Kiekvienai paprastai sujungta kompaktiška uždara trimatė daugdara yra homeomorfinė trimatei sferai.
Taip pat skaitykite: Erdvės formos
Naujiena: 2010 m. kovo 18 d. Clay Matematikos institutas (CMI) paskelbė, kad Grigorijui Perelmanui (Rusija, St. Peterburgas) paskirta Tūkstantmečio premija už Puankarė teiginio įrodymą. Taip pat pranešta, kad birželio 8-9 d. Paryžiuje CMI ir A. Puankarė institutas (HPI) rengia konferenciją Puankarė teiginio įrodymo proga. Matematikas premijos atsisakė, žr. daugiau >>>>Sąvokos
Norint suprasti formuluotę, reikia išsiaiškinti, ką reiškia naudojamos sąvokos.
Trimatė sfera tai yra keturmatis kamuolys, kuris tenkina lygtį x2 + y2 + z2 + w2 = r2, kur r yra spindulys.
Kai vienmatė sfera yra apskritimas, dvimatė sfera yra rutulio paviršius, o trimatė sfera yra vienu matavimu aukštesnis paviršius.
Daugdara - tai erdvė, kuri sudaroma suklijuojant Euklido erdvės gabalus. Pavyzdžiui, galime paimti du dvimačius skritulius, išlenkti juos taip, kad susidarytų pusrutuliai ir tada juos suklijuoti. Gausime dvimatę sferą. Panašiai iš stačiakampio suformuojamas toras (baronka") suapvalinant ir sujungiant galus.
Trimatę sferą galima pagaminti iš dviejų rutulių. Tada įsivaizduokite, kad pirmojo rutulio paviršiaus kiekvienas taškas yra sujungtas su kito rutulio atitinkamu paviršiaus tašku.
Sakoma, kad daugdara turi kraštą arba ribą, jei bent vienas iš ją sudarančių gabalų suklijuotas su kitais ne visais kraštais. Puankarė teiginyje viena sąlygų yra kraštų neturėjimas (kaip sfera ar toras). Pateiktoje formuluotėje tai išreiškiama žodžiu uždara".
Kompaktinė daugdara yra apribota ir nesitęsia į begalybę (kaip į begalybę tęsiasi plokštuma ar begalinio ilgio cilindras).
Homeomorfiškumas yra topologijos sąvoka, išreiškianti objekto topologinių savybių tapatumą, pvz., puodukas topologiškai yra homeomorfinis torui (žiedui) - žr. >>>>.
Daugdara yra paprastai sujungta, jei bet kokia jos paviršiuje nubrėžta kilpa gali būti sutraukta į tašką. Pavyzdžiui, ant sferos užrišta virvutė. Tuo tarpu toras nėra paprastai sujungta daugdara, nes per žiedą perrištos virvutės nesutrauksite į tašką, kad ir kaip ją tampytume (aišku, kiaurai nepersmaukę žiedo).
Istorija
20 a. pradžioje Henris Puankarė (Henri Poincare) klojo topologijos pagrindus, tai, kas vėliau imta vadinti kombinatorine arba algebrine topologija. Jis ypač domėjosi sferos topologinėmis savybėmis. 1900 m. jis tvirtino, kad homologija, įrankis, kurį jis sukūrė remdamasis ankstesniais Enriko Beti (Enrico Betti) darbais, yra pakankamas įrodyti, kad trimatė daugdara yra trimatė sfera. Tačiau 1904 m. jis pateikė paneigiantį pavyzdį, dabar vadinamą Puankarė homologine sfera, kuri buvo pirmąja daugdara, turinčia tą pačia homologiją su sfera ir iš kurios daugelis kitų buvo sukonstruota. Kad įrodytų, kad toji skiriasi nuo trimatės sferos, Puankarė įvedė naują topologinį invariantą, fundamentaliąją grupę ir parodė, kad Puankarė sferos fundamentalios grupės laipsnis yra 120, o trimatės sfera teturi trivialią" fundamentalią grupę (triviali" reiškia, kad kiekviena kilpa gali būti sutraukta į tašką"
Puankarė teiginys ilgokai nepatraukė dėmesio, kol 4-me dešimtm. J.H.C. Whitehead'as juo susidomėjo. Jis atrado kaip kurių įdomių paprastai sujungtų nekompaktiškų trimačių daugdarų, kurios nėra homeomorfinės R3, kurio prototipas dabar vadinamas Whitehead'o daugdara.
6-7 dešimtm. matematikai pateikdavo įrodymus, kurie pasirodydavo esą su klaidomis. Įveikti teiginį bandė garsūs matematikai: R. Bingas, W. Hakenas, E. Moisė, Ch. Papakyriakopoulas, G. Whitehead, J. Stallings ir kt. 1958 m. Bingas įrodė silpnąją Puankarė teiginio versiją. Bandymus įrodinėti populiariai apžvelgia G. Szpiro knyga Puankarė premija".
1961 m. Stephen Smale įrodė Apibendrintą Puankarė teiginį (homotopinė n-matė sfera yra homeomorfinė n-matei sferai), kai n > 4. Kartu tai parodė, kad 3 ir 4 matavimų sferoms reikia taikyti visai kitokias teorijas. Tai pasitvirtino po dešimtmečio, kai 1982 m. M. Friedman'as įrodė jį keturmačiam atvejui. Jis taip pat pateikė visų paprastų keturmačių daugdarų klasifikaciją. Tiek S. Smale (1966), tiek M. Freedman'as (1986) gavo Fields medalius.
1982 m. R. Hamiltonas pateikė straipsnį, kuriame į daugdarą įtraukė Riči srautą (tenzorių; jis remiasi prieš 160 m. Ž. Furjė pateikta diferencialine lygtimi) ir parodė, kaip jį panaudoti kai kurių Puankarė atvejų įrodymui. Tai buvo Hamiltono programa. Vėliau jis tai išplėtė, tačiau Puankarė teiginio įrodyti nesugebėjo.
Perelmanui pavyko, nes jis įvedė naujų elementų, tame tarpe entropiją, kuria matavo ne betvarkę atominiame lygyje (kaip įprasta termodinamikoje), o globaliosios erdvės geometrijos betvarkę. Ši naujoji entropija irgi auga laikui bėgant. Taip pat naudojo J. Cheeger bei P. Aleksandrovo įvestas teorijas, kad nustatytų erdvės ribas, kurios keičiasi veikiamos Riči srauto.Hamiltono programa prasideda Rymano metrikos uždėjimo nežinomai trimatei daugdarai. Tą metriką pagerina" panaudodami Riči srauto lygtį:
kur g yra metrika, o R yra Riči kreivumas. Tikimasi, kad laikui t bėgant daugdara bus lengviau suvokiama.Įrodymas
2002-2003 m. keliuose straipsniuose rusų matematikas G. Perelmanas nurodė Puankarė teiginio įrodymo principus. Jis rėmėsi R.Hamiltono programa. Įrodymas išlaikė patikrinimą ir 2006 m. buvo patvirtintas (rastos klaidelės buvo nežymios ir galėjo būti ištaisytos naudojant tą pačią techniką). Tačiau G. Perelmanas atsisakė Clay matematikos instituto įsteigtos milijono dolerių premijos, skiriamos už bet kurios Tūkstantmečio problemos išsprendimą (kurių yra 7-ios; ir tik ši tėra išspręsta).
Be kitų naujovių, Perelmanui reikėjo išspręsti ir klausimą, kaip surasti geometrinių figūrų ribas (panašiai, kaip reikia rasti ribas matematinėje analizėje, ko mokoma pirmajame kurse). Čia verta prisiminti Zenoną ir jo paradoksą: stovite kambario viduje, tada nueinate pusę atstumo iki durų, po to dar pusę likusio atstumo ir t.t. Kiekvienąkart jūs arčiau durų, tačiau visada lieka vis mažėjantis atstumas iki jų. Durys yra riba, tačiau jų niekada nepasieksite per baigtinį priartėjimų skaičių. O dabar įsivaizduokite erdvinį kūną, besikeičiantį bėgant laikui. Kiekvienu žingsniu kūnas pasikeičia, bet niekada netampa idealios formos (glotnus). Ribiniam kūnui situacija skiriasi. Jis gali būti glotnus arba turėti ypatingų taškų, kitaip, singuliarumų. Ribinės formos yra vadinamos Aleksandrovo erdvėmis.
Diferencialinių lygčių taikymo geometriniams uždaviniams pradžią žymi 1963-iųjų J. Eels ir J. Sampson straipsnis. Jie įvedė harmonišką mapinimo lygtį, savotišką netiesinę Furjė šilumos lygties versiją. Pasirodė, kad tai galingas įrankis, leidžiantis spręsti geometrijos ir topologijos uždavinius. Reikia paminėti ir Yang-Mills lygtį, atėjusią iš kvantinių laukų fizikos. 1983 m. ji panaudota griežtų apribojimų nustatymui keturmatėje erdvės paviršiuose.
G. Perelmanas ir R. Hamiltonas įrodė teiginį deformuodami daugdarą panaudodami vadinamąjį Riči srautą (kuris elgiasi panašiai kaip šilumos lygtis, parašanti šilumos sklidimą kūnu). Riči srautas kūną deformuoja į apvalesnę formą - išskyrus kai kuriuos atvejus, kai jis ištempia daugdarą (tarsi karštą mozarelos sūrį) link singuliarumų. Tada G. Perelmanas ir R. Hamiltonas nukirsdavo daugdarą ties singuliarumais (procesas, kuris vadinamas chirurgine operacija") priversdamas atskirus gabalus suformuoti kamuolio formos objektus. Įrodyme pademonstruojama kaip elgiasi Riči srauto deformuojamos daugdaros, nustatoma, kokio tipo singuliarumai susidaro, nustatoma, ar operacija" gali būti užbaigta ir ar nereikės jos kartoti begalinį skaičių kartų.
© 2009. Visos teisės saugomos. Jokia teksto dalis negali būti panaudota be leidimo ir šaltinio nurodymo.
Literatūra
- G. Szpiro. Poincare's Prize
- R.H. Bing. Some aspects of teh topology of 3-manifolds related to Poincare conjecture// Lectures on Modern Mathematics, vol. II, 1964
- R. Hamilton. Three-manifolds with positive Ricci curvature// J. of Differential Geometry, no 17, 1982
- G. Perelman. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, Nov. 11, 2002
- G. Perelman. Ricci flow with surgery on three-manifolds, March 10, 2003
- G. Perelman. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, July 17, 2003
- J. W. Morgan, Gang Tian. Ricci Flow and the Poincare Conjecture, 2007 B. Kleiner, J. Lott. Notes on Perelman's papers, 2006
- Huai-Dong Cao, Xi-Ping Zhu. Hamilton-Perelman's Proof of the Poincare Conjecture and the Geometrization Conjecture, Dec. 2, 2006
- M. Anderson. Geometrization of Three Manifolds via the Ricci Flow// Notices of the AMS, vol. 51, No 2
- K. Chang. Highest Honor in Mathematics is Refused// New York Times, Aug. 22, 2006
- J. Cheeger. M. Gromov. Collapsing Riemannian manifolds while keeping their curvature bounded. I and II // J. Differrential Geom, 1986, vol.23, no 3; 1990, vol.32, no 1
- S.K. Donaldson. An application og gauge theory to four-dimensional topology// J. Differrential Geom, 1983, vol.18
Matematikos genijus pasitraukė
Barzdotas Griša Perelmanas linkęs gyventi tarsi atsiskyrėlis tarakonų apgultame bute St. Peterburge ir atsisako Clay matematikos instituto jam skirtos 1 mln. dolerių premijos už Puankarė teiginio įrodymą. Pro uždarytas duris jis pasakė korespondentui: Man nieko nereikia. Aš turiu viską, ko noriu.
Jo kaimynė Vera Petrovna pasakojo: Kartą buvau jo bute ir apstulbau. Jis teturi stalą, kėdę ir lovą su purvinu čiužiniu, kurį paliko ankstesni gyventojai alkoholikai, pardavę jam butą. Mes bandome išnaikinti tarakonus mūsų bloke, tačiau jie pasislepia pas jį.
2003 m. G. Perelmanas intenete paskelbė straipsnius, kurie, atseit, įrodė šimtametį Puankarė teiginį. Kruopštūs patikrinimai parodė, kad jo įrodymas teisingas. Bet po 2003-iųjų G. Perelmanas paliko darbą St. Peterburgo Steklovo Matematikos institute. Draugai sako, kas jis visiškai nusišalino ir nuo matematikos...
Dar prieš atsisakymą, į Perelmaną kreipėsi kelios visuomeninės organizacijos, prašydamos ne atsisakyti premijos, o atiduoti ją labdarai. St. Peterburgo komunistai prašė pinigų akademinių miestelių statybai bei V.Lenino mauzoliejui Maskvoje finansuoti. Vaikų labdaros fondas Šiltas namas žadėjo pinigus skirti našlaičių reikmėms. Atsakymų jie negavo.
O visai neseniai Runet pradėjo rinkti parašus dėl G. Perelmano kandidatūros kėlimo š St. Peterburgo garbės piliečius. Mokslininkas į tai atsakė trumpai: Nenoriu!
Beje, Perelmanas jau anksčiau buvo atsisakęs ir kitų premijų. Jam buvo skirta Europos matematikų premija, bet Perelmanas pareiškė, kad premijos steigėjai nėra kompetentingi šiais klausimas. Jis nepaėmė ir 2006 m. jam skirto tarptautinio Fieldso medalio ir premijos (15 tūkst. Kanados dolerių), kurie garbės požiūriu matematikos srityje prilyginama Nobelio premijai.
Keistuolio suprasti neįmanoma?
Vienas jo kursiokų teigia: Griša protingas lyg ateivis iš kitos planetos. Jis išsilavinęs visais klausimais. Jei neturite bendravimo su tokiais žmonėmis patirties, jo nesuprasite.
Grigorijus gimė 1966 m. St Peterburgo inžinieriaus ir matematikos mokytojos žydų šeimoje. Mokyklą lankyti pradėjo 6-rių jau tada mokėjo dauginti triženklius skaičius, kai vos keli jo bendraklasiai mokėjo suskaičiuoti iki 100. 6 klases baigė paprastoje mokykloje; jo motina, mokytojavusi toje pat mokykloje, sakėsi netgi išgyvenusi, kad negalėjo sūnaus leisti į labiau prestižinę mokyklą.
G. Perelmanas laikas buvo griežtai paskirstytas. Po pamokų motina sūnų vežė į miesto centre esančius pionierių rūmus, matematikos būrelį, kur jis lavinosi 3-4 val. (vėliau ten lankėsi ir jaunesnioji duktė Jelena, irgi gabi matematikai). 1982 m. Grigorijus, po ilgų atkaklių motinos pastangų, pagaliau buvo perkeltas į sustiprintos fizikos ir matematikos mokyklą. Čia besimokydamas dukart tapo geriausiu Rusijos matematiku, o 1982 m. gavo aukso medalį už Budapešte vykusioje tarptautinėje algebros ir matematikos olimpiadoje, kurioje 15-metis paauglys surinko maksimalų balų skaičių 42 iš 42.
Teoriškai jau tuomet Grigorijaus gyvenimas galėjo iš esmės pasikeisti jį kvietė tęsti mokslus Niujorke, žadėdami suteikti būstą ir padorią stipendiją. Tačiau vaikinas atsisakė viliojančio pasiūlymo nors tuo metu dar nebuvo atsiskyrėlis, pasinėręs į mokslą. Grigorijus buvo gabus ir humanitarinių mokslų srityje. Jis rašė be jokių klaidų, buvo puikus oratorius. Jam neblogai sekėsi muzikos mokyklos smuiko klasėje.
Vėliau mokslus tęsė Leningrado valstybinio un-to Matematikos-mechanikos fakultete, į kurį jį priėmė be egzaminų, kur pasirinko geometriją. Kai fizinio lavinimo dėstytojas siūlė studentams pasirinkti sporto šaką, Griša pasirinko boksą vienintelis iš viso kurso, nors fiziškai buvo silpnas.
Jo kursiokas S. Bržozovskis prisimena, kad Griša visais klausimais turėjo savo keistoką nuomonę ir jo argumentai niekada nesutapdavo su daugumos požiūriu. Priversti jį pakeisti nuomonę buvo neįmanoma. Grigorijus nesistengė ieškoti draugų, nesiekė merginų dėmesio. Buvo abejingas ir savo išvaizdai. Sąsiuvinius nešiojosi kažkokiame apšiurusiame maišelyje nuo batų, dėvėjo senus suplyšusius drabužius, retai šukavosi. Studentų pasilinksminimuose nedalyvaudavo, nerūkė, nevartojo alkoholio. Paskutiniais metais visiškai liovėsi bendrauti bet kokiomis temomis, išskyrus matematiką.
Kažkada buvęs gražus žydų berniukas vešliais garbanotais plaukais tapo anksti pasenusiu žmogumi nesusišukavusiu ir besirengiančiu, kuo pakliuvo. Jis nevedęs. Pasakojama, kad prieš kelerius metus kažkas pažįstamų pasidomėjo: Ar turi draugę? Grigorijus skėstelėjo rankomis: Kokia dar mergina, jei neturiu pinigų nupirkti bilieto į filharmoniją.
Erdvės formos
Algebros istorija
Didžioji Ferma teorema
Matematikai: Anri Puankarė
A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė
Pagrindinės algebrinės struktūros
Iniciatyva: Matematikos keliu
Abelio premijos laureatas
Egzotiškosios hipersferos - problema išspręsta
Matematika - tai žavesys ir tiesa
Pasikėsinimas į milijoninę premiją
Ateitis - elektrinės raketos
Matematikai: Davidas Hilbertas
Graikų matematikai - filosofai
Matematikos filosofinės problemos
8 alternatyvūs energijos šaltiniai
Nepaprastai suderinta Visatos sandara
N. Teslos tyrimų metodas ir pasaulėvaizdis
21 a. mokslo idėjos ir švietimas
Ar vasaros laikas taupo?
P. Fejerabendas prieš mokslą
Matematikai: Pjeras Ferma
Hiparchas iš Rodo
Vartiklio naujienos