Tjorstono geometrizacijos teiginys

Taip pat skaitykite: Erdvės formos    

Jis teigia, kad kompaktiška 3-matė daugdara gali būti kanoniniu būdu išskaidyta į pirmines daugdaras, turinčias geometrines struktūras. Tai bet kurių 3-mačių daugdarų tyrinėjimus suveda į tų pirminių daugdarų tyrinėjimą. Teiginį 1982 m. suformulavo Viljamas Tjorstonas ir jis turi įtaką kitiems svarbiems teiginiams, tokiems, kaip Puankarė teiginys bei Tjorstono eliptinimo teiginys.

Iš Tjorstono hiperbolizacijos teoremos seka, kad Hakeno daugdaros tenkina geometrizacijos teiginį. Tjorstono įrodymas pateiktas 9-me dešimtm, ir nuo tada spaudoje pasirodė keli pilni jos įrodymai. 2003 m. G. Perelmanas pateikė pilno geometrizacijos teiginio įrodymo metmenis, remdamasis Riči srautu su panaudota chirurgija. Šiuo metu turimi bent 4-ios publikacijos su pilno įrodymo detalėmis.

Teiginio formuluotė

Bet kuri orientuota uždara trimatė daugdara gali būti perpjauta palei torą taip, kad kiekvienos gautos daugdaros vidus turi geometrinę struktūrą su baigtiniu tūriu.

Egzistuoja 8-ios trimatės geometrinės struktūros. Taip pat egzistuoja vienintelis minimalus nesuprastinamos orientuotos 3-matės daugdaros supjaustymo į dalis, kurios yra Seiferto daugdaros arna atoroidalai, būdas, kuris vadinamas JSJ dekompozicija. Tačiau ji nėra tokia pat kaip dekompozicija geometrizacijos teiginyje, nes kai kurios JSJ dekompozicijos dalys gali nebūti baigtinio tūrio.

Neorientuotoms daugdaroms lengviausias geometrizacijos teiginio pritaikymo būdas yra pirmiausia paimti orientuotą dvigubą dangą. Galima ir tiesiogiai dirbti su neorientuotomis daugdaromis, tačiau tai sukelia papildomas komplikacijas.

Dvimačiu atveju analogiškas teiginys tvirtina, kad bet kuris paviršius (neturintis kraštų) turi geometrinę struktūrą, susidedančia iš metrikos su pastoviu kreivumo tenzoriumi; nėra būtina visų pirma perpjauti daugdarą.

8-ios Tjorstono geometrijos: Sferinė geometrija S3; Euklidinė geometrija E3; Hiperbolinė geometrija H3; S2 x R geometrija; H2 x R geometrija; Universaliosios SL2(R) geometrija; Nil geometrija; Sol geometrija.


Viljamas Tjorstonas

William Paul Thurston William Paul Thurston (g. 1946 m.) – amerikiečių matematikas, mažų matavimų topologijos pirmeivis. 1982 m. gavo Fieldso medalį už indėlį tiriant trimates daugdaras.

Gimė Vašingtone 1946 m. spalio 30 d. aeronautikos inžinieriaus šeimoje. Bakalauro laipsnį gavo 1967 m. Floridos Naujajame koledže. 1972 m. Berklio un-te. Apsigynė daktaro laipsnį. 1974 m. paskirtas matematikos profesoriumi Prinstono un-te. 1991 m. grįžo į Berklio un-tą, o 1993 m. tapo Matematikos tyrimų instituto direktoriumi. Nuo 2003 m. – Kornelio un-to matematikos ir kompiuterijos prof.

Paskutiniaisiais metais Tjorstonas dėmesį skyrė matematikos mokymui bei populiarinimui. Jis yra jaunimui skirto „Quantum Magazine“ matematikos temų redaktoriumi ir Geometrijos centro vadovu. Būdamas Matematikos tyrimų instituto direktoriumi (1992-97), iniciavo keletą programų, skirtų visuomenės supažindinimui su matematikos klausimais. Jo sūnus Dylanas irgi yra matematikos profesoriumi (Barnardo koledže).

Tjorstono ankstyvieji darbai 8-ojo dešimtm. pradžioje buvo daugiausia skirtas sluoksniuočių teorijai. Jo kai kurie svarbesni pasiekimai:

Tjorstonas per trumpą laiką šioje srityje išsprendė tiek problemų, kad tai, anot jo, sukėlė tam tikrą sluoksniuočių temos vengimą, nes, atseit, „Tjorstonas ten viską išvalė“.

Vėlesni jo darbai, pradedant 8-ojo dešimtm. pabaiga, parodė, kad hiperbolinė geometrija turi gerokai didesnį vaidmenį bendrajai 3-mačių daugdarų teorijai, nei manyta. Iki tol tebuvo žinomi vos keli hiperboliniai baigtinio tūrio 3-mačių daugdarų pavyzdžiai, kaip kad Seifert-Weber erdvė. Skirtingi R. Riley ir T. Figure of Eight-knot Jorgenson’o metodai 8-ojo dešimtm. viduryje parodė, kad tokie pavyzdžiai yra labiau tipiniai; pvz., kad ir „aštuoniukės“ (Listingo mazgo) papildymas yra hiperbolinis (tai buvo pirmas hiperbolinio mazgo pavyzdys).

Įkvėptas šių darbų, Tjorstonas panaudojo kitokias, aiškesnes priemones aštuoniukės mazgo papildinio hiperbolinės struktūros pateikimui. Jis parodė, kad „aštuoniukės“ papildymas gali būti išskaidytas į du taisyklingus tetraedrus, kurių hiperbolinės struktūros puikiai dera ir sudaro hiperbolinę struktūrą ant „aštuoniukės“ papildymo paviršiaus. Panaudodamas Hakeno normalinių paviršių techniką, jis suklasifikavo mazgo papildymo „nesuspaudžiamus“ paviršius. Remdamasis savąja hiperbolinių paviršių deformacijų analize, jis padarė išvadą, kad visi 10-mt „aštuoniukės“ Dehn’o pjūviai yra nesupaprastinamos, ne Hakeno ir ne Seifert‘o skaidulinės daugdaros. Anksčiau buvo manyta, kad išskyrus kai kurias Seifert‘o skaidulų erdves, visos nesuprastinamos 3-matės daugdaros yra Hakeno paviršiai.

Tada Tjorstonas įrodė, kad dauguma Dehn‘o smailių raguotų daugdarų užpildymų yra hiperbolinės daugdaros – tai jo garsioji hiperbolinė Dehn‘o chirurgijos teorema. Kad klausimas būtų užbaigtas jis įrodė hiperbolizacijos teoremą Hakeno daugdaroms. Taip buvo parodyta, kad yra daug uždarų hiperbolinių 3- mačių daugdarų. Geometrizacijos teorema buvo pavadinta „Tjorstono monstriška teorema“ dėl jos įrodymo ilgumo ir sudėtingumo. Pilnas įrodymas nebuvo surašytas per 20 m.

Vėliau Tjorstonas suformulavo geometrizacijos teiginį, kad visos 3-matės daugdaros leidžia tam tikrą geometrinę dekompoziciją panaudojant 8-ias geometrijas, dabar vadinamas Tjorstono geometrijomis. Tarp jų dominuoja ir yra sudėtingiausi hiperbolinė geometrija. Šio teiginio įrodymas seka iš G. Perelmano darbų (2002-2003).

Savo darbe apie hiperbolines Dehn‘o chirurgijas, Tjorstonas nustatė, kad natūraliai atsiranda orbitinių daugdarų struktūros. Jos tirtos ir iki Tjorstono, tačiau svarbi yra jo 1981 m. suformuluota teorema, esanti geometrizacijos teoremos 3-matėms daugdaroms apibendrinimu. Apie 2000-uosius dvi matematikų komandos pagaliau pabaigė surašyti pilną jos įrodymą, daugiausia remiantis Tjorstono paskaitomis Prinstone 9-ojo dešimtm. pradžioje. Jo pirminis įrodymas dalinai rėmėsi R. Hamiltono darbu apie Riči srautą.

Paskaitykite apie kai kuriuos matematikus:
Anri Puankarė
Pjeras Ferma
Tenzoriaus samprata
Alfredas Tarskis
Dž. Birkhofas - matematikas ir meno matuotojas
Sandy L. Zabell ir „dviejų vokų“ paradoksas
Keli šiuolaikiniai matematikai
J. Tate: Abelio premijos laureatas
Graikų matematikai: Euklidas

Erdvės formos
Kvantinis chaosas
Ar viskas čia taip?
Puankarė teiginio įrodymas
Riči srautas ir tenzorius
Didžioji Ferma teorema
Izingo modelis įmagnetinimui
Pagrindinė aritmetikos teorema
Žvaigždžių virš Babilono funkcija
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Greičiais C besiplečiančios–besitraukiančios erdvės B
Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
Visatos topologija: pradžiamokslis
Revoliucija mazgų teorijoje
Kaip supakuoti standžiau?
Ar įrodytas abc teiginys?
Smeilo paradoksas
Vunderkindo iššūkiai
Gyvenimo gėlelė
Landau nuslopimas
Fieldso medalis
Topologija
Matroidai