Whitehead. Skaičiavimų prigimtis. Vartiklis

Ši esė iš A. Vaithedo „Traktato apie bendrąją algebrą: su taikymais“ (1898). Tik santykinai maža traktato dalis skirta bendriesiems mąstymo simboliais principams, o likusi dalis skirta tų principų taikymams, kaip autorius tai supranta, H. Grasmano „Išplėstinių skaičiavimo metodų“ (1844, abstrakčiosios algebros) išaiškinimams.

Vaithedo „Traktato apie bendrąją algebrą“ pirmasis skyrius „Apie skaičiavimų prigimtį“ susišaukia su Vitgenšteino „Traktatu“. Vitgenšteinas jame matematiką apibūdino kaip skaičiavimo metodus, kaip meną manipuliuoti „substitutyviais ženklais“ „lygtyse“ abstrahuojantis nuo jų „reikšmės“ ir naudojant „operacijas“. Terminas „operacija“ pradžioje naudotas apibūdinti bet kokį grynai formalaus pobūdžio algoritminį manipuliavimą simboliais atsisiejant nuo bet kokios tų simbolių prasmės. Vaithedas, apibrėždamas „operaciją“, ją taiko ne tik matematiniams veiksmams (kaip sudėčiai ir daugybai), bet taip pat deduktyviai išvadai, su nuoroda į Bradley^*) „Logikos principus“.

Vaithedas traktatą pradeda simbolių arba ženklų prigimties kartu su jų manipuliavimo taisyklių aiškinimu. Matematikoje išimtinai naudojami substitutyvūs ženklai, esantys tarsi kitų esybių pakaitalai. Po operacijų su ženklais sekos gaunamas teisingas teiginys apie tai, ką žymi ženklai. Toliau aptariamas ekvivalentiškumo sąvoka abstrakčioje algebroje. Panašiai jis samprotauja ir „Reliatyvumo principe“ (1922), kur ekvivalentiškumo principą aptaria kartu su kongruencija, arba kiekybine geometrinių elementų lygybe. Jis pradeda Euklido aksiomos „Elementai, lygūs tam pačiam elementui, yra lygūs“ aptarimu. Tačiau ką reiškia vieno elemento lygybė kitam? Jei kalbame apie kiekybinių savybių lygumą, turime žinoti, kas yra kiekybinė savybė. Tačiau, jei kiekybinę savybę apibrėžiame kaip elemento išmatuojamumu bendru vienetu, mes susiduriame su skirtingų matavimo (etaloninių) vienetų egzempliorių lygybe – ir vėl grįžtam į pradžią. Kad išeitų iš to užburto rato, Vaidhedas išplečia aptarimą apie ekvivalentiškumą plačiausia prasme.

Tam, kad imtis analizuoti tai, kas akivaizdu, reikalingas neeilinis protas.
Mokslininko mąstymo tikslas — matyti bendrą atskirame ir amžiną laikiname.

1. Ženklai

Žodžiai, išsakyti ar užrašyti, bei matematiniai simboliai yra panašaus pobūdžio ženklai. Ženklai yra skirstomi į a) sugestyvius, b) ekspresyvius, c) substitutyvius.

Sugestyvus ženklas yra labiausiai rudimentinis ir ties juo čia neapsistosime. Vaizdžiu jų pavyzdžiu yra nosinės mazgelis kaip kažko priminimas.

Ekspresyvaus ženklo atveju dėmesys sutelkiamas ne į ženklą, o į tai, ką jis išreiškia; t.y. ženklo perteikiamą reikšmę. Įprastinė kalba susideda iš ekspresyvių ženklų grupių; jos pirminis tikslas yra atkreipti dėmesį į naudojamų žodžių prasmes. Kalba, be abejonių, taip pat turi substitutyvių ženklų sistemos požymius. Ji pašalina vaizduotės nepajėgumą aprėpti visą sudėtingų idėjų kompleksą susiejant tas idėjas su žinomais garsais ar požymiais; ir ne visada būtina suvokti visą prasmę naudojant šiuos simbolius. Bet vis tik lieka teisinga, kad kalba, paveikta kritikos, kreipia į prasmę, o ne natūralias ir sutartines jos simbolių savybes, skirtas jos procesų paaiškinimui.

Substitutyvus ženklas mąstyme užima vietą to, ką jis pakeičia. Žaidimo rezultatas gali būti tokiu ženklu: žaidimui pasibaigus, esant laiminčiam ar pralaiminčiam rezultatui, jis gali būti išreikštas pinigų forma, bet iki tol jis verčia dėmesį sutelkti į patį rezultatą, o ne jo reikšmę. Matematinių skaičiavimų ženklai yra substitutyvūs ženklai.

Skirtumas tarp žodžių ir substitutyvių ženklų nusakytas taip: „žodis yra instrumentas mąstymui apie jų išreiškiamą prasmę; substitutyvus ženklas yra priemonė negalvoti apie jo simbolizuojamą prasmę“. Substitutyvių ženklų naudojimas yra skirtas mąstymo sutaupymui.

2. Skaičiavimų apibrėžimas

Kadangi mąstymas gali būti nukreipiamas substitutyvių ženklų priemonėmis, yra būtina, kad būtų pateiktos taisyklės manipuliavimui ženklais. Jos turi būti tokios, kad galutinė ženklų būsena po operacijų sekos išreikštų, kai ženklai suprantami kaip juos pakeičiantys dalykai, teiginį, teisingą ženklais perteikiamiems dalykams.

Menas manipuliuoti substitutyviais ženklais pagal nustatytas taisykles ir jų išvesti teiginius yra skaičiavimo metodai.

Tad mes galime skaičiavimo metoduose naudojamą ženklą apibrėžti kaip „laisvai pasirinktą žymenį, turintį fiksuotą prasmę, dalyvaujantį kombinacijose su kitais ženklais pagal nustatytus dėsnius siejant pagal abipuses prasmes“.

Ženklo, naudojamo operacijų sekoje, prasmė turi būti nekintanti, nors tam tikra prasme gali būti ir dviprasmiška. Pvz., įprastinėje algebroje raidė x gali būti naudojama operacijų sekoje, kai x gali būti apibrėžta kaip bet koks algebrinis dydis nepatikslinant konkrečiai pasirinkto dydžio. Toks ženklas žymi bet ką iš pasirinktos klasės su nedviprasmiškai apibrėžtomis savybėmis. Toje pat operacijų sekoje ženklas visada privalo žymėti tą patį tos klasės narį, tačiau aiškiai išreiškiant, kad tam galima imti bet kurį narį.

Kai tik žinomos manipuliavimo ženklais taisyklės, praktinio jų taikymo menas gali būti nagrinėjamas neatsižvelgiant į ženklams suteiktas prasmes. Aišku, kad galime imti bet kokius mums patinkančius žymenis ir manipuliuoti jais pagal bet kokias jiems priskirtas taisykles. Taip pat akivaizdu, kad bendrai imant, toks laisvas pasirinkimas yra nerimtas. Jie įgauna rimtą mokslinę vertę, kai atsiranda ženklų tipo bei manipuliavimo taisyklių panašumas, kai kuriems skaičiavimo metodams. Lyginamoji įvairių taisyklių variacijų studija praskaidrina skaičiavimų principus. Ir taip įgautos žinios suteikia galimybę vystant tam tikrus matematinius metodus, skirtus tam tikros temos apmąstymui.

Todėl skaičiavimo metodų apibrėžiamas per žymenų naudojimą substitutyviuose ženkluose. [ ... ]

3. Ekvivalentiškumas

Būtina paminėti formą, kuria teiginiai naudojami skaičiavimuose. Tokia forma gali būti tam tikru požiūriu labai dirbtine, ir teiginiai gali būti pateikti sutartine forma, kuri leidžia dedukciją. [ ... ]

Skaičiavimo metoduose teiginiai įgauna tvirtinimų apie ekvivalentiškumą formas. Vienas dalykas, galintis būti sudėtingu ir persipynęs su susijusių dalykų grupe arba faktų seka, tvirtinamas esantis tam tikra ar kita prasme ekvivalentišku kitam dalykui ar faktui. Atitinkamai ženklas „=“ naudojamas pažymėti, kad ženklai ar ženklų grupės abiejose jo pusėse yra ekvivalentiški, ir todėl simbolizuoja lygius dalykus. Kai dvi simbolių grupės sujungiamos šiuo ženklu, yra suprantama, kad viena grupė gali būti pakeičiama kita grupe, kai sutinkama kažkur skaičiavimuose.

Ekvivalentiškumo idėją reikia papildomai paaiškinti. Du dalykai yra lygūs, kai tam pačiam tikslui jie gali būti naudojami atskirai. Tad skirtingų dalykų ekvivalentiškumas numato esant tam tikrą apibrėžtą tikslą, tam tikrą mąstymo ar veiksmo apribojimą. Tada tame apribotame lauke nėra savybių skirtumų tarp dviejų dalykų.

Kaip ekvivalentiškumo lauko ribojimo pavyzdį paimkime įprastinę algebrinę lygtį f(x, y) = 0. Tada ieškant dy/dx pagal formulę dy/dx = - (df /dx) / (df/dy) mes nekeičiame f į 0 dešinėje formulės pusėje, nors dviejų simbolių ekvivalentiškumas buvo teigiamas lygtyje; nes apribojimas, kuriam buvo teigiama f=0 pažeidžiamas skaičiuojant dalines išvestines.

Ekvivalentiškumo idėją būtina kruopščiai atskirti nuo tapatumo. Tapatybės kaip A yra A negali duoti nieko daugiau nei visišką tapatumą. Kita vertus, ekvivalentiškumas bendruoju atveju nereiškia tapatumo. Tapatybę galime laikyti kaip specialų ribinį ekvivalentiškumo atvejį. Pvz., aritmetikoje rašome 2+3=3+2. Tai reiškia, kad 2+3 ir 3+2 rezultatas yra tas pats skaičius. Tačiau 2+3 ir 3+2 nėra tapatu; simbolių tvarka skiriasi ir tasai tvarkos skirtumas gali nukreipti į skirtingus mąstymo procesus. Lygties svarba kyla iš jos tvirtinimo, kad skirtingi procesai duoda tą patį rezultatą.

Aritmetiniu požiūriu yra viliojantis dalykas bandyti apibrėžti ekvivalentiškus dalykus kaip esančius visiškai skirtingais to paties dalyko, kaip jis egzistuoja išoriniame pasaulyje, apmąstymo būdais. Taip turime tam tikrą sudėtinį objektą, tarkim 5 dalykus, kuriuos gale mąstyti skirtingais būdais, kaip 2+3 ir kaip 3+2. Pakankamas prieštaravimas šiam apibrėžimui yra tai, kad žmogus, gebantis sąmoningai atskirti save nuo likusio pasaulio, išsprendžia pagrindinę filosofijos problemą. O kadangi nėra visuotinai pripažinto šios problemos sprendimo, tai akivaizdu, kad netikslinga imti šį skirtumą matematinio protavimo pagrindu.

Tad kitu požiūriu, kad visi dalykai, kurie bet kuriam tikslui gali būti suvokiami kaip tos pačios bendros koncepcijos ekvivalentiškos formos (logine prasme). Ir atvirkščiai, objektų, kartu sudarančių bendros koncepcijos išvystymus, rinkinys, naudojamas tam tikram tikslui, gali būti laikomas ekvivalentišku. Tai b=b’ gali būti suprantamas kaip simbolizuojantis faktą, kad du atskiri dalykai b ir b‘ yra du atskiri bendros koncepcijos B atvejai. Pvz., jei b žymi 2+3, o b žymi 3+2, tada b ir b‘ yra rinkinio iš 5 dalykų atskiri skirstymai.

Ženklą „=“, naudojamą skaičiavimo metoduose, reikia atskirti nuo loginio jungtuko „yra“. Skaičiavimo metoduose b=b‘ kai b ir b‘ turi atributą B. Tačiau mes negalime to pakeisti standartine logine forma b yra b‘; ir atvirkščiai, sakome b yra B ir b‘ yra B, - ir to nekeičiame simboline forma b=B; b‘=B (bent jau neturėtume taip daryti, kai „=” turi skaičiavimo metoduose naudojamą prasmę).

Reikia pastebėti, lad lygtimi perteikiamas teiginys b=b’ susideda iš dviejų elementų, kuriuos atstyrimo dėlei pavadinsime atitinkamai „teisumas“ ir „paradoksas“. Teisumas yra dalinis b ir b‘ tapatumas, jų bendras b-uniškumas. Paradoksas yra b ir b‘ skirtingumas; būdami skirtingi jie privalo turėti skirtingas savybes. Skaičiavimo metodų ekvivalentiškumo teiginiuose teisumui skiriamas mažiausias dėmesys, pagrindinis dėmesys tenka paradoksui. Taip lygtyje 2+3=3+2 faktas, kad abi pusės perteikia bendrą skaičiaus 5-iškumą, tiesiogiai net nepaminimas. Vieninteliu tiesioginiu tvirtinimu yra kad du skirtingi dalykai 2+3 ir 3+2 skaičiaus atžvilgiu yra ekvivalentiški.

Tokio skirtingo dėmesio paskirstymo priežastį lengva suprasti.

Kad atrastume naujus teiginius apie ekvivalentiškumus, reikia surasti paprastus žymenis arba patikrinti ekvivalentiškus dalykus. Tos patikros atrandamos atidžiai aptariant teisumą, b ir b‘ bendrą b-uniškumą. Tačiau tokius patikrinimus parengus, galime numesti visus svarstymus apie esminę B atributo prigimtį ir tiesiog taikyti patikrą, taikant ją b ir b‘, kad verifikuotume b=b‘. [ ... ]

4. Veiksmai

Sprendimai apie ekvivalentiškumą gali remtis betarpiška įžvalga, taip, kaip betarpiškai nusprendžiame, kad du daiktai yra tos pačios spalvos. Tačiau sprendimas gali būti grindžiamas iš žinojimo, kad dalykai išvedami iš kitų dalykų, esančių ekvivalentiškais arba tapačiais. Šis išvedimo procesas yra speciali matematinių metodų sritis. Dalyko p išvedimas iš dalykų a, b, c, ... gali būti suprastas kaip operacija su dalykais a, b, c, ..., kurios rezultatas yra p. Išvedimo idėja apimą fenomenalių apsireiškimų seką. Taip du daiktai gali būti laikomi tos pačios spalvos, nes jie nudažyti vienodais dažais arba pagaminti iš tokios pat medžiagos. [ ... ] Kitas išvedimo pavyzdys yra tas, kad abu teiginiai a ir b yra išvesti grynai deduktyviu samprotavimu iš tų pačių teiginių c, d ir e. Du teiginiai arba įrodomi arba paneigiami atitinkamai, kai c, d ir e yra patvirtinami arba atmetami. Tokiu būdu a ir b yra ekvivalentiški. Kitais žodžiais, a ir b gali būti laikomi kaip dviejų operacijų su c, d ir e ekvivalentiški rezultatai.

Žodžiai operacija, kombinacija, išvedimas ir sintezė bus naudojami tos pačios idėjos išreiškimui, kai kiekvienas žodis numato kažkaip specializuotą formą. Toji bendroji idėja gali būti apibrėžta taip: Sakoma, kad dalykas a yra kitų dalykų c, d, e ir t.t. operacijos rezultatas, kai a pateikiamas mąstymui kaip c, d, e ir t.t. prezentacijų rezultatas esant tam tikroms sąlygoms; ir tos sąlygos yra fenomenalūs įvykiai arba mentalinės veiklos, kurias galima suskirstyti į grupes ir apibrėžti operacijų, atliekamų su c, d, e ir t.t., prigimtį.

Tas faktas, kad c, d, e ir t.t. gali leisti su jais visais atliekamą operaciją, bus suvokiamas sąryšio tarp c, d, e ir t.t. nustatymas. Taip pat faktas, kad c gali būti tam tikros bendros rūšies operacijos išdava bus laikoma c savybe. Bet kuri operacijos specializacija ar rezultato prigimtis bus laikoma tos savybės priederme.

5. Substitutyvios schemos

Tegu a, a‘ ir t.t.; b, b‘ ir t.t., ... z, z‘ ir t.t. žymi bet kurią objektų, susietų tam tikra savybe, simbolizuojamą žymėjimu raidėmis, aibę. Skirtingi aibės nariai gali neturėti bendros savybės toje pačioje priedermėje. Jų ekvivalentiškumas arba tapatumas sąryšyje su ta savybe simbolizuojamas raidės tapatumu. Tad faktas, kad a ir m‘ abu simbolizuojami raide yra požymis, kad tiedu dalykai turi bendrą tą pačią savybę, o faktas, kad raidės a ir m‘ skiriasi, yra požymis, kad du dalykai turi tą pačią savybė skirtingose priedermėse. Iš kitos pusės, du dalykai a ir a‘ turi bendrą savybę toje pat priedermėje, ir pagal tą savybę jie laikomi ekvivalentiškais. Tegu ženklas „=“ išreiškia ryšio su ta savybe ekvivalentiškumą, - tada a=a’ ir m=m’.

Tegu tokia, kaip prieš tai aprašyta, dalykų aibė su turėjimu bendros savybės ekvivalentiškose ar neekvivalentiškose priedermėse bus vadinama schema; ir tegu toji bendra savybė, pagal kurią nusprendžiama dalyko priklausomybė schemai, vadinama apibrėžiančia schemos savybe. Tada tai pačiai schemai priklausantys objektai yra ekvivalentiški, jei toje pačioje priedermėje turi tą pačią apibrėžiančią savybę.

Tada tarp neekvivalentiškų schemos elementų privalo egzistuoti sąryšiai, priklausantys nuo priedermių, kuriose įgyja apibrėžiančią savybę, skirtumų. Iš to seka, kad iš tų a, b, c ir t.t. sąryšių tam tikromis operacijomis gali būti išvestas kitas schemos elementas. Tarp m ir m‘ egzistuos ekvivalentiškumas m=m‘, jei m ir m‘ išvedami iš kitų schemos elementų operacijų, besiskiriančių tik tam tikrose priskirtose priedermėse. Priedermės, kuriose ekvivalentiškų m ir m‘ išvedimo iš kitų schemos elementų procesai gali skirtis nesugriaunant m=m‘ ekvivalentiškumo bus vadinami schemos charakteristikomis.

Tada gali nutikti, kad dvi dalykų schemos, aišku, kad su skirtingomis apibrėžiančiomis savybėmis, turi tas pačias charakteristikas. Taip pat gali būti įmanoma nustatyti vienareikšmišką atitikmenį tarp tų schemų elementų taip, kad jei a, a‘, b, b‘ ir t.t. priklauso vienai schemai ir a, a‘, b, b‘ ir t.t., priklauso kitai schemai, tada a atitinka a, a‘ - a‘, b - b, b‘ - b‘ ir t.t. Pagrindine atitikimo taisykle yra ta, kad jei vienoje schemoje du elementai, tarkim a ir a‘, yra ekvivalentiški, tada kitoje schemoje jų atitikmenys a ir a‘ taip pat yra ekvivalentiški. Atitinkamai, bet kuriam išvedimo procesui pirmoje schemoje, kai m yra išvedamas iš a, b ir t.t., turi atitikti procesas antroje schemoje, m išvedantis iš a, b ir t.t..

Tokiu atveju, vietoje nagrinėjimo atsižvelgiant į vienos schemos savybes, galime ją pakeisti kita schema (arba atvirkščiai) – ir pabaigoje pateikti išvadą. Šį tyrimo būdą, beveik visuotinai naudojamą matematikoje, vadinsime schemų substitucijos metodu (arba trumpiau – substitucijos metodu).

Tie sukeisti dalykai, priklausantys vienai schemai yra ne kas kita kaip substitutyvūs ženklai. Paėmę pakeistą schemas liaujamės galvoję apie pradines. Samprotavimo taisyklė yra gautą rezultatą pakeistoje schemoje laikyti teisingu ir pradinėje schemoje.

Tokio substitucinio samprotavimo pavyzdį randame matų teorijoje. Matai yra matuojami pagal santykį su tam tikru laisvai pasirinktu kiekiu, vienetiniu matu. Bet kokia vieno tipo matų aibė gali būti perteikta atitikančia kitokio tipo matų aibe, jei išlieka matų santykiai. Pakaitinėje schemoje mums tereikia rūpintis tik turimais santykiais tarp jų vienetinių matų.
[ Red. pastaba: pvz., atstumų matavimas myliomis ir kilometrais. Tereikia rūpintis, kad būtų naudojama ta pati mylios samprata (jų yra keletas), t.y. santykis tarp 1 mylios ir 1 km ]

6. Konvencinės schemos

Dabar jau galima paaiškinti substitutyvių ženklų matematiniuose metoduose panaudojimo pagrindimą.

Be substitutyvių schemų su natūraliai tinkančiomis savybėmis naudojimo, pagal susitarimą galime priskirti bet kokius ekvivalentiškumo dėsnių žymenis, kurie yra identiški pradinių schemų, kurias ketiname nagrinėti, ekvivalentiškumo dėsniams. Žymenų rinkinį galime laikyti schema, kurios savybės priskirtos pagal susitarimą. Apibrėžiančiąja schemos savybe yra tai, kad žymenys yra tam tikros rūšies ir jiems priskirta tam tikra tvarka. Schemos charakterisikomis yra sutarti dėsniai apie tai, kaip tam tikros žymenų sekos popieriuje [ Redaktorius: arba ekrane ] laikomos ekvivalentiškomis. Tol, kol žymenys traktuojami kaip abipusiškai apibrėžtais jų sutartinėmis savybėmis, samprotavimai su jais gerai derės su pradiniais dalykais, kuriuos tie žymenys pakeičia. Pvz., panaudojant žymenis x, y, +, lygtis x+y=y+x išreiškia, kad tam tikra x ir y jungtis popieriuje yra įgavusi sutartinę savybę, kad x ir y tvarka yra nesvarbi. Tad bet kokia dviejų dalykų jungtis, turinti nuo rezultatą, kuris nepriklauso nuo tų dalykų tvarkos, įgauna savybes, identiškas minėti jungčiai tarp x ir y. ne tik aptarimas gali būti perkeltas nuo pradinių prie subtitutuojančių ženklų, bet ir išvengta paties plataus masto įsivaizdavimo. Kadangi pradinių dalykų kombinavimas įmanomas tik mintyse bei įsivaizdavimo dėka, sutartinių substitutyvių matematinių metodų ženklų kombinavimas fiziškai atliekamas popieriuje. Mąstymas tiesiog nukreipiamas į transformavimo taisykles ir pasinaudojimą patirtimi bei vaizduote procedūrinių metodų atlikimui. Visa kita tėra fizinis manipuliavimas ženklais vietoj mąstymo apie pradinius dalykus.

Matematiniai metodai pašalina išvados poreikį ir ją pakeičia išorine demonstracija, kur išvada ir išorinė demonstracija turi F.H. Bradley nurodytą prasmę. Šiame sąryšyje demonstracija yra apibrėžta kaip faktų rinkinio, duomenų, kombinavimo procesas gaunant, kad naujas faktas tampa aiškiu. Išvada yra idealus kombinavimas arba konstravimas protaujančio mintyse su intuityviu naujo fakto arba ryšio tarp duomenų aiškumu. Tačiau naudojant matematinius metodus tasai kombinavimo procesas virsta išoriškai atliekamu aiškių simbolių kombinavimu, gaunant naujo fakto rezultatą atsižvelgiantį į iš juslinio suvokimo kylančius simbolius. Kai tasai naujas faktas traktuojamas kaip prasmę turintis simbolis, jis išreiškia faktą, kuris turėjo būti intuityviai aiškus po išvados padarymo proceso.

7. Nepaaiškinamos formos

Loginis sunkumas, kad skaičiavimo metodai tėra tik dalinai naudojami, gali būti paaiškintas dabar. Šios rimtos problemos, kai taikoma atskiram (-1)^1/2 atvejui, diskusija įtraukė iškilius šio amžiaus [ red. 19 a. ] pirmos pusės matematikus ir atvedė, iš vienos pusės, prie kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos, o iš kitos prie mokslo šakos, čia vadinamos bendrąja algebra.

Sunkumas toks: simbolis (-1)^1/2 [ red. kvadratinė šaknis iš -1 ] visiškai neturi prasmės bandant suprasti jį kaip skaičių, tačiau algebrinės transformacijos su sudėtinėmis esybėmis, turinčiomis formą a+bi, kur a ir b yra skaičiai, o i žymi minėtą simbolį, tenkina grynai skaičiams taikomus teiginius. Kadangi taip nustatyti teiginiai buvo teisingais teiginiais, buvo pasitikėta metodu prie duodant bet kokius paaiškinimus, kodėl algebrinis samprotavimas, kuris neturi jokio tinkančio paaiškinimo aritmetikoje, gali pateikti teisingus aritmetinius rezultatus.

Sunkumas buvo pašalintas pastebėjus, kad algebros transformacijos dėsnių teisingumas nepriklauso nuo aritmetikos. Jei būtų tokia priklausomybė, būtų akivaizdu, kad algebrinėms išraiškoms esant aritmetiškai nepaaiškinamoms, turėtų neteisingais pripažinti visi su jomis susiję dėsniai. Tačiau algebros dėsniai, nors atėję iš aritmetikos, nepriklausi nuo jos. Jie visiškai priklauso nuo susitarimo, pagal būrį teigiama, kad tam tikri simbolių grupavimo būdai turi būti laikomi tapačiais. Tai priskiria tam tikras savybes žymenims, sudarantiems algebros simbolius. Algebros simbolių manipuliacijų dėsniai identiški aritmetikos dėsniams. Iš to seka, kad jokia algebros teorema negali prieštarauti aritmetikoje gautam rezultatui; abiem atvejais tie patys bendri dėsniai taikomi skirtingų dalykų klasėms. Jei algebros teorema paaiškinama aritmetikoje, atitinkama aritmetikos teorema yra teisinga. Trumpiau sakant, kai tik algebra suprantama kaip nepriklausomas mokslas užsiimantis tam tikrų žymenų sąryšiais, sąlygotais tam tikrų sutartinių dėsnių stebėjimu, sunkumai dingsta. Jei dėsniai yra identiški, vienos mokslo šakos teoremos tegali duoti rezultatus, nulemtus dėsnių, tinkamų kitai mokslo šakai; todėl tie rezultatai, kai perkeliami, yra teisingi.

Bus pastebėta, kad dalinai paaiškinamų skaičiavimo metodų teisėtumo aiškinimas nepriklauso nuo fakto, kad kitoje srityje skaičiavimo metodai visiškai nepaaiškinami. Paaiškinimo atradimas neabejotinai suteikė užuominą apie priemones, kaip gautas teisingas sprendimas. Nes tasai faktas, kad skaičiavimo metodai buvo paaiškinti geometrijos mokslo srityje, visiškai nepriklausomoje nuo aritmetikos, iškart parodė, kad skaičiavimo metodų metodai gali būti apibrėžti naudojant geometrinius procesus. Tačiau būtų paradoksas laikyti, kad algebra, kuri šimtmečius buvo studijuojama be jokių sąryšių su geometrija, staiga taptų pagrindiniais principais priklausoma nuo geometrijos. Buvo lengvai atliktas paaiškinimas.

Tačiau paramos, suteiktos algebros studijoms jos procesų paaiškinimu, nereikia pervertinti. Natūralu galvoti apie substitutyvių dalykų aibę, padedančią tirti pradinės srities savybes – ypač skaičiavimo metodų atveju, susidomėjimas kuriuo beveik visiškai priklauso nuo ryšio su pradine sritimi. Tačiau būtina prisiminti, kad ir pradinė sritis duoda neapsakomą pagalbą studijuojant substitutyvius dalykus ar simbolius.

Visa matematika susideda iš pagalbų vaizduotei protavimo metu serijos; ir tam tikslui duodama priemonė po priemonės. Kol substitutyvi schema nepasiūlyta pradinės srities tyrimui, vaizduotė naudoja pradinę sritį, kad padėtų tirti substitutyvią schemą. Kai kuriais atveais būtų geriau užmesti originalios srities, tiriamos substitutyvios schemos pagalba, koncepcijas ir tirti kartu dvi nesusijusių dalykų aibes, kiekvienai schemai turint tų pačių bendrų dėsnių operacijas. Tad algebrinio kompleksinio dydžio geometrinio pavaizdavimo (tokio svetimo algebros logikai) nustatymas yra esminiu šiuolaikinio mokslo vystymuisi.

^*) Frensis Bredlis (Francis Herbert Bradley, 1846-1924) – britų filosofas, absoliutais idealizmo (britų neohėgelizmo) lyderis. „Kritinės istorijos prielaidose“ (1874) neigė, kad istorija yra mokslas. „Etikos tyrinėjimuose“ (1876) gynė savirealizacijos imperatyvą. Absoliutaus idealizmo doktrinoje pabandė sujungti D. Jumo skepticizmą ir Hėgelio idealizmą.
Jo svarbiausiu veikalu yra „Apraiška ir tikrovė“ (1893), kuriame išdėstė savo požiūrį į idealizmą. Jis kritikavo pirminių (ilgis) ir antrinių (spalva) savybių atskyrimą, laikydamas, kad iš to ir išsivystė materializmas.