Riči srautas

Riči srautas, pavadintas italo Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) vardu, yra diferencialinių lygčių su dalinėmis išvestinėmis sistema, netiesinis šilumos laidumo lygties analogas, aprašantis Rymano metrikos deformaciją daugdaroje.

Riči srauto lygtis yra
Ricci flow formula

kur gt yra Rymano metrika pilnoje daugdaroje (priklausanti nuo realiojo kintamojo t), o Ricgt - Riči tenzorius.

Riči srautą 20 a. 9-ojo dešimtm. pradžioje tyrinėti pradėjo R. Hamiltonas, o Riči srauto pagalba 2002 m. G. Perelmanas įrodė Thurston'o hipotezę, tuo pačiu užbaigdamas kompaktinių trimačių daugdarų klasifikaciją ir išspręsdamas Puankarė teiginį.

Analogiškai šilumos laidumo lygčiai, pateikus pradines reikšmes kai t=0, sprendinius galima gauti tik į vieną pusę nuo t (t.y., kai t >= 0). Bet skirtingai nuo šilumos laidumo lygčių sprendinių, Riči srautas nesrūva amžinai, kai t artėja į begalybę. Sprendinys tęsiasi maksimaliame [0, T] intervale, kuriame, artėjant prie T, susiformuoja singuliarumas. Būtent šių singuliarumų, į kuriuos atsiremia Riči srauto sprendiniai, tyrinėjimais ir rėmėsi Thrurston‘o hipotezės įrodymas.

Formaliai, Riči srauto lygčių sistema R nėra paraboline lygtimi, tačiau egzistuoja parabolinė lygčių sistema tokia, kad (M, gt) izometrinė (M, g) visiems t, kur g0 yra Rymano metrika kompaktinėje daugdaroje M , o gt ir g yra R ir sprendiniai.

Literatūra

  1. S. Brendle. Ricci Flow and the Sphere Theorem// Am. Math. Society, 2010
  2. M.T.Anderson. Geometrization of 3-manifolds via the Ricci flow// Notices AMS 51, 2004
  3. R. Hamilton. Three-manifolds with positive Ricci curvature// J. Diff. Geom 17, 1982
  4. P. Topping. Lectures on the Ricci flow, 2006

Skaitykite:
Erdvės formos
Puankarė teiginio įrodymas


Riči tenzorius

Riči tenzorius yra vienas iš daugdaros kreivumo matavimo būdų, t.y. nustatant, kiek daugdaros geometrija skiriasi nuo plokščios Euklido erdvės. Jis, kaip ir metrikos tenzorius, yra simetrinė bitiesinė forma Rymano daugdaros liečiamojoje erdvėje. Taigi, Riči tenzorius tarsi matuoja tūrio deformaciją, t.y. n-matės daugdaros n-mačių sričių skirtumo laipsnį nuo analogiškų Euklido erdvės sričių.

Riči tenzorius plačiai taikomas Rymano geometrijos srityje. Riči tenzorius yra Riči srauto lygties dalis. Einšteino bendrosios reliatyvumo teorijos lygtyse Riči tenzorius yra pagrindinė komponentė. Jei Riči vektorius tenkina Einšteino lygtį vakuume, tada daugdara yra Einšteino daugdara, kuri buvo intensyviai tyrinėta. Taip yra tada ir tik tada, kai Riči tenzorius yra metrikos tenzoriaus g pastovus kartotinis.

Formaliai Riči tenzorius apibrėžiamas taip:
Tegu (M, g) - n-matė Rymano daugdara, o TpM - M taške p liečiančioji erdvė. Kiekvienai liečiamųjų vektorių porai taške p Ricci tensor vectors Riči tenzorius Ricci tensor atvaizduoja Ricci tensor vectors į pėdsaką tiesinio automorfizmo TpM-> TpM, apibrėžtą Rymano kreivumo tenzoriumi R:
Ricci tensor

Jei daugdaroje įvestos lokalios koordinatės, tai Riči tenzorių galima išskaidyti į komponentes:
Composition of Ricci tensor

kur Rij=Rkikj - Rymano tenzoriaus pėdsakas koordinačių sistemoje.

Geometrinė interpretacija

Bet kurio Rymano daugdaros (M, g) taško p aplinkoje galima įvesti specifines lokalias, vadinamąsias normalines geodezines, koordinates, kuriose iš taško p išvestos geodezinės linijos sutampa su tiesėmis, einančiomis per koordinačių pradžią. Be to, taške p metrikos tenzorius yra lygus Euklido erdvės metrikai Euclid metrics (arba Minkovskio metrikai Minkovsky metrics pseudo-Rymano daugdaros atveju). Šiose specifinėse koordinatėse tūrio forma išsiskaido į Teiloro eilutę aplink tašką p:
Taylor

Taigi, jei Riči tenzorius Ricci tensor teigiamas Vector of Ricci tensor vektoriaus kryptimi, tai siauras geodezinių linijų, išeinančių iš taško p Vector of Ricci tensor kryptimi, kūgis turės mažesnį tūrį, nei toks pat kūgis Euklido erdvėje. Ir atvirkščiai, jei Riči tenzorius neigiamas, tai tūrių santykis atvirkščias.

Savybės

Iš Bianchi tapatybių seka, kad Riči tenzorius yra simetrinis, t.y. Ricci tensor symetry. Todėl Ricci tensor Riči tenzorius pilnai apibrėžiamas žinant reikšmę vienetinio ilgio Vector of Ricci tensor vektoriams.

Riči tenzorius apibrėžtas Rymano daugdaros pjūvių tenzoriais, tačiau, bendru atveju, turi mažiau informacijos. Jei Vector of Ricci tensor yra vienetinio ilgio vektorius Rymano n-matėje daugdaroje, tada Ricci tensor reikšmė yra lygi pjūvių tenzorių vidurkio (iš visų dvimačių plokštumų, į kurias įeina Vector of Ricci tensor) (n-1) kartui. Tokių dvimačių plokštumų erdvė yra (n-2)-matė, tad tik 2 ir 3 matavimai leidžia Riči tenzoriui apibrėžti pilną kreivumo tenzorių. Ypatinga išimtis yra tada, kai daugdara yra Euklido erdvės hiperpaviršius.

Paprastai laikoma, kad Riči tenzorius yra metrikos tenzoriaus Laplaso kartotinis. Atskiru atveju, kai xi yra harmoninės lokaliosios koordinatės,
Ricci tensor
kur Delta yra Laplace-Beltrami operatorius, lankant, kad čia veikia su gij funkcijomis. Šis faktas skatina, pvz., laikyti Riči srauto lygtį šilumos sklidimo lygties metrikoje išplėtimu.

Literatūra

  1. L.A. Sidorov, Ricci curvature// Encyclopaedia of Mathematics, ed. M. Hazewinkel, 2001 (>>>>)
  2. L.A. Sidorov, Ricci tensor// Encyclopaedia of Mathematics, ed. M. Hazewinkel, 2001 (>>>>)
  3. J. Lohkamp. Metrics of negative Ricci curvature// Annals of Mathematics, 140 (3), 1994
  4. Z. Shen, C. Sormani. The Topology of Open Manifolds with Nonnegative Ricci Curvature, 2006, at arxiv.org
  5. G. Wei. Manifolds with A Lower Ricci Curvature Bound, 2006, at arxiv.org

Gregorio Ricci-Curbastro

Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) – italų matematikas, tenzorinio skaičiavimo pradininkas.

Gimė 1853 m. sausio 12 d. Lugo di Romagna, Italijos Ravenos provincijoje, garsios giminės inžinieriaus šeimoje. Gregorio, kaip ir jo brolis, nelankė mokyklos ir gerą prieš-universitetinį išsilavinimą gavo namuose. 1869 m., būdamas 16 m., įstojo į Romos un-tą, ketindamas studijuoti matematiką ir filosofiją. Tačiau politiniai Gregorio Ricci-Curbastro įvykiai buvo nepalankūs, Roma buvo ne Italijos, o Popiežiaus valda. Italų kariai užpuolė Romą 1867 m., tačiau Prancūziją ją apgynė. Tačiau 1870 m. italai vis tik užėmė Romą, kuri tapo Italijos sostine. Gregorio studijose praleido vienerius metus ir grįžo į tėvų. Po č m. jis stojo į Bolonijos un-tą, kur studijavo 1872-73 m., o tada persikėlė į Pizą, kur Betti vadovaujama „Scuola Normale Superiore“ tapo pirmaujančiu italų matematikos centru. 1875 m. gavo daktaro laipsnį už disertaciją „Apie Fuchs‘o tyrinėjimus tiesinių diferencialinių lygčių srityje“. Pasiliko Pizoje rašydamas straipsnį „Apie Rymano uždavinio apie hipergeometrines funkcijas apibendrinimą“. Taigi, pirmieji Riči darbai rėmėsi vokiečių matematikais, tačiau vėlesnieji jau buvo pagrįsti italų matematikų idėjomis. Jis parašė apie Maksvelo ir R. Clausius darbus elektrodinamikos teorijoje, o taip pat apie Lagranžo uždavinį tiesinių diferencialinių lygčių sistemose (1877).

Gavo paramą, leidusią metus praleisti Vokietijoje, Miunchene, kur klausė F. Kleino ir A. von Brill‘io paskaitų. 1879 m. grįžęs į Pizą, tapo U. Dini asistentu. Vėliau, nuo 1880 m. iki mirties buvo matematinės fizikos profesoriumi Padujos un-te. Buvo daugelio mokslo institucijų garbės nariu. 1884 m. vedė ir susilaukė trijų vaikų. Mirė 1925 d. rugpjūčio 6 d.

Riči veikla neapsiribojo vien matematika. Jis buvo gimtojo Lugo miesto municipaliteto nariu ir dalyvavo daugelyje projektų, susijusių su vandens tiekimu ir pelkių melioracija. Vėliau buvo Padujos miesto tarybos nariu, kur užsiėmė mokyklomis ir finansais. Netgi buvo pasiūlytas Padujos mero postas, tačiau jis atsisakė.

Ankstyvoji veikla buvo matematinės fizikos srityje, tačiau vėliau ėmėsi diferencialinės geometrijos ir 1884-94 m. įvedė absoliutų diferencialinį (tenzorinį) skaičiavimą. Pradinį indėlį šioje srityje padarė K. Gausas, o idėjas išplėtojo Rymanas (1854 ir 1861 m.), tačiau Riči didžiausią įtaką padarė E. Christofelio straipsnis “Crelle” žurnale (1868). Pirmoji Riči publikacija iš šios srities pasirodė 1888 m., o vėliau iki 1992 m. plėtota dar 4-iuose straipsniuose. Po 1990 m. daug nuveikta kartu su studentu T. Levi-Civita, 1990 m. kovą paskelbus bendrą fundamentalų 77 psl. apimties straipsnį „Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications“. Jame klasifikuojamos kvadratinės diferencialų formos, įtraukiama paviršių teorija, Lagranžo lygčių sprendimai ir kiti matematiniai pritaikymai. Riči absoliutus diferencialinis skaičiavimas tapo tenzorinės analizės pagrindu ir buvo A. Einšteino panaudotas bendrojoje reliatyvumo teorijoje.

Jo vardu pavadintas Riči srautas ir Riči tenzorius. Jo vardas duotas 1996 m. atrastam asteroidui 13642.

Paskaitykite apie kai kuriuos matematikus:
Anri Puankarė
Pjeras Ferma
Tenzoriaus samprata
Davidas Hilbertas
Keli šiuolaikiniai matematikai
G. Perelmanas - keistuolio suprasti neįmanoma?
Apie reliatyvumo teorijos prioriteto nustatymą
J. Tate: Abelio premijos laureatas
M. Gromovas - Abelio premijos laureatas
Abelio premija 2012-ais - vengrui
Graikų matematikai - filosofai

Perkoliacija
Ar viskas čia taip?
Didžioji Ferma teorema
Puankarė teiginio įrodymas
Paslaptingi Markovo procesai
Tjorstono geometrizacijos teiginys
Žvaigždžių virš Babilono funkcija
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Dž. Birkhofas: matematikas, meno matuotojas
Matematika prieš eismo spūstis
Nepaprasti Visatos skaičiai
Vunderkindo iššūkiai
Smeilo paradoksas
Landau nuslopimas
Topologija
Erdvės formos