A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė

Papildomai skaitykite: Puankarė problemos įrodymas
                    Matematikai: Anri Puankarė

Pratarmė

< ... Laikinai praleista, bus pateikta vėliau ... >

1 dalis. Skaičius ir dydis

1 skyrius. Apie matematinio mąstymo prigimtį

I

Pati matematinio pažinimo galimybė atrodo esanti neišsprendžiamu prieštaravimu. Jei šis mokslas yra dedukciniu tik pagal išorę, tai iš kur jis ima tą tobulą griežtumą, kuriuo niekas nedrįsta abejoti? Jei atvirkščiai. Visi teiginiai, kuriuos jis iškelia, gali būti išvedami iš kitų pagal formalios logikos taisykles, tai kaip matematika nevirsta begaline tautologija? Silogizmas mūsų negali išmokyti nieko nauja, ir jei viskas privalo sekti iš tapatybės dėsnio, tai į jį ir turi susivesti. Bet negi galima priimti, kad visų teoremų, kurios apima tiek daug tomų, yra ne kas kita, o tik užmaskuotas būdas sakyti, kad A yra A!

Žinoma, galima atsekti iki aksiomų, kurios yra visų samprotavimų ištakos. Ir jei, iš vienos pusės, prisilaikyti nuomonės, kad jų negalima suvesti į prieštaravimo dėsnį, o iš kitos – nenorėti jose matyti tik patirties faktus, kurie negalėjo įgauti matematinės būtinybės pobūdžio, tai dar lieka viltis priskirti jas sintetiniams aprioriniams sprendimams. Tačiau tai nereiškia išspręsti kilusį sunkumą; tai tik reiškia pavadinimo suteikimą; net jei sintetinių sprendimų prigimtis liautųsi buvusi mums paslaptimi, prieštaravimas tebebūtų nepanaikintas, jis tik būtų nustumtas; siloginis protavimas nepajėgus ką nors pridėti prie jam pateiktų duomenų; tie duomenys suvedami prie kelių aksiomų ir, be jų, nieko nauja nebūtų randama išvadose.

Jokia teorema neturėtų pasirodyti nauja, jei į jos įrodymą nebūtų įtraukta nauja aksioma; protavimas tegalėtų mums gražinti tik betarpiškai akivaizdžias tiesas, kurių šaltinis yra intuicija; jis tebūtų tik tarpiniu tuščiažodžiavimu. Tada, ko gero, kiltų klausimas: ar tik siloginis aparatas netarnauja tik tam, kad užmaskuotų mūsų pasisavinimus?

Prieštaravimas mus sukrės dar labiau, jei atsiversime kokią nors matematikos knygą: kiekviename puslapyje autorius išreikš ketinimą apibendrinti jau žinomą teoremą. Ar tai reiškia, kad matematinis metodas leidžia tik eiti nuo dalinio prie bendresnio, ir kaip tada jį galima vadinti dedukciniu?

Pagaliau, jei mokslas apie skaičius būtų grynai analitinis ar galėtų analitiškai sekti iš nedidelio sintetinių sprendimų skaičiaus, tai pakankamai stiprus protas galėtų, matyt, iš pirmo žvilgsnio pastebėti visas jame glūdinčias tiesas; dar daugiau: galima būtų netgi tikėtis, kad kada nors jų išdėstymui bus sukurta tokia paprasta kalba, kad tos tiesos bus prieinamos ir niekuo neišsiskiriančiam protui.

Jeigu atsisakoma šių išvadų, tai tenka pripažinti, kad matematinis mąstymas pats savaime turi tam tikrą kūrybinę galią ir, iš to seka, skiriasi nuo silogizmo.

Ir tas skirtumas privalo būti gilus. Taip, pavyzdžiui, mes nerasime rakto paslapčiai daugkartiniame taikyme tos taisyklės, pagal kurią viena ir ta pati operacija, vienodai pritaikoma dviem skirtingiems skaičiams, duoda tapačius rezultatus.

Visos šios mąstymo formos – nesvarbu, ar suvedamos į silogizmą ar ne, - išlaiko analitinį pobūdį ir todėl yra bejėgės.

II

Kokio pobūdžio klausimai aptarinėjami seniai. Dar Leibnicas bandė įrodyti, kad 2 ir 2 yra 4; trumpai peržvelkime jo įrodinėjimą.

Tariu, kad yra apibrėžtas skaičius 1 ir operacija x+1, prie duotojo skaičiaus x pridedanti 1. Šie apibrėžimai, kokie bebūtų, nebus toliau aptariami.

Tada skaičius 2, 3 ir 4 apibrėžiu lygybėmis:
(1) 1+1=2; (2) 2+1=3; (3) 3+1=4

Taip pat apibrėžiu operaciją x+2 sąryšiu:
(4) x+2=(x+1)+1

Tai nustatę turime:
2+2=(2+1)+1 (pagal (4))
(2+1)+1 = 3+1 (pagal (2))
3+1=4 (pagal (3))

Iš čia
2+2=4 (ką ir reikėjo įrodyti).

Negalima neigti, kad šis samprotavimas yra grynai analitinis. Tačiau paklauskite bet kurio matematiko, ir jis jums pasakys: „Tai, tiesa sakant, ne įrodymas, o patikrinimas“. Mes tiesiog apsiribojome dviejų grynai sąlyginių apibrėžimų suartinimu ir konstatavome jų tapatumą; nieko nauja nesužinojome. Patikrinimas tuo ir skiriasi nuo tikro įrodymo, kad būdamas grynai analitiniu, lieka bevaisis. Jis bergždžias, nes išvada tėra prielaidų perkėlimas į kitą kalbą. Tuo tarpu tikras įrodymas, atvirkščiai, vaisingas, nes jame išvada yra tam tikra prasme bendresnė, nei prielaidos.

Lygybę 2+2=4 galime patikrinti vien todėl, kad ji yra atskiras atvejis. Bet kokia atskira išraiška matematikoje visada gali būti patikrinta kokiu nors būdu. Tačiau jei matematika būtų suvedama į tokius patikrinimus, ji nebūtų mokslu. Juk šachmatininkas, pavyzdžiui, dar nesukuria mokslo laimėdamas partiją. Kiekvienas mokslas yra mokslu apie bendresnius dalykus.

Dar galima pasakyti, kad tikslieji mokslai kelia sau uždavinį išvaduoti mus nuo tokių tiesioginių patikrinimų.

III

Taigi, pažvelkime į matematiko darbą, ir pabandykim sau paaiškinti jo veiksmų sėkmę. Šis uždavinys ne be sunkumų; nepakanka atsiversti atsitiktinį kūrinį ir jame išanalizuoti kokį nors įrodymą.

Pirmiausia turime atsisakyti geometrijos, kur klausimą apsunkina sudėtingi uždaviniai, susiję su erdvės postulatais, prigimtimi ir sąvokų kilme. Dėl panašių priežasčių negalime pasinaudoti be galo mažų dydžių analize. Matematinės minties mums reikia ieškoti ten, kur ji išliko gryna, t.y. aritmetikoje.

Reikia tęsti atranką; aukštesniuose skaičių teorijos lygiuose pirmapradės matematinės sąvokos buvo taip giliai apdorotos, kad tampa sunku jas analizuoti.

Taigi, būtent aritmetikos pradmenyse mes turime tikėtis rasti ieškomą paaiškinimą; tačiau būtent elementariausių teoremų įrodymuose klasikinių veikalų autoriai mažiausiai laikęsi tikslumo ir griežtumo. Nereikia jų už tai kaltinti; jie pakluso būtinybei; pradedantieji nėra parengti tikram matematiniam griežtumui; jie teįžvelgtų jame tik tuščias ir nuobodžias subtilybes; būtų beprasmiu laiko švaistymu bandymas sparčiau įteigti jiems didesnį reiklumą; reikia, kad jie sparčiai, nestabčiodami, nueitų keliu, kurį kadaise pamažu praėjo mokslo pradininkai.

Kodėl būtina toks ilgas pasiruošimas, kad būtų priprasta prie to visiško griežtumo, kuris, kaip atrodo, turėtų būti nuo gimimo būdingas kiekvienam normaliam protui? Tai verta aptarimo loginė ir psichologinė problema.

Tačiau prie jos mes nesustosime; ji yra šalutinė mūsų aptarimui. Aš tik prisiminsiu, kad mums reikia, dėl pavojaus, kad nepasieksime tikslo, iš naujo pateikti elementariausių teoremų įrodymus ir vietoje tos grubios formos, kurią jiems suteikia, kad nenuvargtų pradedantieji, suteikti tokią, kuri gali patenkinti mokslininką- matematiką.

Sudėties apibrėžimas. Tariu, kad yra apibrėžta operacija x+1, susidedanti iš skaičiaus 1 pridėjimo prie duotojo skaičiaus x. Šis apibrėžimas, koks jis bebūtų, tolimesniuose samprotavimuose neturės jokio vaidmens.

Dabar klausimas yra apie operacijos x+a, susidedančios iš skaičiaus a pridėjimo prie duotojo skaičiaus x, apibrėžimą.

Tarkim, kad yra apibrėžta operacija
x+(a-1)

Tada operacija x+a bus apibrėžta lygybe
x+a=[x+(a-1)]+1 (1)

Taip žinosime, kas yra x+a, kai žinosime, kas yra x+(a-1); o kadangi pradžioje tariau, kad žinoma, kas yra x+1, tai galima nuosekliomis rekurencijomis1) apibrėžti x+1, x+1 ir t.t.

Šis apibrėžimas vertas tam tikro dėmesio, nes turi ypatingą prigimtį, jį skiriantį nuo grynai loginio apibrėžimo; iš tikro, lygybė (1) turi begalinį skaičių skirtingų apibrėžimų, kurių kiekvienas turi prasmę tik tada, kai žinomas kitas, einanti prieš jį.

Sudėties savybės.
Asociatyvumas. Teigiu, kad
a+(b+c)=(a+b)+c

Tikrai, teorema teisinga, kai c=1; tuo atveju ji išreiškiama lygybe
a+(b+1)=(a+b)+1

O tai – nepaisant pažymėjimo skirtumų – yra ne kas kita, kaip lygybė (1), kurios pagalba ką tik apibrėžiau sudėtį.

Tarkim, kad teorema bus teisinga, kai c=g; skelbiu, kad ji bus teisinga ir kai c=g+1; tegu, iš tiesų
(a+b)g=(a+b)+g

Iš čia seka
[(a+b)+g]+1=[a+(b+g)+1]

Ir pagal apibrėžimą (1)
(a+b)+(g+1)=a+(bg+1)=a+[b+(g+1)]

O tai grynai analitinių išvadų pagalba parodo, kad teorema teisinga, kai g+1

Tačiau, kadangi ji teisinga, kai c=1, tai nuosekliai įžvelgiame, kad ji teisinga, kai c=2, kai c=3 ir t.t.

Komutatyvumas. 1. Teigiu, kad
a+1=1+a

Teorema, aišku, teisinga, kai a=1; grynai analitinių samprotavimų pagalba galima patikrinti, kad, jei ji teisinga, kai a=g, tai ji teisinga ir kai a=g+1; bet jei ji teisinga, kai a=1, tai ji teisinga ir kai a=2, kai a=3 ir t.t.; tai parodo, kad iškeltas teiginys įrodytas rekurencijos būdu.

2. Teigiu, kad
a+b=b+a

Teorema ką tik buvo įrodyta, kai b=1; galima analitiškai patikrinti, kad, jei ji teisinga, kai b=b, tai ji teisinga ir kai b=b+1. Taigi, teiginys įrodytas rekurencijos būdu.

Daugybos apibrėžimas. Apibrėšime daugybą lygybėmis:
ax1=a,
axb=[ax(b-1)+a (2)

Lygybė (2), kaip ir lygybė (1), apima begalę apibrėžimų; po to, kai duotas apibrėžimas ax1=a, jis leidžia apibrėžti ax2, ax3 ir t.t.

Daugybos savybės. Distributyvumas. Teigiu, kad
(a+b)xc=(axc)+(bxc)

Analitiškai patikriname šios lygybės teisingumą, kai c=1; o tada patikriname, kad jei teorema teisinga, kai c=g, tai ji teisinga ir kai c=g+1. Teiginys vėl įrodytas rekurencijos būdu.

Komutatyvumas. Teigiu, kad
ax1=1xa

Teorema akivaizdi, kai a=1.

Analitiškai patikriname, kad jei ji teisinga, kai a=a, tai ji teisinga ir kai a=a+1.

2. Teigiu, kad
axb=bxa

Teorema ką tik buvo įrodyta, kai b=1. Analitiškai patikriname, kad jei ji teisinga, kai b=b, tai ji teisinga ir kai b=b+1.

IV

Čia pertraukiu monotonišką samprotavimų seką. Tačiau būtent šis monotoniškumas padėjo geriau išskirti tą vienapusį procesą, kurį sutinkame kiekviename žingsnyje.

Tas procesas yra įrodymas rekurencijos būdu. Pradžioje formuluojama teorema, kai n=1; tada įrodoma, kad jei ji teisinga, kai n-1, tai yra teisinga ir n, o iš čia daroma išvada apie jos teisingumą visiems sveikiesiems skaičiams.

Mes ką tik matėme, kaip galima pasinaudoti šia taisykle įrodant sudėties ir daugybos savybes, t.y. algebrinių skaičiavimų taisykles; tas skaičiavimas yra pertvarkymo įrankis, taikomas gerokai didesniam įvairių kombinacijų skaičiui nei paprastas silogizmas; tačiau tasai įrankis vis dar grynai analitinis, nes negali išmokyti mus nieko nauja. Jei matematika neturėtų nieko kita, ji iškart sustotų ir nesivystytų; tačiau jinai gauna naują priemonę tame pačiame procese, t.y. samprotavime rekurencijos būdu, ir todėl gali nenutrūkstamai tęsti savo judėjimą.

Kiekviena žingsnyje, jei gerai į jį pažiūrėsime, randame tą samprotavimo būdą – arba ta paprasta forma, kurią ką tik jam suteikėme. Arba labiau ar mažiau pakeista forma.

Taigi jame labiausiai glūdi matematinis samprotavimas; ir mums reikia jį atidžiau išnagrinėti.

V

Esminiu rekurencijos metodo bruožu yra tai, kad ji apima begalinį silogizmų skaičių sutelktų, taip sakant, vienoje formulėje. Siekiant geriau tai išsiaiškinti, išdėstysiu tuos silogizmus vieną po kito tarsi tam tikrą kaskadą. Tai, iš esmės, - hipotetiniai silogizmai.

Teorema teisinga, kai skaičius lygus 1.
Jei ji teisinga, kai 1, tai teisinga ir kai 2.
Vadinasi, ji teisinga, kai 2.
Jei ji teisinga, kai 2, tai teisinga ir kai 3.
Vadinasi, ji teisinga, kai 3 ir t.t.

Akivaizdu, kad kiekvieno silogizmo išvada yra mažesniąja prielaida kitam silogizmui.
Didžiosios prielaidos gali būti pateiktos viena formule:
  Jei teorema teisinga, kai n-1, tai ji teisinga ir kai n.

Akivaizdu, kad samprotavime rekurencijos būdu apsiribojama pirmojo silogizmo mažesniosios prielaidos išraiška bei bendrąja formule, kuri atskirais atvejais savyje turi visas didžiąsias prielaidas. Ši niekada nesibaigianti silogizmų seka yra išreiškiama vienoje kelių eilučių frazėje.

Dabar lengva suprasti, kodėl bet kuri atskira išvada, sekanti iš teoremos, gali būti, kaip išdėsčiau prieš tai, būti patikrinta grynai analitiniu procesu.

Jeigu, vietoje to, kad įrodytume teoremos teisingumą visiems skaičiams, norime nustatyti jos teisingumą, pvz., tik skaičiui 6, mums pakanka pagrįsti 5 pirmuosius mūsų sekos silogizmus; o jeigu norėtume įrodyti teoremą skaičiui 10, mums reikti jų imti 9; didesniam skaičiui reiktų imti dar daugiau; tačiau koks didelis bebūtų skaičius, mes vis tiek galų gale jį pasiektume ir būtų įmanomas analitinis patikrinimas.

Tačiau, kaip toli beeitume, niekada nepasiektumėm iki bendros visiems skaičiams pritaikomos teoremos, kuri vienintelė ir tegalėtų būti mokslo dalyku. Norint ją pasiekti, prireiktų begalinio silogizmų skaičiaus – būtina peršokti bedugnę, kuriai užpildyti naudojant vien formalios logikos priemones analitikui niekada neužteks kantrybės.

Pradžioje iškėliau klausimą, kodėl nebūtų galima įsivaizduoti proto, pakankamai galingo, kad iškart pastebėtų visą matematikos tiesų kaupą.

Dabar atsakyti nesunku; šachmatų žaidėjas gali į priekį apskaičiuoti keturis, penkis ėjimus, tačiau, koks nepaprastu jis bebūtų, jis visada įžvelgs tik baigtinį ėjimų skaičių; jei jis savo sugebėjimus pritaikys aritmetikoje, tai joje nesugebės įžvelgti bendrų tiesų vien tiesioginės intuicijos dėka; jis nepajėgs apsieiti ne samprotavimų rekurencijos būdu įrodant pačią paprasčiausią teoremą, nes tai ir yra tas įrankis, leidžiantis pereiti nuo baigtinio prie begalinio.

Šis įrankis visada naudingas, nes leidžia iškart praeiti bet kokį žingsnių kiekį ir išvaduoja mus nuo ilgų, nuobodžių ir vienpusiškų patikrinimų, kurie netrukus taptų praktiškai neįvykdomi. Jis tampa neišvengiamas, kai tik turime bendrąją teoremą, prie kurios analitinis patikrinimas bus be paliovos artintų, bet niekada neleistų jos pasiekti.

Šioje aritmetikos srityje kas nors, ko gero, palaikytų save esant tolimu nuo nepaprastai mažų skaičių analizės; tuo tarpu dabar matėme, kad matematinės begalybės idėja jau čia vaidina gana svarbų vaidmenį ir be jos nebūtų aritmetikos kaip mokslo, kadangi nebūtų bendrumo idėjos.

VI

Sprendimas, kuriuo pagrįstas rekurencijos būdas, gali būti pateiktas kita forma; galima sakyti, pavyzdžiui, begalo dideliame skirtingų sveikų skaičių rinkinyje visada yra vienas, mažiausias iš jų. Galima lengvai pereiti nuo vieno išraiškos būdo prie kito ir taip sukurti įrodymo rekurencijos būdu teisingumo iliuziją. Tačiau galiausiai vis tiek tenka sustoti; mes visada prieisime prie neįrodomos aksiomos, kuri, iš esmės, bus ne kas kita, kaip teiginys, skirtas įrodymui, tik pervestas į kitą kalbą.

Tokiu būdu, negalima neprieiti išvados, kad samprotavimas rekurencijos būdu nesuvedamas prie prieštaravimo būdo.

Ši taisyklė negali kilti ir iš patirties; patirtis mus gali išmokyti tik tai, kad toji taisyklė teisinga, pavyzdžiui 10-imčiai, 100-tui pirmųjų skaičių; jis negali nusitęsti begalinei skaičių sekai, o tik didesnei ar mažesnei tos sekos daliai, visada baigtinei.

Jei dalykas liestų tik tai, prieštaravimo būdo pakaktų – jis visada leistų mums išvystyti tiek silogizmų, kiek tik norime; tik kai klausimas eina apie begalybės apėmimo viena formule, tik prieš begalybę krenta šis dėsnis; tačiau ten bejėge tampa ir patirtis. Ši taisyklė, neįveikiama nei analitinio, nei patirties įrodymo, yra tikras apriorinio sprendimo pavyzdys. Iš kitos pusės, tame negalima matyti tik susitarimą, kaip yra kai kuriuose geometrijos postulatuose.

Kodėl gi šis sprendimas kyla mums neįveikiamu akivaizdumu? Čia pasireiškia tik proto pajėgumo, galinčio be galo kartoti tą patį aktą, jei tas aktas buvo įmanomas bent kartą, patvirtinimas. Dėl šio pajėgumo protas turi tiesioginę intuiciją, o patirtis gali būti jam tik pretekstu ja pasinaudoti ir ją suvokti.

Bet sakys: jei gryna patirtis negali pateisinti sprendimo rekurencijos būdu, ar taip bus ir intuicijos palaikomos patirties atžvilgiu? Mes nuosekliai matome, kad teorema teisinga skaičiams 1, 2, 3 ir t.t.; mes sakom: dėsningumas akivaizdus, ir jam priskiriame tą patį rangą, koks būdingas bet kuriam fizikos dėsniui, besiremiančiu stebėjimais, kurių skaičius labai didelis, tačiau vis tik baigtinis.

Negalima nepripažinti, kad čia yra sukrečianti analogija su įprastiniais indukcijos būdais. Tačiau yra ir esminis skirtumas. Indukcija, taikoma fizikiniuose moksluose, visada nepatikima, nes remiasi tikėjimu Visatos visuotine tvarka – tvarka, egzistuojančia mūsų išorėje. Tuo tarpu matematinė indukcija, t.y. įrodymas rekurencijos būdu, atvirkščiai, pateikiamas su būtinybe, nes ji ir tėra vienos paties proto savybės patvirtinimu.

VII

Prieš tai sakiau, kad matematikai visada stengiasi apibendrinti gautus teiginius; pavyzdžiui, ką tik įrodėme lygybę
a+1=1+a

O tada ja pasinaudojome pagrįsdami lygybę
a+b=b+a

Ši, akivaizdu, yra bendresnė.

Taip matematika, kaip ir kiti mokslai, gali judėti nuo atskiro atvejo prie bendro.

Tai faktas, kuris šio kūrinio pradžioje atrodė nesuprantamas, tačiau netenka viso paslaptingumo, kai buvo nustatyta analogija tarp įrodymo rekurencijos būdu ir įprastinės indukcijos.

Nėra abejonių, kad matematinis samprotavimas rekurencijos pagalba ir indukcinis fizikinis samprotavimas remiasi skirtingais pagrindais; tačiau jų eiga lygiagreti – jie juda ta pačia kryptimi, t.y., nuo atskiro atvejo prie bendro.

Panagrinėkime tai detaliau. Siekiant įrodyti lygybę
a+2=2+a

mums pakanka du kartus pritaikyti taisyklę a+1=1+a (1)

ir parašyti
a+2=(a+1)+1=1+(a+1)=1+(1+a)=2+a (2)

Tačiau lygybė (2), tokiu būdu grynai analitiniu būdu išvesta iš (1), nėra vien tik paprastas jos atskiras atvejis: tai kažkas kita.

Todėl negalima sakyti, kad mes net tikrai analitinėje ir dedukcinėje matematinių samprotavimų dalyje judėjome nuo bendro atvejo prie atskiro bendrąja žodžio prasme.

Du lygybės (2) nariai savo esme yra tiesiog suderinimai, gerokai sudėtingesni, nei du lygybės (1) nariai; ir analizė reikalinga tik elementų, kurie įeina į šituos derinius, atskyrimui bei jų santykių ištyrimui.

Taigi, matematikai veikia pritaikydami „konstravimo“ procesą; jie „konstruoja“ vis sudėtingesnius ir sudėtingesnius darinius. Vėliau analizės pagalba sugrįždami prie šių darinių – šitų, taip sakant sankaupų – pirminių elementų, jie atskleidžia šių elementų santykius ir iš čia išveda pačių sankaupų santykius.

Tai grynai analitinis procesas, tačiau jis nukreiptas ne nuo bendro atvejo link atskiro, nes akivaizdu, kad sankaupos negali būti imamos kaip kažkas atskiresnio, nei jų sudėtiniai elementai.

Šiam „konstravimo“ procesui teisingai skyrė didelę reikšmę ir jame troško matyti būtiną ir pakankamą tiksliųjų mokslų progreso sąlygą.

Nėra abejonių, kad jis būtinas; tačiau jis nėra pakankamas.

Tam, kad konstravimas galėtų būti naudingas, kad jis nebūtų bevaisiu proto triūsu, kad jis galėtų tarnauti atrama tolimesniam judėjimui, reikia, kad jis, visų pirma, turėtų tam tikrą vienybės rūšį, kuri leistų jame matyti kai ką daugiau, nei paprastą sudėtinių dalių priauginimą. Kalbant tiksliau, reikia, kad konstrukcijos analizėje išaiškėtų tam tikras pranašumas lyginant su jos sudėtinių dalių analize.

Kame gali būti tas pranašumas? Kam, pavyzdžiui, reikia samprotauti ne apie elementarius trikampius, o apie daugiakampį, kuris juk visada suskaidomas į trikampius?

Tai daroma tam, kad egzistuoja savybės, priklausančios daugiakampiams su bet kokiu briaunų skaičiumi, kurias galima tiesiogiai taikyti bet kuriam konkrečiam daugiakampiui.

Labai dažnai, atvirkščiai, tik ilgų pastangų dėka galima rasti šias savybes tiesiogiai tiriant elementarių trikampių santykius. Bendros teoremos žinojimas išvaduoja mus nuo tų pastangų.

Jei keturkampis ra ne kas kita, kaip greta sujungti du trikampiai, tai todėl, kad jis priklauso daugiakampiams.

Konstravimas tampa įdomiu tik tada, kai jį galima palyginti su kitomis analogiškomis konstrukcijomis, sudarančiomis tos pačios rūšies atmainas.

Dar būtina, kad būtų įmanoma įrodyti bendras savybes, nepriverčiant jas pagrįsti kiekvieną atmainą. Kad tai būtų pasiekta, būtina vėl pasikelti nuo atskiro atvejo prie bendro, pereinant vieną ar kelias pakopas. Analitinis „konstravimo“ procesas neverčia mūsų leistis žemiau, o palieka tame pat lygmenyje.

Aukščiau pakilti galime tik matematinės indukcijos dėka, kuri vienintelė tegali išmokyti mus ko nors nauja. Be tokios indukcijos pagalbos, besiskiriančios žinomais santykiais nuo fizikinės indukcijos, tačiau tokios pat vaisingos, kaip ir toji, konstravimo procesas būtų bejėgis sukurti mokslą.

Pagaliau pastebėsime, kad ši indukcija galima tik tada, kai viena ir ta pati operacija gali pasikartoti begalę kartų. Štai priežastis, kodėl šachmatų teorija niekada negali tapti mokslu; ten skirtingi tos pačios partijos skirtingi ėjimai nepanašūs vienas į kitą.

Paaiškinimai:

1) Terminu “rekurencija” (recurrence) žymima sugrįžimo į pradžią operacija.

Pirminiai dvyniai
Puankarė problemos įrodymas
Matematikai: Anri Puankarė
Matematikos pradžia Lietuvoje
Didžioji Ferma teorema
Iniciatyva: Matematikos keliu
Mokslininkui nereikia matematikos!
Kada statistika gali meluoti?
Intuicijos problema pas Puankarė
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Aukso gysla Ramanadžano lygtims
Tribologija ir tepimo sprendimai
Matematikai: Davidas Hilbertas
Graikų matematikai - filosofai
Matematinė kalba ir simbolika
Matematikos filosofinės problemos
Naujas pirminių skaičių dėsningumas
Žaidimų teorijos panaudojimas
Parabolės lenktas likimas
Matematiniai anekdotai
Dalyba iš nulio
Algebros istorija
Vartiklio naujienos