A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė  

[ I dalis. Skaičius ir dydis  |  II dalis ]

II skyrius. Matematinis dydis ir patirtis

Jei norite sužinoti, kaip matematikai supranta tolydumą, to nereikia klausti geometro. Šis visada vienaip ar kitaip bando įsivaizduoti figūras, kurias tiria, tačiau jo įsivaizdavimai jam tėra įrankiai; užsiimdamas geometrija jis naudoja erdvę taip, kaip naudojama kreida; todėl reikia vengti didelę svarbą priskirti atsitiktinumams, kurie neretai turi ne didesnę svarbą nei kreidos baltumas.

Tolydumas

Tolydžios funkcijos sąvoka yra viena svarbiausių matematinės analizėje.

Funkcija f:Rn->Rn yra tolydi taške a Î Rn, jei kiekvienam e > 0 egzistuoja d > 0 toks, kad |f(x)-f(a)| < e visiems x Î Rn, kai |x-a| < d .

Šį apibrėžimą girdėjęs bet kuris matematikos kursą klausęs studentas. Tik ar kiekvienas jį suvokė?

Grynam analitikui nėra ko baimintis šio pavojaus. Jis matematikos mokslą išvadavo nuo visų pašalinių elementų ir gali atsakyti į tą klausimą: kas iš tikro yra tas tolydumas, kurį aptaria matematikai? Dauguma jų, sugebančių mąstyti apie savo mokslą jau padarė tai, kaip, pvz., P. Taneris1) savo „Įvade į vieno kintamojo funkcijų teoriją“.

Pradėsi nuo sveikų skaičių sekos; tarp dviejų gretimų skaičių įterpiam vieną ar kelis tarpinius skaičius, vėliau tarp šių dar daugiau naujų ir t.t. iki begalybės. Tokiu būdu gausime neapribotą narių kiekį: ti bus skaičiai, vadinami trupmeniniais-racionaliais arba sulyginamais. Tačiau to dar nepakanka; tarp šių narių, kurių kiekis jau dabar begalinis, reikia įterpti dar kitus, taip vadinamus iracionalius arba nesulyginamus.

Prieš tęsiant toliau, padarysim vieną svarbią pastabą. Tokiu būdu suprantamas tolydumas yra ne daugiau nei rinkinys atskirų dydžių, išdėstytų nustatyta tvarka, tiesa begalinis, tačiau išorinių vienas kitam. Tai neatitinka įprastos koncepcijos, kurie tarp tolydžių elementų spėja esant tam tikrą vidinį ryšį, juos sujungiantį į visumą, - kur ne taškas yra prieš liniją, o linija yra prieš tašką. Iš garsios formulės - tolydumas yra vienybė daugyje – lieka tik daugis, o vienybė dingsta. Ši aplinkybė neatima iš analitikų pagrindų, leidžiančių apibrėžti tolydumą taip, kai jie tai daro, nes, samprotaudami apie tai, jie nuolat ginčijasi dėl [apibrėžimų] griežtumo. Tačiau mums pakanka nurodyti, kad tikrasis matematinis tolydumas yra kažkas visai kita, nei fizikų ar metafizikų tolydumas.

Galbūt, pasakys, kad matematikai, kurie pasitenkina šiuo apibrėžimu, yra apgauti žodžių, kad reikėtų pasakyti tiksliau, ką reiškia kiekvienas tarpinis narys, išaiškinti, kai reikia juos įterpti ir parodyti, kad toji operacija yra galima. Tačiau tai būtų neteisinga; vienintele tų aptariamų narių savybe*) yra savybė būti prieš arba po tokių pat kitų narių – todėl tik ji ir turi įeiti į jų apibrėžimą.

Tokiu būdu nėra ko nerimauti apie tai, kokiu būdu reikia įterpti tarpinius narius; iš kitos pusės, niekas nesuabejos, kad ši operacija galima, jei tik neužmiršim, kad šis paskutinis žodis matematine kalba paprasčiausiai reiškia: be prieštaravimų.

Vis tik mūsų tolydumo apibrėžimas nepilnas; ir aš grįžtu prie jo po šio gana ilgo nukrypimo.

Nesulyginamų dydžių apibrėžimas.
Berlyno mokyklos matematikai, o atskiru atveju Kronekeris2), užsiima šios nenutrūkstamos trupmeninių ir iracionalių skaičių sekos sudarymu, nesinaudodami jokia kita medžiaga išskyrus sveiką skaičių. Pagal šį požiūrio tašką matematinis tolydumas yra grynu proto kūriniu, kuriame visiškai nedalyvauja patirtis.

Racionalaus skaičiaus sąvoka jiems nekelia sunkumų; jų ypatingų pastangų sritimi yra iracionalaus skaičiaus apibrėžimas. Tačiau prieš pateikiant čia tą apibrėžimą, privalau padaryti vieną pastabą, kad panaikinčiau nuostabą, kuri netruktų kilti skaitytojams, mažai susipažinusiems su matematine virtuve.

Matematikai tiria ne daiktus, o tik santykius tarp jų, todėl jiems nesvarbu, ar daiktai bus pakeisti kitais, jei tik nesikeičia santykiai. Jiems nesvarbu materialus turinys; juos domina tik forma.

Kas tai pamirš, tas nesupras, kad Dedekindas nesulyginamo skaičiaus pavadinimu supranta paprastą simbolį, t.y. kažką, visiškai skirtingą nuo supratimo, kurį sukelia santykinai įprastiniai dydžiai, laikantys jį palyginamu, beveik apčiuopiamu.

Taigi, štai koks Dedekindo apibrėžimas: sulyginami skaičiai gali būti begaliniu būdų kiekiu padalinti į dvi klases pagal sąlygą, kad bet kuris pirmos klasės skaičius privalo būti didesnis už bet kurį antros klasės skaičių.

Gali nutikti, kad tarp pirmos klasės skaičių bus vienas, mažesnis už visus kitus, pvz, jei į pirmą klasę įtrauksime visus už 2 didesnius skaičius ir patį 2, o į antrą klasę – visus mažesnius už 2 skaičius, tai bus aišku, kad 2 yra mažiausias pirmos klasės skaičius. Skaičių 2 galima paimti kaip šio perskyrimo simbolį.

Galima įsivaizduoti ir atvirkščiai, kad tarp antros klasės skaičių yra vienas didesnis už visus kitus; taip gali būti, jei pirma klasė apima visus už 2 didesnius skaičius, o antroji – visus mažesnius už 2 ir patį 2. Čia vėl 2 gali būti paimtas kaip šio perskyrimo simbolis.

Tačiau gali nutikti, kad nepavyks nei pirmoje klasėje rasti skaičiaus, mažesnio už visus kitus, nei antroje – skaičiaus, didesnio už visus kitus. Tarkim, pvz., kad pirmoji klasę apima visus sulyginamus skaičius, kurių kvadratas didesnis už 2, o antroji visus tuos, kurių kvadratas mažesnis už 2. Žinoma, kad nėra tokio skaičiaus, kurio kvadratas būtų lygus tiksliai 2. Ir pirmoje klasėje, akivaizdu, nėra skaičiaus, mažesnio už visus kitus, nes kiek arti 2 būtų skaičiaus kvadratas, visada bus galima surasti sulyginamą skaičių, kurio kvadratas dar arčiau 2. Iracionalumas

Dedekindo požiūriu, nesulyginamas skaičius sqrt(2) yra ne kas kita, kaip ypatingas skaičių perskyrimo būdas; tokiu būdu, kiekvienam būdą atitinka viens skaičius, sulyginamas arba nesulyginamas, kuris ir yra perskyrimo simbolis.

Tačiau pasitenkinti tuo reikštų ne visiškai užmiršti šių simbolių kilmę; lieka išsiaiškinti, kokiu būdu matematikai atėjo į tai. Kas jiems skyrė ypatingą konkretaus egzistavimo rūšį, o iš kitos pusės – argi jau neatsiranda sunkumų su trupmeninių skaičių santykiu? Ar galėjome turėti supratimą apie šiuos skaičius, jei iš anksto nebūtume žinoję apie medžiagą, kurią suvokiame kaip kažką dalijamą iki begalybės, t.y. kaip tolydumą?

Fizikinis tolydumas. taigi kyla klausimas, ar matematinio tolydumo sąvoka nėra tiesiog paimta iš patirties? Jei tai būtų taip, tai reikštų, kad betarpiškos patirties duomenys, kokiais yra mūsų jutimai, prieinami išmatavimui.

Gali kilti pagunda patikrinti, kad ir iš tikro taip, nes paskutiniu metu bandė juos išmatuoti ir netgi buvo suformuluotas dėsnis, žinomas Fechnerio vardu3), pagal kurį jutimas proporcingas dirgiklio logaritmui.

Tačiau atidžiau įsižiūrėjus ė patirtis, kuriomis bando pagrįsti šį dėsnį, tai galima padaryti visiškai priešingą išvadą. Pvz., buvo pastebėta, kad A svoris, lygus 10 g, ir B svoris, lygus 11 g, sukelia tapačius pojūčius ir B svorio neįmanoma atskirti nuo C svorio, lygaus 12 g, tačiau A svoris nesunkiai atskiriamas nuo C. Tokiu būdu betarpiški patirties rezultatai gali būti išreikšti tokiais santykiais:
A=B; B=C; A<C,
kuriuos galima nagrinėti kaip fizikinio tolydumo formulę. Ši formulė apima neleistiną neatitikimą prieštaravimo dėsniui; būtinybė jo išvengti ir privertė mus išrasti matematinio tolydumo idėją.

Taigi, būtina padaryti išvadą, kad ši sąvoka visiškai sukurta proto, tačiau patirtis tam suteikė prielaidą.

Mes negalime leisti, kad du kiekiai, lygūs tam pačiam trečiam, nebūtų lygūs tarpusavyje; ir ši aplinkybė verčia mus priimti, kad A skiriasi nuo B ir B skiriasi nuo C, tačiau mūsų jutimų netobulumas neleidžia mums tai pastebėti.

Matematinio tolydumo sukūrimas.
Pirmoji stadija.
Iki šiol, kad atvaizduotume tikrovę, mums pakako tarp A ir B įterpti nedidelį kiekį atskirų narių. Tačiau kas nutiks, jei mes dėl mūsų jutimo netobulumo panaudosim kokį nors instrumentą, pvz., jei pasinaudosime mikroskopu? Nariai A ir B, kurių anksčiau neatskyrėme vieno nuo kito, taps skirtingais, tačiau tarp A ir B, kuries tapo atskiriami, bus patalpintas naujas narys D, kurio jau nesugebėsime atskirti nei nuo A, nei nuo B. Nepaisant pačių tobuliausių metodų panaudojimo, tiesioginiai mūsų patirties rezultatai visad išlaikys fizikinio tolydumo savybes – su jam būdingu prieštaravimu.

Nuo šio prieštaravimo išsivaduosime tik tuo, kad be paliovos kišim naujus narius tarp ankstesnių, jau atskirtų narių – ir ta operacija tęsis iki begalybės. Mes galėtume pagalvoti, kad ji bus sustabdyta, jei mes įsivaizduosime kokį nors įrankį, pakankamai galingą, kad galėtų fizikinį tolydumą išskaidyti į atskirus elementus, panašiai, kaip teleskopas išskaido Paukščių taką į žvaigždes. Tačiau taip galvoti mes negalim. Iš tiesų, tai instrumentais mes visada naudojamės su mūsų jutimų pagalba; taip į mikroskopo padidintą vaizdą žiūrime savo akimi, taigi jis privalo visada išlaikyti regos pobūdį, o tuo pačiu ir fizikinio tolydumo pobūdį.

Betarpiškai stebimas ilgis niekuo nesiskiria nuo pusės ilgio, kurį padvigubino mikroskopas. Visuma vienarūšė su dalimi; čia kyla naujas prieštaravimas arba greičiau tai būtų prieštaravimas, jei narių kiekis būtų baigtinis, - tada iš tikro, aišku, kad dalis, turinti mažiau narių nei visuma, negali būti tokia pat kaip visuma.

Prieštaravimas pašalinamas tik tada, kai narių skaičius begalinis; niekas, tarkim, netrukdo nagrinėti sveikų skaičių visumą panašią į lyginių skaičių visumą, sudarančią tik dalį visos skaičių eilės; ir iš tikro, kiekvieną tos eilės sveiką skaičių attinka vienas lyginis skaičius, kuriuo yra tas pat padvigubintas skaičius.

Tačiau protas sukuria tolydumo sąvoką, sudarytą iš begalinio narių skaičiaus, ne tik tam, kad išsivaduotų iš šio empiriniuose duomenyse tūnančio prieštaravimo.

Mat visa yra taip pat, kaip sveikų skaičių eilei. Mes gebame suprasti, kad vienetas gali būti pridėtas prie vienetų rinkinio; per patirtį mes turim pretekstą lavinti šį sugebėjimą ir jį suvokti: tačiau nuo šios akimirkos mes jaučiame, kad mūsų galios neturi ribų ir kad galėtume skaičiuoti iki begalybės, nors skaičiavimui ir turėtume tik baigtinį skaičių daiktų.

Tiksliai taip, kaip ką tik pasiekėm idėją tarp dviejų iš eilės einančių tam tikros eilės narių įterpti tarpinius narius, mes padarėme išvadą, kad ši operacija gali būti tęsiama neribotai ir kad nėra, taip sakant, jokio rimto pagrindo ją nutraukti.

Leisiu sau supaprastinti pasakymą, pirmojo laipsnio matematiniu tolydumu pavadindamas bet kurią tuo pačiu principu sudarytų narių visumą ir palyginamų skaičių seką. Jei joje panorsime įterpti tarpinius skaičius pagal nepalyginamų skaičių dėsnį, tai gausim tai, ką pavadinsime antrojo laipsnio tolydumu.

Antroji stadija.
Iki šiol mes padarėm dar tik pirmą žingsnį – paaiškinome pirmo laipsnio tolydumų atsiradimą; dabar reikia įsitikinti, kodėl jų dar nepakanka ir kodėl prireikė sukurti nepalyginamus skaičius.

Jei norime gauti liniją, tai įmanoma padaryti naudojantis tik fizikinio tolydumo savybėmis, t.y. dvejomis siauromis juostelėmis – ir jei tenkintumės šiuo grubiu pavaizdavimu, tai būtų aišku, kad dvi susikertančios linijos turės bendrą sritį.

Tačiau grynas geometras daro dar vieną pastangą: iki galo neatsisakydamas savo jutimų pagalbos, jis gali pasiekti linijos be pločio sąvoką, o taško be tąsos. Jis tai gali pasiekti tik imdamas liniją kaip ribą, prie kurios artėja jos šonai vis labiau besiglausdami, ir tašką – kaip ribą, prie kurios artėja vis mažėdamas plotas. Tada mūsų dvi juostelės, kokiomis siauromis bebūtų, [susikirsdamos] visad turės bendrą plotą, tuo mažesnį, kuo jos siauresnės, ir jo riba bus tai, ką grynas geometras vadina tašku.

Štai kodėl sako, kad dvi susikertančios linijos turi bendrą tašką; ir toji tiesa yra intuityvi.

Tačiau joje būtų prieštaravimas, jei linijas suprastume kaip pirmo laipsnio tolydumus, t.y., jei geometro brėžiamose linijose būtų tik taškai, kurių koordinatės yra racionalūs skaičiai.

Iš tikro aišku, kad jeigu vietoje realių skaičių būtų nagrinėjami tik taškai su palyginamomis koordinatėmis, tai skritulys, įbrėžtas į kvadratą nesikirstų, nes jų persikirtimo taškų koordinatės yra nepalyginami skaičiai.

Tačiau įsivaizduokime tiesę, padalintą į dvi pustieses. Kiekviena šių pustiesių mūsų įsivaizduojama kaip tam tikro juostos; be to šios juostos uždengs viena kitą, nes tarp jų neturėtų likti jokio tarpo. Kai panorsime įsivaizduoti mūsų juostas vis siauresnėmis, bendra dalis mums atrodys nuolat esančiu tašku; tad intuityviai leidžiame, kad jei tiesė padalinta į dvi pustieses, tai bendra tų dviejų tiesių riba yra taškas. Čia atpažįstame Kronekero koncepciją, pagal kurią nepalyginamas skaičius imamas kaip riba, bendra dviem racionalių skaičių klasėms.

Tokia antrojo laipsnio tolydumo, kuris iš esmės ir yra matematiniu tolydumu, kilmė.

Išvada. Tad galima pasakyti, kad protas turi sugebėjimą kurti simbolius; šio gebėjimo dėka jis sukūrė matematinį tolydumą, kuri tėra tip ypatinga simbolių sistema, jo galia apribota tik būtinybės vengti bet kokio prieštaravimo; tačiau protas naudojasi savo galia išimtina atveju, kai patirtis duoda jam tam pagrindą.

Mus dominančiu atveju tokiu pagrindu buvo fizikinio tolydumo sąvoka, išvesta iš betarpiškų jutiminio suvokimo duomenų. Tačiau ši sąvoka sukelia eilę prieštaravimų, iš kurių reikia palaipsniui vaduotis. Tokiu būdu mes priversti įsivaizduoti vis sudėtingesnę simbolių sistemą. Ta sistema, ties kuria apsistosime, ne tik bus laisva nuo vidinio prieštaravimo - juk ji jau buvo tokia visuose praeituose etapuose, - tačiau ji neprieštarauja taip vadinamiems intuityviems teiginiams, kurie išvesti iš daugiau ar mažiau atidirbtų empirinių sąvokų.

Išmatuojamas dydis.

Mūsų iki šiol tirti dydžiai nebuvo išmatuojami; mes galėjome pasakyti, kuris iš dviejų dydžių didesnis, tačiau du ar tris kartus didesnis – to negalėjom pasakyti. Matematikos medis

Iš tikro, aš iki šiol užsiėmiau tik tvarka, kuria išdėstyti mūsų nariai. Tačiau daugumai taikymų to nepakanka. Reikia išmokti lyginti tarpus, skiriančius kokius nors narius. Tik tada tolydumas tampa išmatuojamu ir jame atsiranda galimybė naudoti aritmetines operacijas.

Tai įmanoma padaryti tik su naujo ir ypatingo susitarimo pagalba. Susitariama, kad kokiu nors atveju intervalas, esantis tarp narių A ir B, yra lygus C ir D skiriančiam intervalui. Taip mūsų darbo pradžioje mes pradėjome sveikų skaičių eile ir numatėme, kad tarp dviejų gretimų narių patalpinti n tarpinių; ir šitie naujieji nariai dėl susitarimo laikomi esantys vienodais atstumais.

Iš čia ir seka dviejų dydžių sudėties apibrėžimas: taip, jei intervalas AB pagal apibrėžimą lygus CD, tai intervalas AD pagal apibrėžimą būtų intervalų AB ir CD suma.

Šis apibrėžimas gana laisvas. Tačiau jis laisvas ne pilnai. Jis pavaldus žinomiems susitarimams, pvz., sudėties komutatyvumo ir asociatyvumo taisyklėms. Tačiau vos tik parinktas apibrėžimas ima tenkinti tas taisykles, pasirinkimas tampa nesvarbiu, o tikslesnis apibrėžimas – nereikalingu.

Įvairios pastabos.

Galime iškelti kelis svarbius klausimus:

1. Ar kūrybinė proto galia baigiasi matematinio tolydumo sukūrimu?

Ne: ir P. Diubua-Reimono4) darbai yra puikiu to įrodymu.

Žinoma, kad matematikai atskiria be galo mažus dydžius, nes antrojo laipsnio be galo maži dydžiai ne tik be galo maži absoliučia prasme, bet ir yra tokie lyginant su pirmojo laipsnio be galo mažais dydžiais. Nesunku įsivaizduoti be galo mažus trupmeninio, o ir iracionalios eilės dydžius ir tokiu būdu mes vėl randame tą matematinį tolydumą, kuriam skirtas ankstesnis tekstas. Dar daugiau – egzistuoja tokie be galo maži dydžiai, kurie be galo maži pirmos eilės be galo mažų dydžių atžvilgiu ir atvirkščiai, be galo dideli be galo 1+e laipsnio be galo mažų dydžių atžvilgiu. Taigi, štai dar nauji nariai mūsų eilėje; ir jei man bus leista grįžti prie terminijos, kurios laikiausi neseniai ir kuri yra pakankamai patogi, nors dar nenaudojama plačiai, pasakysiu, tad tai trečio laipsnio tolydumo tipas.

Lengva būtų eiti toliau, tačiau tai būtų nenaudingu proto žaidimu; tektų įsivaizduoti vien simbolius be galimybės juos panaudoti. Netgi trečiojo laipsnio tolydumas, prie kurio atveda be galo mažų dydžių tyrinėjimas, pati savaime yra per mažai naudinga, kad įgautų teisę būtų paminėta, ir geometrai nagrinėja ją tik kaip kuriozą. Protas savo kūrybine galia naudojasi tik tada, kai jį tam priverčia patirtis.

2. Jei jau turime matematinio tolydumo svoką, ar esame garantuoti, kad nėra prieštaravimų, analogiškų tiems, kurie padarė pradžią tai sąvokai?

Ne: ir dabar pateiksiu pavyzdį.

Reikia būti stipriai pasikausčiusiu, kad nelaikytum akivaizdžiu dalyku, kad kiekviena kreivė turi liestinę: ir iš tikro, jei įsivaizduotume tą kreivę ir kokią nors tiesę, kaip dvi siauras juostas, tai visada jas galima išdėstyti taip, kad jie turės bendrą dalį nesikirsdamos. Dabar įsivaizduokime, kad jų juostų plotis siaurėja be galo; bendra jų dalis visada bus įmanoma ir riboje, taip sakant, dvi linijos nesusikirsdamos turės bendrą tašką, t.y. jos abipusiškai lies viena kitą.

Taip samprotaujantis geometras padarytų – sąmoningai ar ne – tą patį, ką padarėme prieš tai, norėdami įrodyti, kad dvi persikertančios linijos turi bendrą tašką; ir jo intuicija galėtų pasirodyti tokia pat teisėta.

Ir vis tik ji jo neapgautų. Galima įrodyti. Kad egzistuoja kreivės neturinčios liestinių, jei ta kreivė apibrėžta kaip antrojo laipsnio analitinis tolydumas.

Be abejonių, koks nors triukas, analogiškas anksčiau nagrinėtiems, leistų pašalinti prieštaravimą, tačiau, kadangi jis iškyla tik labai išskirtiniais atvejais, tai juo ir neužsiima. Vietoje stengimosi sutaikyti intuiciją su analize, tenkinosi tuo, kad paaukojo vieną iš dviejų; ir kadangi analizė privalo likti nesutepta, tai visą kaltę nurašė intuicijos sąskaitai.

Kelių matavimų fizikinis tolydumas.

Prieš tai aš išnagrinėjau fizikinį tolydumą tokiu, koks jis kyla iš tiesioginių mūsų jutimų duomenų arba, jei norite, iš tiesioginių Fechnerio bandymų rezultatų; aš parodžiau, kad tie rezultatai apibendrinami prieštaringomis formulėmis
A=B; B=C; A<C

Dabar pažiūrėsime, kaip ši sąvoka gali būti apibendrinta ir kaip buvo įmanoma iš jos išvesti tolydumo daugeliui matavimų sąvoką.

Panagrinėkime dvi bet kokias jutimų grupes. Mes arba galėsime jas atskirti arba ne, panašiai, kaip Fechnerio bandymuose 10 svorį įmanoma atskirti nuo 12 g, tačiau ne nuo 11 g. nieko daugiau ir nereikia daugelio matavimų tolydumo sukūrimui.

Pavadinsime elementu vieną iš tų jutimų grupių. Tai bus kažkas analogiška matematiniam taškui, tačiau ne visai tas pat. Mes negalime nustatyti mūsų elemento dydžio, kadangi nemokam atskirti jį nuo gretimų elementų, - ir jis tarsi rūke. Jei būtų galima panaudoti astronominį palyginimą, mūsų „elementai“ būtų panašūs į ūkus, tuo tarpu matematiniai taškai panašesni į žvaigždes.

Jei taip, tai elementų sistema sudaro tolydumą, jei tik yra galimyb pereiti nuo bet kurio iš jų prie bet kurio kito per gretimų elementų eilę – tokių, kurių kiekvienas neatskiriamas nuo ankstesnio. Ta tiesinė eilė yra matematiko linijos atžvilgiu tas pat, kuo yra izoliuotas elementas taško atžvilgiu.

Prieš einant toliau, turiu paaiškinti, kas tai yra kupiūra. Paimkim tolydumą C ir iš jo paimkime kai kuriuos elementus, kuriuos vieną akimirksnį laikysime nepriklausančiais tam tolydumui. Tokiu būtu paimtų elementų visuma vadinsis kupiūra. Gali būti, kad po šitos operacijos C taps suskirstyta į kelis atskirus tolydumus, nes likusių elementų visuma daugiau nesudarys vientiso tolydumo.

Tada C atsiras du elementai A ir B, kurie būtinai turės būti laikomi priklausančiais dviem skirtingiems tolydumams; mes tai sužinosime iš to, kad nebus galima likusioje C rasti tiesinės nuosekliai einančių elementų eilės (kiekvienas tų elementų negali būti atskiriamas nuo ankstesnio; pirmu imsim A, o paskutiniu B), jei nors vienas šios eilės elementų nebus neatskiriamas nuo vieno kurio kupiūros elementų.

Gali nutikti, kad, atvirkščiai, kupiūros realizacija bus nepakankama tolydumo C perskyrimui. Fizikinių tolydumų klasifikacijai mes privalom išnagrinėti, kokiomis privalo būti kupiūros, būtinos tolydumo suskirstymui.

Jei fizikinį tolydumą C galima padalinti į dalis realizuojant kupiūrą, susidedančią iš baigtinio vieną nuo kito atskiriamų narių (ir nesudarančių nė vieno tolydumo), tai sakysim, kad C yra vieno matavimo tolydumo.

Jei, atvirkščiai, C galima sudalinti tik pagalba kupiūrų, kurios pačios sudaro tolydumus, tai sakysim, kad C yra kelių matavimų tolydumas. Jei tai pasiekiama kupiūromis, kurios yra vieno matavimo , tai sakysim, kad C turi du matavimus; jei pakanka kupiūrų, turinčių du matavimus, tai sakysim, kad C turi tris matavimus, ir t.t.

Tokiu būdu, daugelio matavimų fizikinio tolydumo sąvoka tampa apibrėžta dėka labai paprasto fakto, kad dvi jutimų grupės gali būti atskiriamos arba neatskiriamos.

Kelių matavimų matematinis tolydumas.

n matavimų matematinio tolydumo sąvoka visiškai akivaizdžiai seka proceso, visai panašaus į nagrinėtą šio skirsnio pradžioje. Panašaus tolydumo taškas, kaip žinoma, mums apibrėžiamas n skirtingų dydžių, vadinamų koordinatėmis, sistema.

Ne visada būtina, kad tie dydžiai būtų išmatuojami. Geometrijoje yra atskira šaka, kurioje abstrahuojamasi nuo tų dydžių išmatavimų; joje užsiima, pvz., tik tyrinėjimu klausimo, ar taškas B ant kreivės ABC yra tarp taškų A ir C, ir nesistengia sužinoti, ar lankas AB yra lygus lankui BC, ar ji du kartus už jį didesnis. Tai taip vadinama Analysis Situs.
[ Analysis Situs - „padėties analizė“; dabar vadinama topologija ]

Tame visa mokymo, pritraukusio didžiausiųjų geometrų dėmesį ir iš kurio seka daug nuostabiausių teoremų, esmė. Šios teoremos skiriasi nuo įprastinės geometrijos teoremų, kad jos yra grynai kokybinės ir liktų teisingomis, jei figūros būtų kopijuojamos nepatyrusio braižytojo, kuris grubiai pažeistų jų proporcijas ir tiesias linijas pakeistų daugiau ar mažiau kreivomis.

Kai į ką tik mūsų apibrėžtą tolydumą panoro įvesti matą, tas tolydumas virto erdve: atsirado geometrija. Tačiau aš atidedu šį tyrinėjimą antrajai daliai.

[ I dalis. Skaičius ir dydis  |  II dalis ]

Paaiškinimai

*) Čia įeina specialūs susitarimai, naudojami sudėties apibrėžimui; apie juos bus kalbama toliau.

1) Polis Taneris (Paul Tannery, 1843-1904) – prancūzų matematikas ir matematikos istorikas, dirbęs valstybinių tabako fabrikų administratoriumi. Brolio Ž. Tanerio „Matematinėms pastaboms“ parašė istorinę dalį. Pirmieji moksliniai darbai buvo Diofanto (1893-1895) ir P. Ferma (1891-1896) darbų komentarai, o vėliau išleido Dekarto (1890) ir R. Bekono darbus. Jis paskelbė graikų mokslo (1887), graikų geometrijos (1887) ir senovės astronomijos (1893) istorijas.

2) Leopoldas Kronekeris ( Leopold Kronecker, 1823-1891) – vokiečių matematikas, daugiausia dirbęs algebros ir skaičių teorijos srityse, pratęsiant E. Kumero darbus. Naudodamas elipsines funkcijas, pasiekė naujų rezultatų skaičių teorijoje. Ypač svarbūs jo tyrinėjimai algebrinių dydžių aritmetinėje teorijoje, kur jis, kaip alternatyvą Dedekindo  idealų teorijai, jam nepriimtiną dėl filosofinių priežasčių, įvedė dalintojų teoriją – kuri, nors ilgai ir ignoruota, 20 a. peržiūrėta kaip gana naudinga. Taip pat pažymėtinas jo indėlis vystant tolydumo koncepciją, rekonstruojant iracionalių skaičių formą realių skaičių aibėje. Matematinėje analizėje jis atmetė K. Vejerštraso pateiktą tolydžios, niekur nediferencijuojamos funkcijos, apibrėžimą. Buvo matematikos aritmetizacijos šalininku, siekdamas suvesti matematiką iki sveikų skaičių aritmetikos, nes tik ši, atseit, pasižymi realia tikrove. Dėl tokio savo finitizmo laikomas intuitizmo pradininku matematikos pagrindų srityje.

3) Vėberio-Fechnerio dėsnis - empirinis psichofiziologinis dėsningumas apie tai, kad jutimai yra tiesiog proporcingi dirgiklio intensyvumui. Nuo 1834 m. E. Vėberis eksperimentais parodė, kad naujo dirgiklio jutimai skirsis nuo ankstesnių, jei jo intensyvumas skirsis proporcingai nuo ankstesnių. Pagal juos G. Fechneris 1860 m. išvedė „dėsnį“ jutimo stiprumui:
p = k ln (S/S0),  kur k – konstanta, priklausanti nuo subjekto.
Taigi, šviestuvas su 8-mis lemputėmis mums atrodo tiek labiau apšviečiantis nei šviestuvas su 4 lemputėmis, kiek šviestuvas su 4 lemputėmis šviečia ryškiau nei šviestuvas su 2 lemputėmis.

4) Polis Diubua-Reimonas (Paul Heinrich du Bois-Reymond, 1831-1889) - šveicarų kilmės vokiečių matematikas, darbavęsis funkcionalinės analizės ir matematinės fizikos srityse, apimant integralines lygtis, variacinį skaičiavimą ir Furjė eilutes. 1873 m. sukonstravo tolydžią funkciją, kurios Furjė eilutė nekonverguoja. Sukūrė be galo mažų dydžių teoriją. Su jo vardu siejamas eilučių konvergavimo, funkcijų integruojamumo požymiai ir kt.

Apie aukso pjūvį
Aritmetikos pagrindai
Santykis ir proporcija
Didžioji Ferma teorema
Matematikai: Anri Puankarė
Matematikos pradžia Lietuvoje
Iniciatyva: Matematikos keliu
Puankarė problemos įrodymas
A. Whitehead. Skaičiavimų prigimtis
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Mokslininkui nereikia matematikos!
Intuicijos problema pas Puankarė
Aukso gysla Ramanadžano lygtims
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Mokslo riboženkliai: 1867-ieji – kartų kaita
E. Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Matematikos filosofinės problemos
Kai kurios pirminių skaičių formos
Matematinė kalba ir simbolika
Parabolės lenktas likimas
Matematiniai anekdotai
Dalyba iš nulio
Algebros istorija
Vartiklis