Puankarė teiginys

Kiekviena paprastai sujungta kompaktiška uždara trimatė daugdara yra homeomorfinė trimatei sferai.

Taip pat skaitykite: Erdvės formos 
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus? 

 2010 m. kovo 18 d. Clay Matematikos institutas (CMI) paskelbė, kad Grigorijui Perelmanui (Rusija, St. Peterburgas) paskirta Tūkstantmečio premija už Puankarė teiginio įrodymą. Taip pat pranešta, kad 2011 m. birželio 8-9 d. Paryžiuje CMI ir A. Puankarė institutas (HPI) rengia konferenciją Puankarė teiginio įrodymo proga. Matematikas premijos atsisakė, žr. daugiau >>>>
Naujiena: Į G. Perelmano argumentaciją, atsisakant jam skirtos premijos (daugiau apie tai >>>>), kad atlygio nusipelnė ne vien tik jis, buvo atsižvelgta – 2011 m. Shaw premija (1 mln. dolerių) matematikos srityje dalijama pusiau ir viena jos dalis skiriama R. Hamiltonui, padėjusiam pagrindus Puankarė teiginio įrodymui.  Daugiau apie tai >>>>

Sąvokos

Norint suprasti formuluotę, reikia išsiaiškinti, ką reiškia naudojamos sąvokos.

Trimatė sfera – tai yra keturmatis kamuolys, kuris tenkina lygtį x2 + y2 + z2 + w2 = r2, kur r yra spindulys. Daugdaros konstravimas: Sfera

Taigi, vienmatė sfera yra apskritimas, dvimatė sfera yra rutulio paviršius, o trimatė sfera yra vienu matavimu aukštesnis paviršius.

Daugdara - tai erdvė, kuri sudaroma suklijuojant Euklido erdvės gabalus. Pavyzdžiui, galime paimti du dvimačius skritulius, išlenkti juos taip, kad susidarytų pusrutuliai ir tada juos suklijuoti. Gausime dvimatę sferą. Panašiai iš stačiakampio suformuojamas toras („baronka") – suapvalinant ir sujungiant galus.

Trimatę sferą galima pagaminti iš dviejų rutulių. Tada įsivaizduokite, kad pirmojo rutulio paviršiaus kiekvienas taškas yra sujungtas su kito rutulio atitinkamu paviršiaus tašku.

Sakoma, kad daugdara turi kraštą arba ribą, jei bent vienas iš ją sudarančių gabalų suklijuotas su kitais ne visais kraštais. Puankarė teiginyje viena sąlygų yra kraštų neturėjimas (kaip sfera ar toras). Pateiktoje formuluotėje tai išreiškiama žodžiu „uždara".

Kompaktinė daugdara yra apribota ir nesitęsia į begalybę (kaip į begalybę tęsiasi plokštuma ar begalinio ilgio cilindras). Skaitykite daugiau apie kompaktiškumo samprat1: >>>>

Homeomorfiškumas yra topologijos sąvoka, išreiškianti objekto topologinių savybių tapatumą, pvz., puodukas topologiškai yra homeomorfinis torui (žiedui) - žr. >>>>.

Daugdara yra paprastai sujungta, jei bet kokia jos paviršiuje nubrėžta kilpa gali būti sutraukta į tašką. Pavyzdžiui, ant sferos užrišta virvutė. Tuo tarpu toras nėra paprastai sujungta daugdara, nes per žiedą perrištos virvutės nesutrauksite į tašką, kad ir kaip ją tampytume (aišku, kiaurai nepersmaukę žiedo) [ Gana aišku, kodėl Puankarė teiginyje yra „jungumo” reikalavimas – dviejų jungių, tačiau ne homeomorfinių daugdarų pavyzdžiai yra toras ir sfera ].
Simply connected

Istorija

20 a. pradžioje Henris Puankarė (Henri Poincare) klojo topologijos pagrindus, tai, kas vėliau imta vadinti kombinatorine arba algebrine topologija. Jis ypač domėjosi sferos topologinėmis savybėmis. 1900 m. jis tvirtino, kad homologija, įrankis, kurį jis sukūrė remdamasis ankstesniais Enriko Beti (Enrico Betti) darbais, yra pakankamas įrodyti, kad trimatė daugdara yra trimatė sfera. Tačiau 1904 m. jis pateikė paneigiantį pavyzdį, dabar vadinamą Puankarė homologine sfera, kuri buvo pirmąja daugdara, turinčia tą pačia homologiją su sfera – ir iš kurios daugelis kitų buvo sukonstruota. Kad įrodytų, kad toji skiriasi nuo trimatės sferos, Puankarė įvedė naują topologinį invariantą, fundamentaliąją grupę ir parodė, kad Puankarė sferos fundamentalios grupės laipsnis yra 120, o trimatės sfera teturi „trivialią" fundamentalią grupę („triviali" reiškia, kad kiekviena kilpa gali būti sutraukta į tašką"

Puankarė teiginys ilgokai nepatraukė dėmesio, kol 4-me dešimtm. J.H.C. Whitehead'as juo susidomėjo. Jis atrado kaip kurių įdomių paprastai sujungtų nekompaktiškų trimačių daugdarų, kurios nėra homeomorfinės R3, kurio prototipas dabar vadinamas Whitehead'o daugdara.

6-7 dešimtm. matematikai pateikdavo įrodymus, kurie pasirodydavo esą su klaidomis. Įveikti teiginį bandė garsūs matematikai: R. Bingas, W. Hakenas, E. Moisė, Ch. Papakyriakopoulas, G. Whitehead, J. Stallings ir kt. 1958 m. Bingas įrodė silpnąją Puankarė teiginio versiją. Bandymus įrodinėti populiariai apžvelgia G. Szpiro knyga „Puankarė premija".

1961 m. Stephen Smale įrodė Apibendrintą Puankarė teiginį (homotopinė n-matė sfera yra homeomorfinė n-matei sferai), kai n > 4. Kartu tai parodė, kad 3 ir 4 matavimų sferoms reikia taikyti visai kitokias teorijas. Tai pasitvirtino po dešimtmečio, kai 1982 m. M. Freedman'as įrodė jį keturmačiam atvejui. Jis taip pat pateikė visų paprastų keturmačių daugdarų klasifikaciją. Tiek S. Smale (1966), tiek M. Freedman'as (1986) gavo Fieldso medalius.

1982 m. R. Hamiltonas pateikė straipsnį, kuriame į daugdarą įtraukė Riči srautą (tenzorių; jis remiasi prieš 160 m. Ž. Furjė pateikta diferencialine lygtimi) ir parodė, kaip jį panaudoti kai kurių Puankarė atvejų įrodymui. Tai buvo Hamiltono programa. Vėliau jis tai išplėtė, tačiau Puankarė teiginio įrodyti nesugebėjo.
Perelmanui pavyko, nes jis įvedė naujų elementų, tame tarpe entropiją, kuria matavo ne betvarkę atominiame lygyje (kaip įprasta termodinamikoje), o globaliosios erdvės geometrijos „betvarkę“. Ši naujoji entropija irgi auga laikui bėgant. Taip pat naudojo J. Cheeger bei P. Aleksandrovo įvestas teorijas, kad nustatytų erdvės ribas, kurios keičiasi veikiamos Riči srauto.

Hamiltono programa prasideda Rymano metrikos uždėjimo nežinomai trimatei daugdarai. Tą metriką „pagerina" panaudodami Riči srauto lygtį:
Ricci flow formula
kur g yra metrika, o R yra Riči tenzorius. Tikimasi, kad laikui t bėgant daugdara bus lengviau suvokiama.

Įrodymas Grigory Perelman

2002-2003 m. keliuose straipsniuose rusų matematikas G. Perelmanas nurodė Puankarė teiginio įrodymo principus. Jis rėmėsi R. Hamiltono programa. Įrodymas išlaikė patikrinimą ir 2006 m. buvo patvirtintas (rastos klaidelės buvo nežymios ir galėjo būti ištaisytos naudojant tą pačią techniką). Tačiau G. Perelmanas atsisakė Clay matematikos instituto įsteigtos milijono dolerių premijos, skiriamos už bet kurios Tūkstantmečio problemos išsprendimą (kurių yra 7-ios; ir tik ši tėra išspręsta).

Be kitų naujovių, Perelmanui reikėjo išspręsti ir klausimą, kaip surasti geometrinių figūrų ribas (panašiai, kaip reikia rasti ribas matematinėje analizėje, ko mokoma pirmajame kurse). Čia verta prisiminti Zenoną ir jo paradoksą: stovite kambario viduje, tada nueinate pusę atstumo iki durų, po to – dar pusę likusio atstumo ir t.t. Kiekvienąkart jūs arčiau durų, tačiau visada lieka vis mažėjantis atstumas iki jų. Durys yra „riba“, tačiau jų niekada nepasieksite per baigtinį priartėjimų skaičių. O dabar įsivaizduokite erdvinį kūną, besikeičiantį bėgant laikui. Kiekvienu „žingsniu“ kūnas pasikeičia, bet niekada netampa idealios formos (glotnus). Ribiniam kūnui situacija skiriasi. Jis gali būti „glotnus“ arba turėti ypatingų taškų, kitaip, singuliarumų. Ribinės formos yra vadinamos Aleksandrovo erdvėmis.

Diferencialinių lygčių taikymo geometriniams uždaviniams pradžią žymi 1963-iųjų J. Eels ir J. Sampson straipsnis. Jie įvedė „harmonišką mapinimo lygtį“, savotišką netiesinę Furjė šilumos lygties versiją. Pasirodė, kad tai galingas įrankis, leidžiantis spręsti geometrijos ir topologijos uždavinius. Reikia paminėti ir Yang-Mills lygtį, atėjusią iš kvantinių laukų fizikos. 1983 m. ji panaudota griežtų apribojimų nustatymui keturmatėje erdvės paviršiuose.

G. Perelmanas ir R. Hamiltonas įrodė teiginį deformuodami daugdarą panaudodami vadinamąjį Riči srautą (kuris elgiasi panašiai kaip šilumos lygtis, parašanti šilumos sklidimą kūnu). Riči srautas kūną deformuoja į apvalesnę formą - išskyrus kai kuriuos atvejus, kai jis ištempia daugdarą (tarsi karštą mozarelos sūrį) link singuliarumų. Tada G. Perelmanas ir R. Hamiltonas nukirsdavo daugdarą ties singuliarumais (procesas, kuris vadinamas „chirurgine operacija") priversdamas atskirus gabalus suformuoti kamuolio formos objektus. Įrodyme pademonstruojama kaip elgiasi Riči srauto deformuojamos daugdaros, nustatoma, kokio tipo singuliarumai susidaro, nustatoma, ar „operacija" gali būti užbaigta ir ar nereikės jos kartoti begalinį skaičių kartų.
Formulas

© 2009. Visos teisės saugomos. Jokia teksto dalis negali būti panaudota be leidimo ir šaltinio nurodymo.

Literatūra

  1. G. Szpiro. Poincare's Prize
  2. R.H. Bing. Some aspects of teh topology of 3-manifolds related to Poincare conjecture// Lectures on Modern Mathematics, vol. II, 1964
  3. R. Hamilton. Three-manifolds with positive Ricci curvature// J. of Differential Geometry, no 17, 1982
  4. G. Perelman. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, Nov. 11, 2002
  5. G. Perelman. Ricci flow with surgery on three-manifolds, March 10, 2003
  6. G. Perelman. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, July 17, 2003
  7. J. W. Morgan, Gang Tian. Ricci Flow and the Poincare Conjecture, 2007 B. Kleiner, J. Lott. Notes on Perelman's papers, 2006
  8. Huai-Dong Cao, Xi-Ping Zhu. Hamilton-Perelman's Proof of the Poincare Conjecture and the Geometrization Conjecture, Dec. 2, 2006
  9. M. Anderson. Geometrization of Three Manifolds via the Ricci Flow// Notices of the AMS, vol. 51, No 2
  10. K. Chang. Highest Honor in Mathematics is Refused// New York Times, Aug. 22, 2006
  11. J. Cheeger. M. Gromov. Collapsing Riemannian manifolds while keeping their curvature bounded. I and II // J. Differrential Geom, 1986, vol.23, no 3; 1990, vol.32, no 1
  12. S.K. Donaldson. An application og gauge theory to four-dimensional topology// J. Differrential Geom, 1983, vol.18

Matematikos genijus pasitraukė

Barzdotas Griša Perelmanas linkęs gyventi tarsi atsiskyrėlis tarakonų apgultame bute St. Peterburge ir atsisako Clay matematikos instituto jam skirtos 1 mln. dolerių premijos už Puankarė teiginio įrodymą. Pro uždarytas duris jis pasakė korespondentui: „Man nieko nereikia. Aš turiu viską, ko noriu.“

Plečiantis šiam skirsnelui apie Perelmano gyvenimo peritetijas, nusprendžiau atskirti nuo šio puslapio ir perkelti į atskirą straipsnelį:
„Ar sunku suprasti keistuolį?“

Erdvės formos
Topologija
Černo medalis
Visatos mechanika
Perelmano peripetijos
Riči srautas ir tenzorius
Ar įrodytas abc teiginys?
Didžioji Ferma teorema
Matematikai: Anri Puankarė
A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė
Tjorstono geometrizacijos teiginys
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Visatos topologija: pradžiamokslis
Apie reliatyvumo teorijos prioriteto nustatymą
Erdvės B tyrimas remiantis Puankarė modeliu ir kai kurios išvados
Ar jau rūksta dūmai? Navier Stokes lygtys
Intuicijos problema pas Puankarė
Pagrindinės algebrinės struktūros
Iniciatyva: Matematikos keliu
P-NP: Ant sveiko proto svarstyklių
Pasikėsinimas į milijoninę premiją
Matematikai: Davidas Hilbertas
Graikų matematikai - filosofai
8 alternatyvūs energijos šaltiniai
Nepaprastai suderinta Visatos sandara
Euklidas iš Aleksandrijos
Smeilo paradoksas
Tenzoriaus samprata
Abelio premija
Fieldso medalis
Žanas Furjė
Matroidai
Vartiklis