metafiziniais klausimais.

Matyt, jie yra ankstyviausi įrodymo reductio ad absurdum (suvedimo į absurdą) būdo pavyzdžiai. Jie taip pat laikyti Sokrato naudoto dialektinio metodo šaltiniu.

1. Achilas ir vėžlys. Greičiausias bėgikas niekada nepavys lėčiausio; Achilas nepavys vėžlio. Juk vejantysis pirma turi pasiekti vietą, kur buvo vejamasis, tačiau šis per tą laiką jau pajudės į priekį ir t.t.

2. Stadionas. Įvairių daiktų judėjimo greitis tuo pat metu yra įvairus, ir greitesnis, ir lėtesnis – priklausomai, kurių daiktų atžvilgiu žiūrėsime. Tad jei vienu metu judame ir tokiu, ir kitokiu greičiu, to negali būti.
[ aiškinama taip: du kūnai juda vienas priešais kitą. Vieno jų praėjimas pro kitą truks tiek pat laiko, kiek reiktų praeiti pro stovintį vietoje. Taigi, pusė lygi visam;
Anot kitų aiškinimo, ji tapati Galilėjaus paradoksui: begalinė visuma gali būti vienodos galios su savo dalimi ].

3. Neskriejanti strėlė. Iššauta strėlė šiuo momentu nejuda, o kybo ore. Ir taip yra kiekvieną akimirką. Kadangi laikas sudarytas iš akimirkų, strėlė niekada negalės pajudėti iš vietos.

4. Dichotomija. Judantis daiktas pradžioje turi įveikti pusę kelio, tada pusę likurio ir t.t. Kad ir koks trumpas būtų kelias, jis įveikiamas per begalinį kiekį atkarpų, ko neįmanoma padaryti per baigtinę laiko trukmę.

Pastaba: „Dichotomijos“ ir „Strėlės“ apriorijos primena senovės Kinijos „vardų mokyklos“ (min czia) atstovui Gunsun Lunui⁶⁾ (4-3 a. pr.m.e.) priskiriamus aforizmus:
* „Žaibiškame strėlės [skrydyje] yra nebūties ir judėjimo, ir sustojimo akimirkos“;
* „Jei nuo lazdos, [kurios ilgis] vienas či, kasdien atimsime po pusę, tai tai nesibaigs ir po tūkstančio kartų“.

Zenonas žinomas ir argumentais prieš įvairovę. Būtis susideda iš dalių, kurios gali būti dalomos, o nedalomos dalys neturi ir dydžio. Bet dydžio neturinčių dalių būtis irgi neturi dydžio. Tačiau, kita vertus, dalys negali neturėti dydžio, nes iš jų nesusidarytų dydį turinti visuma, tad jei visumą dalinsime begalinį kiekį kartų, visada gausime dydį turinčias dalis. Tad būtis susideda iš begalinio dydžio dalių, tad ji yra be galo didelė.

Taigi būtis tuo pat metu neturi dydžio ir yra be galo didelė. Taigi įvairovė yra prieštaringa ir todėl jos negali būti. [Panašūs klausimai aptarinėjami ir Platono dialoge „Parmenidas“ ]

Su tuo susijęs ir Zenono argumentas prieš juslinį pažinimą. Mestas grūdas, nukritęs ant žemės, nesukelia garso; taigi, be garso turėtų išbirti ir maišas grūdų. Tačiau jis sukelia garsą. Tai rodo, kad pojūčiai negali būti įrodymų šaltiniu.

Elėjos filosofinė mokykla (eleatų) gyvavo 6-5 a. pr.m.e., o jos pradininkais buvo buvo Ksenofanas ir Parmenidas (Zenono mokytojas). Ji išvystė savitą mokymą apie būtį, pagal kurį daiktų daugis yra dirbtinis suskaidymas. Būtis yra pilna, reali ir pažini, tačiau kartu neskaidoma, nekintanti ir amžina, neturinti nei praeities, nei ateities, nei gimimo, nei mirties. Šio vientiso pasaulio pažinimas įmanomas tik proto samprotavimų dėka, nes juslinis pasaulio vaizdas (įskaitant regimą judėjimą) apgaulingas ir prieštaringas. Tad geometrinį (ir aplamai matematinį) pažinimo būdą, būdingą pitagoriečiams, eleatai laikė nuolaida jusliniam akivaizdumui, pirmenybę teigdami grynai loginiam metodui. Taip jie pirmąkart istorijoje iškėlė su begalybe susijusių klausimų teisėtumą. Aristotelio potencialios ir faktinės begalybių atskyrimas nemaža dalimi kilęs iš Zenono paradoksų apmąstymo.

Antikos atomizmo susiformavimas susijęs su bandymais atsakyti į paradoksų iškeltus klausimus. Vėliau į tai įtraukta matematinė analizė, aibių teorija, nauji fizikiniai ir filosofiniai metodai.
V. Asmusas⁷⁾ nurodo, kad eleatai ne mūsų regimus judėjimą ir pasaulio įvairovę, o jų apmąstomumą, t.y. būties atitikimą moksliniams modeliams, kuri, anot eleatų, neįmanomi be prieštaravimų. Taip juos traktuojant jie nepaneigti ir aktualūs ir šiandien. D. Hilberto ir P. Bernaiso „Matematikos pagrinduose“ (1934) nurodoma, kad iš tikro (Achilo ir vėžlio) paradoksas yra tame, kad seka, kurios pasibaigimo negalim net įsivaizduoti, iš tikro vis tik privalo pasibaigti. Anot jų, paradoksų esmė yra prieštaravime tarp tolydaus, be galo dalaus matematinio modelio ir fiziškai diskrečios materijos. Panašiai samprotavo ir A. Bergsonas:
„Prieštaravimai, kuriuos nurodo eleatų mokykla, liečia ne tiek patį judėjimą, kiek tą dirbtinį judėjimo atvaizdavimą, atliekamą mūsų proto“.
O taip pat ir Nikola Burbaki:
„Klausimas apie begalinš erdvės dalumą (neabejotinai, iškeltą dar ankstyvųjų pitagoriečių) atvedė prie rimtų sunkumų filosofijje: nuo eleatų iki Bolvano ir Kantoro matematikai ir filosofai nepajėgūs išspręsti paradoksą – kaip baigtinis dydis gali būti sudarytas iš begalinio taškų, neturinčių mato, skaičiaus“.

Kitaip tariant, reiktų paaiškinti, kaip fizinis procesas per baigtinį laiką sugeba įgyti begalinį kiekį būsenų. Vienas galimų paaiškinimų: erdvėlaikis tikrovėje yra diskretus, t.y., egzistuoja minimalios tek erdvės, tiek laiko porcijos (kvantai). Diskretinį erdvėlaikį 20 a. 6-me dešimtm. aktyviai atarinėjo fizikai vieningo lauko teorijos kontekste – tačiau ženklaus proveržio neįvyko.

5 a. pr.m.e. graikų matematika pasiekė aukštą lygį, o pitagoriečių mokykla stiprino įsitikinimą, kad visų gamtos dėsniai paklūsta matematiniams dėsningumams. Ir matematinis judėjimo modelis buvo sukurtas geometrijos pagrindu. Pitagoriečių geometrija rėmėsi idealizuotomis sąvokomis: kūnas, paviršius, figūra, linija; o labiausiai idealizuota buvo taško erdvėje sąvoka (neturinčio jokių išmatuojamų savybių). O bet kuri kreivė buvo laikoma kartu ir netrūkia, ir susidedančia iš begalinio taškų skaičiaus. Matematikoje tas prieštaravimas nėkėlė problemų, tačiau jį taikant judėjimui iškilo klausimas, kiek teisėtas toks supratimas. Ir Zenonas problemą suformulavo savo paradoksais.

Aristotelis (4 a. pr.m.e.) laikė materiją vientisa ir be galo dalia. „Fizikos“ 4 (2-3 sk.), 6 (2, 9 sk.) ir 8 (8 sk.) knygose jis analizuoja ir atmeta Zenono paradoksus. Jis pabrėžia, kad nors laiką galima be galo dalinti, jis nesusideda iš izoliuotų taškų-akimirkų, ir su tuo begaliniu dalumu negalima tapatinti begalinio laiko:

Diogenas Laertietis praneša, kad buvo Aristotelio ir Heraklito iš Ponto kūriniai „Prieš Zenoną“, tačiau jie neišliko.

Pirmasis graikų atomistas Leukipas buvo Zenono mokiniu ir Demokrito mokytoju. O detaliausias atomizmo išdėstymas, Epikūro sistema (4-3 a. pr.m.e.), mus pasiekė išdėstyta Lukrecijaus Karo. Skirtingai nuo Aristotelio, Epikūras pasaulį laikė diskretiniu, susidedančių iš nedalių atomų ir tuštumos. Ypač sudomina izotachijos koncepcija, kad visi atomai juda vienodu greičiu. O kadangi negalima išmatuoti nieko mažesnio už atomą, iš čia seka, kad egzistuoja ir mažiausias išmatuojamas laiko intervalas [„nedalomųjų metodą“ ypač išvystė 16-17 a.].

Tad judėjimas vyksta šuoliukais. Aristotelio komentatorius Aleksandras Afrodisietis taip išdėstė epikūriečių požiūrius: „Teigdami, kad ir erdvė, ir judėjimas, ir laikas sudaryti iš nedalių dalelių, jie taipogi teigia, kad judantis kūnas jūda visama erdvės ilgyje, sudarytame iš nedalių dalių, o kiekvienoje jų judėjimo nėra, o tėra tik judėjimo rezultatas“. Toks požiūris nuvertina Zenono pradoksus, nes pasalina iš jų bet kokias begalybes.

„Ketvirtasis argumentas yra apie dvi kūnų eiles, kurių kiekviena sudaryta iš vienodo dydžio to paties kūnų skaičiaus, viena pro kitą praeinančių tuo pačiu greičiu priešingomis kryptimis. Viena eilė pradžioje užėmė vietą tarp tikslo ir vidurinio taško, o kita - nuo vidurio iki pradžios taško. Tai ... veda prie išvados, kad pusė duoto laiko yra lygi dvigubam to laiko kiekiui“.

Anot Simplicijaus, kinikas Diogenas, išgirdęs apie Zenono paradoksus, tiesiog atsistojo ir pradėjo vaikščioti. Tačiau tikram jų išsprendimui reikia parodyti, kur klaidingai argumentuojama, o ne vien pateikti išvadas. Ankstyviausi tokie bandymai buvo Aristotelio ir Archimedo.

Aristotelis pabrėžė, kad mažėjant atstumui mažėja ir laikas, reikalingas jam įveikti, tad ir laikas yra be galo mąžtančiu. Jis išskyrė ir „begalinius daiktus dalumo atžvilgiu“ nuo daiktų (ar atstumų), begalinių į tolį.

Archimedas sukūrė metodą baigtinio atsakymo gavimui be galo mažėjančių reikšmių sumai (matematinėje analizėje tai konverguojančios eilutės arba integracinis skaičiavimas).

Aristotelio požiūris į strėlės paradoksą buvo, kad „Laikas nėra sudarytas nedalomųjų dabarčių kaip ir joks dydis nesudarytas iš nedalomųjų“. Tai komentuodamas Tomas Akvinietis rašė: „Akimirkos nėra laiko dalys, nes laikas nesudarytas iš akimirkų kaip ir joks dydis nesudarytas iš taškų, kaip jau įrodėme. Iš čia neseka, kad duotu momentu nėra judesio, tiesiog todėl, kad nėra judesio bet kurią laiko akimirką“.

B. Raselas pasiūlė „ten-ten judesio teoriją“. Jis sutinka, kad negali būti judėjimo belaikės trukmės intervale, ir teigia, kad viskas, ko reikia judėjimo buvimui yra tai, kad strėlė būtų viename taške vienu metu,ir kitame taške kitu laiku, o taip pat atitinkamuose taškuose tarpiniais laiko momentais. Tokiu atveju tai pozicijos funkcija imant parametru laiką.

Nick Huggett‘as sako, kad Zenonas gudrauja, kai sako, kad daiktas užimantis tokią pat vietą, kaip esantis ramybės būklėje, yra ramybės būklėje.

Polemika dėl Zenono paradoksų vyko ir Naujaisiais laikais. Iki 17 a. visuotinai priimtina laikyta Aristotelio pozicija. Pirmą rimtą tyrimą atliko prancūzas Pjeras Beilis, „Istorinio ir kritinio žodyno“ (1696) autorius. Straipsnyje apie Zenoną Beilis kritikuoja Aristotelį, teigdamas, kad Zenonas teisus: laiko, ilgio ir judėjimo sąvokos neprieinamos žmogaus protui.

Panašios temos paliestos ir I. Kanto antinomijose. Hėgelis „Filosofijos istorijoje“ pabrėžė, kad Zenono materijos dialektika „iki šiol nepaneigta“ – ir Zenoną pripažino kaip „dialektikos tėvą“. Jis nurodė, kad Zenonas skiria jusliškai suvokiamą ir mąstomą judėjimą. Antrasis yra priešybių konfliktas, sąvokų dialektika.

Begaliniai procesai liko sunkūs nuo 19 a. pabaigos. Vejerštraso ir Koši epsilon-delta leido griežtą logikos ir skaičiavimų formuluotę. Tačiau kai kurie filosofai teigia, kad matematika visai nesprendžia pagrindinio paradoksų klausimo. 19 a. antroje pusėje Zenono paradoksus analizavo vokietis Eduardas Celeris, prancūzų mokslo istorikas Polis Taneris jais pasinaudojęs kritikuojant pitagoriečius), prancūzų istorikas Viktoras Brošaras (pagal jį, Zenono logika nepriekaištinga)...

Rimti nagrinėjimai ima kartu ir fizikinį ir matematinį modelius. R. Kurantas ir G. Robinsas laiko, kad paradoksų išsprendimui reikia pagilinti fizinio judėjimo sampratą. Laikui tekant kūnas nuosekliai pereina visus trajektorijos taškus, tačiau bet kuriam taškui sunku nurodyti kitą tašką, o tai sutrikdo seką.

Kitas iš pasiūlytų spendimų kvestionuoja Zenono prielaidą, kad tarp dviejų taškų visad yra kitas taškas. Be šios prielaidos tarp dviejų taškų yra tik baigtinis atstumų kiekis, todėl nėra begalinės judesių sekos ir paradoksas dingsta. Planko ilgio ir Planko laiko idėjos susijusios su matavimu, o ne su pačia erdve ir laiku. Anot Hermann Weyl‘o prielaida, kad erdvė yra sudaryta iš baigtinių ir diskrečių vienetų, sukelia kitą problemą, išreikštą „Tile argumentu“ arba „atstumo funkcijos problema“. Anot jos, stačiojo trikampio įžambinės ilgis diskretizuotoje erdvėje yra visad lygus vieno iš statinių ilgiui, kas prieštarauja geometrinei sampratai. Jean Paul van Bendegem‘as aiškina, kad Tile argumentas gali būti išspręstas, o diskretizacija gali pašalinti paradoksą. Vieną nekontinuuminės teorijos pavyzdė pateikė Sadeo Širaiši.

1977 m. fizikai E.C.G. Sudarshan‘as ir B. Misra aptiko, kad dinaminė kvantinės sistemos evoliucija gali būti veikiama stebint sistemą – tai pavadinta „kvantiniu Zenono efektu“, nes stipriai primena strėlės paradoksą. Teoriškai efektas buvo numatytas dar 1958 m.

Hibridinių ir su laiku susijusių sistemų verifikavime ir projektavime Zenono elgsena vadinamas sistemos elgesys, jei joje begalinis veiksmų skaičius turi būti atliktas per baigtinį laiką. Kai kurios formaliosios verifikacijos šį atvejį pašalina ir verifikuojamų, - taip pat ir projektuojant sistemas, nes jų negalima sukurti naudojant skaitmeninį kontrolerį. Paprastu tokių sistemų pavyzdžiu gali būti nuo šokinėjančio rutulio sustojimas, kai nesant kitų veiksnių matematiškai galima prognozuoti begalinį atsimušimų skaičių.

Komentarai:

¹⁾ Jonas Filoponas („Jonas Darbštuolis“, apie 490-570) dar vadinamas Jonu Gramatiku ir Jonu iš Aleksandrijos - Aleksandrijos kalbininkas, Aristotelio komentatorius, krikščionių teologas, neoplatoninkas, mechanikas ir fizikas, parašęs nemažai filosofinių ir religinių kūrinių. Tačiau 680-681 m. jo krikščioniški rašiniai pripažinti erezija dėl požiūrio į Trejybę (kaip į tris atskirus dievus). Jis parašė vieną ankstyviausių mus pasiekusių traktatų apie astroliabiją.
Jo rašiniai plito Viduramžiais paveikęs Bonaventūrą ir Buridaną. Jo Aristotelio „Fizikos“ kritika padarė įtaką Mirandolai ir Galilėjui, dažnai jį minėjusius savo kūriniuose.

²⁾ Temistijus (apie 317-390) – valstybės veikėjas, oratorius ir filosofas. Rašė komentarus Aristoteliui ir Platonui, apie sielą, apie fiziką, apie dangų, tačiau jo rašiniai eklektiški. liko pagoniu. Liko pagoniu ir laikė, kad krikščionybė ir helenizmas yra vienos universalios religijos formos.

³⁾ Diogenas Laertietis - 3 a. graikų filosofų biografas. Apie beveik nieko nežinoma, tačiau išliko jo „Iškilių filosofų gyvenimai ir mokymai“, iš kurio sužinome apie daugelio, iš kitur nežinomų, filosofų mokymų apibūdinimus.

⁴⁾ Elijas - 6 a. graikų mokslininkas, komentavęs Aristotelį (išliko nežymūs fragmentai) ir Porfirijų (išliko).

⁵⁾ Tomsono lempa - filosofinė mįslė, Zenono paradoksų atmainta, 1954 m. pasiūlyta brito Dž. Tomsono: Tarkim yra lempa su jungikliu. Vieną kartą paspaudus jungiklį lempa užsideda, kitą kartą paspaudus – išsijungia. Tegu lempa sujungta su chenomometru, paspaudžiančiu jungiklį kaskart po dukart trumpesnio laiko tarpo: po minutės, pusės minutės, ketvirčio minutės ir t.t. Klausimas: lempa po dviejų bendro degimo minučių yra įjungta ar išjungta? (begalinės eilutės suma yra lygi 2!) Ji negali būti įjungta, nes neįmanoma tuo pat metu ją įjungti ir išjungti; bet ji negali būti ir iškingta, nes aš negaliu tuo pat metu ją išjungti ir įjungti.

⁶⁾ Kung-sun Lunas (apie 320–250 m. pr.m.e.) – senovės kinų filosofas iš Čžao valstybės, vienas žinomesnių Vardų mokyklos (logikų, ginčininkų), atskilusios nuo moistų, atstovų, pagarsėjęs kaip puikus polemikas. Buvo karo priešininkas. Išgarsėjo jam priskiriamu samprotavimu, kad „baltas arklys nėra arklys“ (nes balti arkliai tėra tik balti, o ne visi kiti; tai kyla iš klasės ir tapatumo supainiojimo). Jam priskiriama ir keletas paradoksalių pasisakymų (filosofo Hui Ši stiliumi), išlikusių „Čžuan-czi“ (33 sk.) ir „Le-czi“ (4 sk.), kurių kai kurie primena Zenono dichotomijos ir strėlės aporijas. Jis pabrėžė vardų absoliutizmą ir pastovumą, priartėdamas prie Platono idėjų teorijos.

⁷⁾ Valentinas Asmusas (1894-1975) – ukrainiečių kilmės tarybinis filosofas, logikas, literatūrologas, pasižymėjęs neortodoksiniu marksizmu (nebuvo KP nariu, jam buvo uždrausta vykti į užsienį). Žaidė šachmatais. Žinomas I. Kanto filosofijos nagrinėjimu. Buvo B. Pasternako draugu (nuo 1931 m.). Jo pagrindinis darbas: „Marksas ir buržuazinis istorizmas“ (1935). 1946 m. aktyviai įsijungia į logikos atgaivinimą TSRS. 7- me dešimtm. buvo aktyvus rengiant Vakarų filosofų vertimus. Paskutiniais metais rengė, bet nebaigė monografiją „Istorinis-filosofinis procesas vaizduojant ir vertinant rusų egzistencializmą“; po jo mirties išleisti „Istoriniai-filosofiniai etiudai“ (1984).