Graikų matematikai - filosofai

Graikai labai plačiai išvystė matematiką. Šioje srityje jie viešpatavo kelis amžius ypač išvystę skaičių, lygčių teorijas bei geometriją. Pirmuoju didžiuoju graikų matematiku reiktų laikyti Talį iš Mileto (apie 624-547 m. pr.m.e.), o jo mokinys Anaksimandras iš Mileto (apie 610- 546 m. pr.m.e.) laikomas astronomijos pradininku. Garsiausiu, ko gero, Graikijos matematiku buvo Pitagoras iš Samos (569-475 m. pr.m.e.), kuris (bei jo mokiniai) tvirtino, kad viskas pasaulyje gali būti suvesta į skaičius. Pvz., jis pastebėjo, kad vibruojančios stygos sukuria harmonikas, kuriose stygų ilgiai yra sveikų skaičių santykiai ir taip labai prisidėjo prie matematinės muzikos teorijos. Pitagoriečiai atrado ir iracionalius skaičius (tokius, kaip square od 2), tačiau atsisakė juos pripažinti. Platonas (427-347 m. pr.m.e.) pasižymėjo griežtumo matematiniuose įrodymuose idėja, kuri paveikė sistemingą Euklido "Elementų" dėstymo būdą. Aristotelio (384-322 m. pr.m.e.) indėlis matematikai yra logikos išvystymas. Jei Platonas tikėjo vieninga aksiomų sistema, tai Aristotelis buvo realistiškesnis ir pasisakė už atskirą aksiomų sistemą kiekvienam mokslui.

[ Be žemiau išvardintųjų, iš pitagoriečių dar verti paminėti Timėjus iš Locri ir Bryso iš Heraklėjos. Manoma, kad Bryso bandė rasti apskritimo plotą įbrėždamas ir apibrėždamas kvadratus, kol galiausiai gaudavo daugiakampius, tarp kurių buvo apskritimo plotas (ir imant jų plotų aritmetinį vidurkį). ]

Kadangi dažnai matematikai kartu buvo ir astronomai, kviečiame aplankyti ir graikų astronomų puslapį, esantį tarsi jo išplėtimu.

Zenonas iš Elėjos (490-425 m. pr.m.e.) išgarsėjo savo paradoksais. Jis parašė knygą, kurioje pateikė 40 paradoksų, kurie susiję su kontinuumo koncepcija. Iš jų 4-is perteikė Aristotelis: dichotomiją, Achilo ir vėžlio lenktynes, strėlės skrydį ir stadijas. Moons of Hippocrates of Chios

Hipokratas iš Chijos (470-410 m. pr.m.e.) žinomas dėl "mėnulių" (mėnulio formos figūrų, kurias sudaro du apskritimų su skirtingais spinduliais lankai) kvadratūros paskaičiavimo. Jis tai atrado bandydamas išspręsti skritulio kvadratūros problemą. Jo indėlis yra ir kubo padvigubinimo uždavinio sprendimui. Jis parodė, kad kubo tūris gali būti padvigubintas, jei tarp skaičiaus ir jo dvigubai didesnės reikšmės galima surasti dvi vidurkių proporcijas. Jis pateikė geometrinį kvadratinių lygčių sprendimus ir tikriausiai žinojo apie priartėjimo metodą. Manoma, kad jo "Geometrijos elementai" tapo Euklido "Elementų" I ir II knygų pagrindu.

Teodoras iš Kirenės (465-398 m. pr.m.e.) buvo Platono ir Teoteto mokytojas. Jis žinomas savo indėliu į iracionalių skaičių koncepciją. Jis įrodė, kad kvadratinės šaknys nuo 3 iki 17 (išskyrus 4, 9 ir 16; o atvejis su 2 jau buvo žinomas anksčiau) yra iracionalūs skaičiai (t.y. jų negalima išreikšti jokia trupmena). Jo iracionalių skaičių nagrinėjimus apibendrino jo mokinys Teotetas. Jo įtaka perteikta Euklido "Elementų" X ir XIII knygose.

Hipijus iš Elias (460-400 m. pr.m.e.) prisimenamas savo kvadratrikse, kreive, kurios lygtis poliarinėse koordinatėse yra: Quadratrix

kurią naudojo kampo padalijimo į tris dalis ir skritulio kvadratūros uždavinių sprendimams. Vėliau Architas iš Tarentumo (428-350 m. pr.m.e.) ją panaudojo kubo padvigubinimo uždavinio sprendimui.

Menaechmas (380-320 m. pr.m.e.) nustatė kūgio pjūvius plokštuma, kurie sudaro elipsę, parabolę ir hiperbolę. Tai jam pavyko bandant padvigubinti kubą sprendžiant vidurkių proporcijų uždavinį. Galiausiai jis padvigubino kubą panaudodamas tuos kūgių pjūvius. Tegu duotiems a Menaechmus ir b ieškom dviejų vidurkių proporcijų tarp jų. Tada a/x = x/y = y/b. Iš čia gauname dvi lygtis x2 = ay ir xy = ab, kurių sprendimas atitinka parabolės x2 = ay ir hiperbolės xy = ab susikirtimo suradimą. Aišku, Menaechmas tą problemą sprendė ne taip – tuo metu dar nebuvo algebros įrankio.

Kitą sprendimo variantą, randant dviejų parabolių x2 = ay ir y2 = bx susikirtimą, nurodė Eutocijus iš Askalono (480-540 m. [mūsų eros ! ]) komentaruose Archimedo „Apie sferą ir cilindrą".

Aristarchas iš Samos (310-230 m. pr.m.e.) savo veikale „Apie Saulės ir Mėnulio dydžius ir atstumus" pabandė nustatyti tas reikšmes pasinaudodamas trigonometrijos žiniomis. Be to, jis postulavo heliocentrinės Visatos modelį - už ką stoikas Kleantas apkaltino bedievybe.
Plačiau žr. >>>>>

Nikomedas (280-210 m. pr.m.e.) žinomas savo konchoidės kreive, kurios lygtis poliarinėse koordinatėse: r=b+a sec O

Šią kreivę jis naudojo kampo padalijimui į tris dalis ir kubo padvigubinimui.
Konchoidė gaunama duotos kreivės kiekvieno taško spindulį (iš centro O) pakeičiant pastoviu dydžiu. Visos konchoidės yra cisoidės su apskritimu su centru taške O, kaip viena iš kreivių. Limasonė yra konchoidė nuo apskritimo. Nikodemo konchoidės buvo tiesei (kaip duotajai kreivei).

Chrysipas iš Soli (280-206 m. pr.m.e.) daugiausia dėmesio skyrė teiginių logikai. Jis parengė 118 veikalus apie logiką – ir tame tarpe garsųjį „melagio paradoksą" („Ar teisingas teiginys „aš esu melagis"), įgavusį daugybę formų ir atvedusį prie Giodelio teoremos (1931 m.).

Eratostenas iš Kirenės (276-194 m. pr.m.e.), dirbęs bibliotekininku Aleksandrijoje, garsus savo sietu, algoritmu pirminiams skaičiams surasti. Veikale „Apie Žemės išmatavimą" jis nurodė apytikslį Žemės dydį (1% tikslumu). Pagrindu jis ėmė atstumą nuo Asuano iki Aleksandrijos ir dalį lanko, kurį nustatė skaičiuodamas šešėlių ilgių skirtumą vidurdienį tose vietovėse. Vėliau jis teigė, kad jūros yra susisiekiančios ir kad Afriką galima apiplaukti ir "Indiją galima pasiekti plaukiant į vakarus nuo Ispanijos".
Taip pat paskaoičiavo metų trukmę (365,25) ir siūlė kas 4 m. įvesti keliamuosius metus. Be to sudarė vaizdingą, padabintą mitiniais personažais, 44 žvaigždynų katalogą ir pateikė 475 žvaigždžių sąrašą.

Apolonijus iš Pergos (262-190 m. pr.m.e.) buvo vadintas „Didžiuoju geometru" ir parašė 8-ias "Kūgių" knygas. Pirmosiose 4-e buvo nuo Euklido žinomos teoremos su keliomis naujomis, o likusios 4-ios knygos visiškai originalios.

Dionysodoras ir Kaunaso (250-190 m. pr.m.e.) išsprendė kubinę lygtį panaudodamas parabolės ir hiperbolės susikirtimą. Veikale „Apie torą" jis pateikė toro tūrio formulę.

Zenodoras (200-140 m. pr.m.e.) darbavosi su įvairiais geometrinio optimizavimo uždaviniais, Jis įrodė, kad taisyklingas n-kampis turi didžiausią plotą iš visų n-kampių, turinčių tą patį perimetrą., kad skritulio plotas yra didžiausias lyginant su bet kokiais taisyklingais daugiakampiais, turinčiais perimetrą, lygų apskritimo ilgiui, kad rutulio tūris yra didžiausia lyginant su bet kuriuo kūnu, turinčiu tokį pat paviršiaus plotą.

Hiparchas iš Rodo (190-120 m. pr.m.e.) sudarė stygų lenteles (kažką panašaus į šiuolaikines trigonometrines lenteles). Jis įvedė apskritimo dalijimą į 360 laipsnių. Daugiau >>>>

Geminus (10 m. pr.m.e. – 60 m.) įrodė, kad heliksė, apskritimas ir tiesės atkarpa tėra vienintelės kreivės, kurių bet kuri dalis yra sutampa su bet kuria to paties ilgio dalimi.

Heronas iš Aleksandrijos (10-75 m.) išvedė trikampio ploto formulę:
\s (s-a) (s-b) (s-c), kur s yra trikampio perimetro pusė [ s = (a+b+c)/2 ]. Taipogi jis buvo geras Claudius Ptolemy mechanikas, sukūręs daugelį praktinio ir teorinio pobūdžio veikalų mechanikos temomis. Iš jo "Pneumatikos" kilo hidraulikos mokslas. Daug dirbo tobulindamas įvairias mašinas ir automatus, imituojančius žmogaus veiksmus. Jis kūrė vyną pilstančias, gėtimus maišančius, geriančias ir dainuojančias skulptūras (veikė suspaustu oru). Taip pat sugalvojo vėjo malūno varomus vamzdelinius vargonus, garinį šildytuvą, vėliau pritaikytą romėnų pirtyse, savaime knatą nusikerpančią lempą ir žvakidę, kurioje žvakės liepsnos šiluma sudarydamo jėgą, verčiančią suktis virš jos pakabintas mažas figūrėles.

Menelėjus iš Aleksandrijos (70-130 m. pr.m.e.) pirmasis ėmėsi analizuoti sferinius trikampius. Jis įrodė teoremas apie juos, analogiškas teoremoms apie trikampius plokštumoje.
Daugiau apie jį >>>>>

Klaudijus Ptolomėjus (85-165 m.) parašė „Almagestą" iš 13-os knygų, kur propagavo Žemę, kaip pasaulio centrą. Tai to meto žinių apie astronomiją rinkinys. Jis paskaičiavo apytikslę pi reikšmę, lygią 3 * 17/120 (3,14167), panaudojęs įbrėžtą 360-kampį, 3, lygią 60o stygai (1,73205)

Diofantas iš Aleksandrijos (200-284 m.) vadinamas „Algebros tėvu". Jo 13-os knygų „Arithmatika" pateikė skaitinius algebrinių lygčių sprendimus. Jo laikmetyje dar nebuvo nulio ir neigiamų skaičių sąvokos, o ir iracionalių skaičių samprata dar nebuvo iki galo priimta. Tad jis pripažino tik teigiamus racionalių skaičių sprendimus, o kitus atmesdavo kaip beprasmius (apie Diofanto lygtis taip pat žr. >>>>). Jis algebriškai sprendė tiesines ir kvadratines lygtis. Taip pat aptarinėjo problemas, kaip rasti x, kai polinomų lygtys yra kvadratai ar kubai, pvz., kai x = 3 / 2, tai 4x + 2 yra kubas, o 2x + 1 yra kvadratas. Taip žr. >>>>

Papusas iš Aleksandrijos (Pappuss, apie 290-350 m.) – vienas paskutinių svarbesniųjų graikų, žinomas Papuso teorema (kad XYZ yra tiesė).
Pappus problem

Iš kitų jo veikalų žinomi komentarai Ptolomėjaus „Almagestui", komentarai Diodoro Siciliečio „Analemai" ir komentarai Euklido „Elementams".

Apie jo gyvenimą žinoma labai mažai, tik tiek, kad turėjo sūnų vardu Hermodoras. Jis parašė 8 knygų apimties „Synagogue" (Rinkinys), kurio išliko tik keli fragmentai graikų ir arabų kalbomis. Jame pateikė savo laikmečio matematikos, ypač geometrijos, žinias įvairiose matematikos srityse. 7 knygoje yra „Papuso uždavinys" (kad XYZ yra tiesė):

Rašydamas apie bites Papusas išgiria šešiakampę jų korių formą. Specializavosi didelių skaičių problematikoje bei konstravo pusapskritimiuose.

Hipatija ( Hypatia , apie 360-418) – Theono iš Aleksandrijos duktė, pirmoji iškili matematikė, po kurios matematika Aleksandrijoje pasibaigė. Buvo pagonė. Apie 400 m. ji tapo Aleksandrijos neoplatonizmo mokyklos vadove. Parašė Platono, Aristotelio ir kitų graikų filosofų, astronomų (Ptolomėjaus), matematikų (Diofanto, Apolonijaus, Euklido) veikalų komentarų. Iki mūsų dienų jos darbų nėra išlikę. Dalyvavo politikoje ir turėjo įtaką prefektui Orestui, todėl nuolat kildavo trintis su vyskupu Kirilu (vėliau kanonizuotu), kurio pasekėjai ją užpuolė ir nužudė. Kitą jos mirties versiją pateikė Sokratas Scholastas. Daugiau >>>>>

Vėliau dar buvo Izidoras iš Aleksandrijos (5 a. pabaiga), buvęs filosofo, „paskutiniojo neoplatoniko" Damaskijaus iš Damasko (apie 460-538) mokytoju. Simplicijus iš Kilikijos (apie 490-560) rašė komentarus Aristotelio veikalams.

529 m. imperatoriui Justinianui uždarius pagoniškąją Atėnų mokyklą, graikų kultūros centras persikėlė į Konstantinopolį, kur gyveno matematikai ir architektai Izidoras iš Mileto bei Antemijus iš Tralų (apie 474-558). Manoma, kad būtent Izidoras Euklido „Elementus" papildė vadinamąja 15-a knyga. Jis taip pat surinko ir paskelbė Eutocijaus veikalus. Antemijus aprašė elipsės stygų sudarymą, parašė knygą apie kūgius, veikalą „Apie deginančius stiklus".

Galiausiai, 5 a. (po Kristaus) graikų matematika užgeso kaip sudegusi žvakė... Priežastys tam gali būti tokios:

Kai kurie kiti pažymėtini matematikai aprašomi atskirai.

 

Talis iš Mileto  (apie 624 - apie 547 m.pr.m.e.)

Herodotas sako, kad Talis kilęs iš finikiečių. Tačiau jo tėvo vardas Eksamijas nepatvirtina požiūrio, kad jis buvo semitas. Jis buvo karijus, kuriuos beveik visiškai asimiliavo jonėnai.

Tai pirmasis iš žinomų graikų filosofų, mokslininkų ir matematikų. Jis vienintelis filosofas iš 7 išminčių iki Sokrato. Jis pasireiškė ir politikoje, raginęs Jonijos valstybes apsijungti į federaciją su Teoso sostine. Laikoma, kad jis buvo Anaksimandro (611-545 m.pr.m.e.) mokytoju (anot Theofrasto, Ksenofonas buvo Anaksimandro mokinys). Proklas, paskutinis iš didžiųjų graikų filosofų, rašė:
"[Talis] pirmiausia nuvyko į Egiptą ir tokiu būdu tą mokslą [geometriją] atnešė į Graikiją. Jis atrado daug teiginių ir išmokė savo pasekėjus..."

Tai tikėtina, nes Talis žinojo apie Nilo potvynius. Herodotas mini tris galimas Nilo potvynių priežastis, tačiau neįvardija jų autorių. Pirmoji, Eteso vėjų, "Placita" (kaip ir vėlesnių autorių) priskiriama Taliui. Aristoteliui priskirtame veikale apie Nilo potvynius (žinomam graikų komentatoriams, tačiau išlikusiame tik lotyniškoje 13 a. santraukoje) ji irgi priskiriama Taliui, antroji Euthymenes iš Massalia, o trečioji Anaksagorui. Šiuos vardus Aristotelis galėjo paimti iš Hekatėjaus, ypač, kai Hekatėjas mini Euthymenes.

Geometrija

Taliui priskiriamos 5 teoremos:
a) Apskritimas dalijamas pusiau bet kuriuo diametru;
b) lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs;
c) kampai tarp dviejų persikertančių tiesių yra lygūs;
d) Du trikampiai yra lygūs, jei lygūs du kampai ir viena kraštinė;
e) pusapskritimio kampas yra status.

Diogenas Laertietis (2 a.) cituoja Hieronymus, Aristotelio mokinį (panašiai rašė ir Plinijus bei Plutarchas):
"Talis mokėjo matuoti piramides stebėdamas jų šešėlio ilgį tuo momentu, kai mūsų šešėlis tapdavo lygus mūsų ūgiui".

Kita

Pasakojama, kad jis nuspėjo 585 m. gegužės 28 d. Saulės užtemimą(tačiau jis visai nežinojo to reiškinio pasekmės, kaip ir Anaksimandras bei jo pasekėjai). Apie tai Herodotas rašė: "... diena staiga virto naktimi. Tai nuspėjo Talis iš Mileto, perspėjęs joniečius apie tai, tiksliai nuspėdamas metus, kada jis įvyks. Medai ir lidai, stebėję pasikeitimą, liovėsi kovęsi ir vienodai siekė taikos susitarimo".

Jis manė, kad Žemė (plokščias diskas) plaukia ant vandens ir visi daiktai iš jo kilo. Aristotelis "Metafizikoje" rašė: "Talis iš Mileto mokė, kad visi daiktai yra vanduo". Talio laikais svarbus dėmesys buvo skiriamas meteorologijai, tad čia galima bandyti rasti paaiškinimą šiam tvirtinimui. Iš visų stebimų stichijų, vanduo įgauna daugiausia formų. Garavimas gali būti pagrindu aiškinant, kad vandens garai palaiko dangaus šviesulių ugnį (net šiuolaikiniai žmonės sako "saulė traukia vandenį"). Vanduo grįžta lietumi ir, galima manyti, virsta žeme. O rasa, nakties rūkas ir požeminių šaltinių buvimas galėjo patvirtinti, kad žemė gali vėl virsti vandeniu.

Mokė nustatyti laivų kursą pagal Šiaurinę. Jis parengė parapegma, tam tikrą kalendorių, kuriame sužymėjo ekvinokcijas ir solsticijas, Mėnulio fazes, kai kurių žvaigždžių patekėjimus ir nusileidimus. Pranašavo orus.

Pas Herodotą Talis paminimas dar kartą prieš Lidijos monarchijos žlugimą, kaip raginęs susivienyti Jonijos graikams įkuriant valstybę su Teos sostine.

Aristotelio pateikiami teiginiai leidžia spėti, kad Talis tikėjo "pasaulio siela". Jos idėją Taliui priskiria ir Aetius stoikų kontekste. Ciceronas sako, kad Talis laikė, kad yra dieviškas protas, kuris visus dalykus sukūrė iš vandens. Taip pat Talis tvirtino, kad visi daiktai pilni dievų, o magnetas yra gyvas, nes turi galią judinti geležį.

Pasakojama apie Talį, kaip praktiką (iki Aristotelio jo net nemini, kaip filosofo). Jis nuspėjo, kad kitais metais bus didelis alyvų derlius ir supirko visus presus. Taip pasidarė nemažai turto. Iš kitos pusės apie pasakoja, kaip išsiblaškiusį mokslininką – kaip, užsižiūrėjęs į žvaigždes, įkrito į duobę. Kai tarnaitė padėjo jam išlipti, ji prikišo: "Kaip gali tikėtis suprasti, kas vyksta danguje, jei net nematai, kas po kojomis".

Eutocijus iš Askalono, Palestina   (apie 480-apie 540 m. pr.m.e.)

Jis parašė komentarus trim Archimedo veikalams, o taip pat komentarus pirmoms 4-ioms Apolonijaus "Kūgių" knygoms. Astronomijos srityje jis parašė įvadą pirmai Almagest knygai. Jo dėka išliko svarbūs darbai:
a) kubo padvigubinimo ir dviejų vidurkių proporcijų sprendimai: Platono, Herono, Filonas, Apolonijus, Diocles, Pappus, Sporus, Menaechmus, Archytas, Eratosthenes, Nicomedes;
b) Eutocijaus surastas fragmentas apie dingusį sprendimą, minėtą Archimedo veikale "Apie sferą ir cilindrą", susijusį su papildoma problema sprendžiant kubinę lygtį (a-x)x2 = bx2 kūgių priemonėmis (means).

Askalonas minimas Biblijoje (kaip Askelon) ir jame Erodas buvo pastatęs puikių visuomeninių pastatų. Iš čia Eutocijus vyko į Aleksandriją, kur buvo Amonijus (buvusio Proklo mokiniu) mokinys.

Pitagoras iš Samos

Gimė apie 569 m.pr.m.e. Samos saloje, Jonijoje, mirė apie 475 m.pr.m.e. Jo tėvas buvo iš Tyro kilęs pirklys Mnesarchus, o motina samosietė Pythais. Manoma, kad jis turėjo du (pagal kai kuriuos šaltinius, tris) brolius. Likęs pasakojimas, kad bado metu jo tėvas atvežė grūdų į Samos ir taip užsitarnavo gyventojų pagarbą. Vaikystėje jaunuolis daug keliavo su tėvu ir mokėsi pas chaldėjus ir Sirijos išminčius. Filosofas Pherekydes laikomas jo mokytoju, o dar du, Talis ir jo mokinys Anaksimandras, gyvenę Miletus, padarė įtaką ir sudomino matematika ir astronomija.

Jų patartas, apie 535 m.pr.m.e. Pitagoras nuvyko į Egiptą. Tai įvyko praėjus keliems metams tiranui Polikratui paėmus Samos valdymą. Manoma juodu draugavus ir Pitagorą vykus su Polikrato laišku. Yra užuominų, kad jis lankė daugelį šventyklų ir diskutavo su jų žyniais. Tad nesunku nustatyti daugelio dalykų sąryšį su Egiptu: slaptumas, atsisakymas valgyti pupas ir dėvėti drabužius iš gyvūnų odos ir kt.

525 m.pr.m.e. Persijos karalius Cambyses II užgrobė Egiptą. Polikratas prisidėjo prie persų. Pitagoras buvo suimtas ir įkalintas Babilone. Iamblichus (3 a.) apie tai rašo: "ten jis buvo supažindintas su Magoi... ir jų slaptomis apeigomis ir mistinį dievų garbinimą. Taip pat jis pasiekė tobulumą aritmetikoje ir muzikoje ir kituose matematiniuose moksluose".

Apie 520 m.pr.m.e. Pitagoras grįžo į Samos, kai 522 m.pr.m.e. Polikratas buvo nužudytas, o Cambyses miręs. Darijus paėmė Samos valdžią. Netrukus Pitagorus išvyko į Kretą susipažinti su jos įstatymų sistema. Grįžęs į Samos, įsteigė mokyklą.

Apie 518 m.pr.m.e. jis išvyko į pietų Italiją ir Krotone (šiandieninėje Krotonėje) įsteigė mokyklą, sutraukusią daug pasekėjų (tiek vyrų, tiek moterų). Griežtų taisyklių valdoma bendruomenė vadinta "mathematikoi". Jos nariai neturėjo asmeninių turtų ir buvo vegetarai. Pagrindiniai jo mokymo aspektai:
1) giliausiame lygyje realybės prigimtis matematikoje;
2) filosofija naudojama dvasiniam apsivalymui;
3) sielos gali pakilti ir susijungti su dieviškuoju pradu;
4) kai kurie simboliai turi mistinę prasmę;
5) visi bendruomenės nariai turi laikytis lojalumo ir slaptumo principų.

Pitagorui skaičiai buvo suasmeninti: "Kiekvienas skaičius turi savo asmenybę – vyrišką ar moterišką, tobulą ar netobulą, gražią ar bjaurią... 10 buvo geriausias skaičius, jis talpino pirmus keturis: 1, 2, 3, 4 (1+2+3+4=10". Jam (ar pitagoriečiams) priskiriama:
1) Trikampio kampų suma lygi dviem statiesiems kampams.
2) Pitagoro teorema – stačiojo trikampio kraštinių kvadratų suma lygi įstrižainės kvadratui.
3) Geometrinės algebros uždaviniai, pvz. lygčių a-x = x2 sprendimas geometrijos priemonėmis.
4) Iracionalių skaičių atradimas, kas prieštaravo jų filosofijai, kad visi daiktai yra skaičiai (nes skaičiais laikė tik trupmenas).
5) Penki taisyklingi kietieji kūnai.
6) Žemė yra sfera Visatos centre, Mėnulio orbita pasvirusi pusiaujo atžvilgiu, o Aušrinė ir Vakarė yra ta pati planeta.

Tačiau, visų pirma, Pitagoras buvo filosofas ir laikė, kad pasaulio struktūros dinamika priklauso nuo priešybių sąveikos; kad siela yra savaime judantis skaičius, apsivalantis per nuoseklias reinkarnacijas; kad visi objektai sudaryti iš formų, o ne materialios substancijos. Vėliau pitagoriečiai smegenis skyrė sielos buveine...

513 m.pr.m.e. Pitagoras nuvyko į Delos aplankyti mirštančio Pherekydes ir ten išbuvo kelis mėnesius. 510 m. Krotoną užpuolė kaimyninis Sybaris, 508 n.pr.m.e. Bendruomenę užsipuolė vietinis didikas Cylon. Pitagoras pabėgo į Metapontiumą, kur mirė. Apie 460 m. pr.m.e. bendruomenė buvo grubiai persekiojama. Išsigelbėję pitagoriečiai pasitraukė į Tėbus ir kitas vietas.

Architas iš Tarentumo

Architas gimė apie 428 m. pr.m.e. Tarentume (dabar Taranto miestas pietų Italijoje), mirė apie 350 m. pr.m.e. Pietų Italija (Magna Graecia) 5-e a. pr.m.e. buvo valdoma graikų. Kadaise joje įtaką turėję pitagoriečiai buvo užsipulti ir išvaryti, - ir jų įtakoje liko tik Tarentumas. Architas vadovavo pitagoriečiams ir bandė suvienyti to krašto graikų miestus. Jis vadovavo Tarentumo pajėgoms ištisus 7 m., nors pagal įstatymą tebuvo leidžiama vadovauti tik 1 m.

Platonas dažnokai lankėsi Sicilijoje ir trečiosios jo kelionės ten metu, 361 m. pr.m.e. buvo suimtas Dioniso II. Platonas parašė Architui, kuris (kartu su Dionisu) pasiuntė laivą jį gelbėti.

Architas buvo Filolauso mokinys ir buvo tvirtas Pitagoro filosofijos šalininkas, laikydamasis
Duplication of cube
Duplication of cube
nuostatos, kad matematika yra priemonė visiems dalykams pažinti. Jis tvirtino, kad matematiką sudaro 4 šakos: geometrija, aritmetika, astronomija ir muzika. Vienas jo veikalų buvo "Apie matematiką", nors kai kurie teigia, kad jis vadino "Apie harmonikas". Iškart pro pratarmės joje aptariama tono aukštumą, dažnumą ir garsų teorija. Ši knyga buvo Platono rašinių apie garsų teoriją pagrindas. nors kai kurie teigia, kad jis vadino "Apie harmonikas". Iškart pro pratarmės joje aptariama tono aukštumą, dažnumą ir garsų teorija. Ši knyga buvo Platono rašinių apie garsų teoriją pagrindas.

Architas tyrinėjo harmoninį vidurkį ir jam suteikė tą pavadinimą. Jis į tai gilinosi, nes susidomėjo kubo padvigubinimo uždaviniu (kaip nubrėžti dvigubai didesnio tūrio kubo kraštinę). Hipokratas suvedė tą uždavinį į dviejų vidurkių proporcijų (a/x = x/b) suradimą. Architas uždavinį išsprendė geometrinėmis priemonėmis (aišku, naudodamasis ne vien tik liniuote ir skriestuvu). Viena jo inovacijų sprendžiant šį uždavinį buvo judesio panaudojimas. Jo metodas naudojo pusapskritimį, besisukantį trimatėje erdvėje ir kreivę, kusi susidaro jam kertant kitą trimatį paviršių. Apie Archito sprendimą žinome iš Eutocijaus iš Askalono raštų, kuriuose jis cituoja Eudemo iš Rodo "Geometrijos istoriją".

Kitas įdomus matematinis Archito atradimas yra tai, kad tarp dviejų skaičių (n+1) / n gali nebūti geometrinio vidurkio. Jo įrodymas artimas Euklido įrodymui, pateiktam po daugelio metų ir jame minimos teoremos, kurios vėliau pasirodys Euklido "Elementų" VII knygoje. Labai tikėtina, kad Euklidas VIII knygai informaciją pasiskolino iš Archito.

Architas kartais vadinamas mechanikos pradininku, nes, kaip tvirtinama, sukūrė du mechaninius prietaisus, kurių vienas buvo mechaninis paukštis, o kitas - barškutis vaikams, kuris, anot Aristotelio, buvo naudingas, nes buvo duodamas "užimti vaikams ir taip apsaugant daiktų namuose laužymą". Jam priskiriamas skriemulio išradimas ir teorinis pagrindimas. Jis sukūrė įvairius mechaninius prietaisus kreivių brėžimui bei uždavinių sprendimui. Juos kritikavo Platonas, nes laikė, kad jie daro žalą geometrijai, nes nuvertina ją kaip intelektualinę veiklą, tad vėlesni geometrai apsiribojo tik liniuote ir skriestuvu. Kaip matome, jo matematikos taikymai buvo visiškai priešingi Platono grynosios matematikos koncepcijai. Tas jų kitoniškumas įkvėpė lenkų poetą C. K. Norwid'ą (1821-83) eilėraščiui.

Architas domėjosi astronomija. Jis mokė, kad žemė yra sfera apsisukanti apie savo ašį per 24 val. Simplicijus "Fizikoje" išdėsto Archito požiūrį, kad visata yra begalinė:
"Jei būčiau prie kieto dangaus skliauto krašto, ar galėčiau į išorę iškišti ranką ar lazdelę? Tarti, kad negalėčiau, yra absurdas; ir jei aš galėčiau, tai išorėje būtų arba kūnas, arba erdvė (nėra skirtumo, kas yra, kaip pamatysime vėliau). Tad mes vėl taip pat galime pasiekti naują kraštą ir kiekvienąkart užduodami tą patį klausimą; ir jei visada bus vieta, į kurią galiu iškišti savo lazdelę, tai aiškiai parodo, kad tolti galim be galo....kas bebūtų, kūnas ar erdvė".

Politikos ir etikos filosofiją Architas irgi grindžia matematika. Jis rašė ir apie mokymąsi: "Kad sužinotų apie nežinomus dalykus, žmogus turi arba išmokti iš kitų, arba atrasti pats.".

Architos paskendo laivui sudužus netoli Tarentumo ir jo kūnas buvo išmestas į pakrantę.

Antifonas Sofistas

Gimė 480 m.pr.m.e. Atėnuose, mirė 411 m.pr.m.e. Atėnuose. Sokrato amžininkas buvo oratorius. Išliko daug jo pasakytų kalbų ir parašė nemažai filosofinių veikalų, kurių išliko tik maži fragmentai. Tarp jų "Apie tiesą", "Apie santarvę", "Valstybės veikėjas", "Sapnų išaiškinimas". Veikale "Apie tiesą" buvo palaikomas Parmenido požiūris, kad egzistuoja vienintelė tikrovė, o regimas daiktų pasaulis nėra tikras. Tas pačias idėjas paradoksų pagalba palaikė ir Zenonas iš Elea. Veikale "Apie santarvę" gynė valdžią kaip saugumo garantą nuo anarchijos ir rekomendavo savęs ribojimo principus tiek bendruomenei, tiek atskiram asmeniui.

Jis įsitraukė į anti-demokratinį sukilimą, kuris žlugo – ir buvo nubaustas mirti. Thucydides net mano jį buvus jo vadovu ir net jo kalbos, "geriausios iš kada nors [pasakytų] teisme" nepadėjo išsigelbėti.

Antifonas prisidėjo ir prie matematikos vystymo, pabandęs išspręsti skritulio kvadratūros problemą. Jis pasiūlė priartėjimo metodą [vėliau išvystytą Eudokso], kai įbrėžto daugiakampio kraštinės dvigubinamos tol, kol skirtumas tampa nežymus. Šiame kontekste jį pamini Aristotelis: "geometro reikalas yra paneigti kvadratūrą segmentų priemonėmis, bet ne jo reikalas paneigti Antifono [metodą]". Šios citatos "segmentai" yra nuoroda į Hipokrato "mėnulius".

Tačiau Simplicius nesuprato, ką darė Antifonas, - manydamas, kad sprendė skritulio kvadratūros uždavinį:
"atsitiks, kad turėsime įbrėžtą daugiakampį, kurio kraštinės dėl savo mažumo sutaps su apskritimu. O mokėdami nubrėžti kvadratą, [plotu] lygų bet kuriam daugiakampiui,... galėsime nubrėžti kvadratą, [plotu] lygų skrituliui".

Eudoksas iš Knido (408 – 355 m.pr.m.e)

Taip pat apie Eudoksą skaitykite >>>>>

Eudoksas gimė 408 m.pr.e. Knide (Resadiye pusiasalyje, Mažojoje Azijoje, dabartinės Turkijos teritorijoje). Tėvas buvo Aischinas. Žinoma, kad keliavo į Tarentumą (dabartinėje Italijoje), kur mokėsi pas Archytą, buvusiu Pitagoro pasekėju. Archytą domino kubo padvigubinimo uždavinys, tad tikėtina, kad tai paskatino ir Eudokso susidomėjimą juo. Kitos sritys buvo skaičių teorija bei muzikos teorija. Eudoksas apsilankė ir Sicilijoje, kur studijavo mediciną pas Filistoną, o vėliau, kartu su gydytoju Theomedonu, aplankė Atėnus, kur praleido du mėnesius ir galėjo klausyti Platono ir kitų Akademijos mokytojų paskaitų. Vėliau metus gyveno Egipte, kur studijavo astronomiją pas Heliopolio žynius. Iš čia vyko į Cyzicus, Mažosios Azijos šiaurės vakaruose pietiniame Marmuro jūros krante. Čia įsteigė mokyklą, tapusią labai populiaria.

Apie 368 m. pr.m.e. Eudoksas, kartu su mokiniais, antrąkart aplankė Atėnus. Tada Eudoksas grįžo į gimtąjį Knidą ir buvo skatinamas įsijungti į įstatymų kūrimą. Tačiau jis tęsė mokslinę veiklą, Knide pastatė observatoriją ir žinoma, kad iš ten stenėjo Canopus žvaigždę. Astronominiai stebėjimai buvo dviejų dingusių knygų pagrindas: "Veidrodis" ir "Phaenomena". Hiparchas teigia, kad juose aprašomi žvaigždynų patekėjimai ir nusileidimai.

Eudoksas prisidėjo prie proporcijų teorijos vystymo. Didžiausiu laikmečio sunkumu buvo tai, kad kai kurie ilgiai buvo nesulyginami. Pvz., x ir y palyginimas, randant ilgį t tokį, kai sveikiems m ir n x = mt ir y = nt, nebuvo surandamas, kai atkarpos buvo 1 ir 2 kv.šaknis (kaip įrodė Pitagoras). Eudokso išvystyta teorija pateikiama Euklido "Elementų" 5 knygoje. 4 apibrėžimas vadinamas Eudokso aksioma:
"Sakoma, kad dydžiai turi palyginamą tarpusavio santykį, kai bet kurio daugiklis gali viršyti kitą".
Čia Eudoksas tvirtina, kad atkarpa ir sritis neturi proporcijos santykio. Tačiau 1 ir 2 kv. šaknies ilgio atkarpos gali būti palyginamos, nes 1 * v2 > 1 ir 2 * 1 > v2.

Eudoksas nurodo ir tai, kada dvi proporcijos yra lygios. Naudojant šiuolaikinę notaciją, jo teiginį (Elementų 5 kn. 5 apibrėžimas) galima pateikti taip (kas atitinka Vejerštraso lygių skaičių apibrėžimą):
Kampyle of Eudoxus a:b ir c:d yra lygūs, jei bet kuriems sveikiems m ir n:
1) jei ma < nb, tada mc < nd;
2) jei ma = nb, tada mc = nd;
3) jei ma > nb, tada mc > nd.

Kitas svarbus Eudokso indėlis į matematiką buvo jo ankstyvas darbas apie integravimą remiantis priartėjimo metodu. Tai savaime išsivystė iš jo proporcijų teorijos, nes dabar jis galėjo palyginti iracionalius skaičius. Be to, jis rėmėsi ankstesnėmis Antifono idėjomis apie skritulio aproksimavimą įbrėžtais taisyklingais daugiakampiais didinant briaunų skaičių. Naudodamas juos jis davė griežtus įrodymus teiginiams (pirmąkart išsakytiems Demokrito), kad:
a) piramidės tūris yra lygus trečdaliui prizmės, su tokiu pat pagrindu ir aukščiu, tūrio;
b) kūgio tūris lygus trečdaliui cilindro , su tokiu pat pagrindu ir aukščiu, tūrio.

Žinome, kad Eudoksas nagrinėjo kubo padvigubinimo problemą. Erasfenas, parašęs uždavinio sprendimo istoriją, teigė, kad Eudoksas jį išsprendė kreivių pagalba. Tannery spėjo, kad Eudoksas naudojo kampyle kreivę.

Privalome aptarti ir jo planetarinę teoriją, išdėstytą neišlikusiame, tačiau, ko gero, jo garsiausiame traktate "Apie greičius". Savo sistemą jis sukūrė remdamasis pitagoriečių įsitikinimu, kad sfera yra tobuliausia forma. Jo homocentrinė sistema susideda iš besisukančių sferų; kiekvienai jų besisukanti apie ašį, einančią per Žemės centrą. Toji ašis nėra fiksuota ir, daugeliui sferų, pati besisukanti, nes apibrėžta prie kitos sferos pritvirtintais taškais. Diagram iliustrating axis rotation

Diagramoje turime dvi sferas S1 ir Sč. Pirmosios ašis XY yra sferos S2 skersmuo. S2 besisukant apie ašį AB, ašis XY taipogi sukasi. Jei abi sferos sukasi pastoviu, tačiau priešingos krypties, kampiniu greičiu, tada taškas P, esantis ant S1 pusiaujo, brėžia kreivę, panašią į aštuoniukę, kuri vadinama hipopede (kas reiškia "žirgo pančiai").

Eudoksas laikė, kad planeta keliauja panašiai taip, kaip taškas P. Jis įvedė trečią sferą, kad atitiktų pagrindinį planetos judėjimą žvaigždžių atžvilgiu, o judesys hipopede sudarydavo stebimą "atbulinį" planetos judėjimą. Tokia trijų sferų sistema buvo įdėta į ketvirtą sferą, kurioje sukosi žvaigždės. Ši Eudokso sistema, susidedanti iš 27 sferų, yra aprašyta Aristotelio "Metafizikoje". Simplicijus, rašydamas savo komentarus Aristotelio veikalui apie 540 m., irgi aprašo Eudokso sferas.

Hippopede of Eudoxus Bet ar pats Eudoksas tikėjo tų sferų realiu egzistavimu ar jas įvedė vien kaip paskaičiavimų modelį? Spėjimą, kad tai galėjo būti vien geometrinė konstrukcija, sustiprina tai, kad nežinoma apie jo pastabas dėl galimos sferų substancijos nei jų persidengimo būdo.

Taip pat Eudoksas parašė veikalą apie geografiją "Turas po žemę", kuri neišliko, tačiau įvairiuose šaltiniuose yra apie 100 citatų iš jos. Ją sudarė 7 knygos, kuriose aprašomos žemėje gyvenančios tautos, jų politinės sistemos ir istorija. Ypač autoritetingai rašė apie Egiptą ir religiją, tad aišku, kad nemažai sužinojo gyvendamas ten. 7-oje knygoje daug rašoma apie pitagoriečius Italijoje, su kuo irgi, matyt, turėjo būti susipažinęs.

Dinostratas (apie 390-320 m. pr.m.e.)

Dinostratą mini Proklas: "Amiklas iš Heraklėjos, vienas Platono giminaičių, ir Menaechmas, Eudokso, studijavusio su Platonu, mokinys ir jo brolis Dinostratas ištobulino Quadratrix of Hippias daug geometrijos dalykų".

Įprasta tvirtinti, kad Dinostratas skritulio kvadratūros sprendimui naudojo Hipijaus išrastą kvadratriksę (quadratrix). Papusas sako: "Skritulio kvadratūrai Dinostratas, Nikomedas ir kiti vėlesni matematikai naudojo specialią kreivę, savo pavadinimą įgavusią nuo tos savybės ir todėl jų buvo vadinta kvadratą formuojančia"

Iš šios citatos atrodo, kad kreivę atrado Hipijas, tačiau Dinostratas buvo pirmasis, panaudojęs ją kvadrato, lygaus duotam skrituliui, suradimui. Proklas, teigiantis, kad cituoja Eudemą, rašė:
use of quadratrix "Nikomedas į tris dalis dalijo bet kurį statų kampą spiralinėmis kreivėmis, kurių atradimas ir savybės jam priklauso ir kurių ypatingas charakteristikas buvo nustatęs. Kiti tą patį darė naudodami Hipijaus ir Nikomedo kvadratrisę".

Papusas nurodo, kaip kvadratriksė buvo naudojama skritulio kvadratūrai surasti. Kreivės brėžimą aprašo Hipijas. Quadratrix kerta kraštinę AD taške G ir lankas BED / AB = AB / AG tad apskritimo ilgis yra išreiškiamas tiesių linijų ilgiais. Tai leidžia nubrėžti kvadratą, kurio plotas lygus duoto skritulio plotui.

Papusas sako, kad Sporas kritikavo šį metodą. Jis tvirtino, kad linijos B'C' stūmimas niekada nekirs AD ir todėl taškas G nebus nustatytas. G taškas gali būti nustatomas tik kaip riba. Ir neabejotinai Papusas yra teisus.

©2009. Visos teisės saugomos. Jokia teksto dalis negali būti panaudota be leidimo ir šaltinio nurodymo.

Iniciatyva: Matematikos keliu

Kitos biografijos:
Eudoksas iš Knido
Hiparchas iš Rodo
Graikų astronomai
Euklidas iš Aleksandrijos
Matematikai: Davidas Hilbertas
Platonas ir Aristotelis
Porfirijus. "Nimfų ola"
Tacitas ir Gajus Suetonijus
Ankstyvasis misticizmas: Filonas Aleksandrietis
Simonas Samarietis - pirmasis gnostikas
Regima ir neregima Ibn Arabi įtaka
Gotfydas Vilhelmas Leibnicas
Peteris KarvaÕas. Archimedas


Kitos nuorodos:
Pitagoro teorema
Monistinės kosmologijos
Pliuristinės kosmologijos
Teofrastas. Apie akmenis
Arianas. Stoicizmo pagrindai
Hipatija – pirmoji matematikė
Didžiausias bendras daliklis
Matematika Egipte ir Finikijoje
Platonas buvo teisus dėl įgimtų idėjų
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Antikos filosofijos labirintai
Puankarė problemos įrodymas
Trumpa graikų filosofijos istorija
Herodoto "Istorijos" fragmentai
Filosofijos puslapis
Mitologijos puslapis
NSO puslapis