Kaip supakuoti standžiau?

Matematikams (Thomas Hales) 2005 m. išsprendus garsųjį rutulių supakavimo uždavinį, kurį dar 1611 m. iškėlė Johanas Kepleris, tai tapo „skaniu kąsneliu“ žiniasklaidai. 2009-aisiais pateikta dar keletas pakavimo problemų sprendimų būdų.

Sukurtas naujas metodas nustatymui, kiek nevienodos formos dalelių galima sutalpinti į tam tikro dydžio talpą. Tai gali padėti pramonei efektyviau spęsti įvairius pakavimo uždavinius – nuo pardavimo automatų iki vaistų piliulių, kurios būtų mažesnės ir lengviau nuryjamos.

Niujorko universiteto (NYU) Medžiagų tyrimų ir inžinerijos centro fizikai sako, kad sprendimas remiasi kiekiu, nurodančiu su kiek gretimų dalelių liečiamasi. Nors tai atrodo ir intuityviai suprantama, tačiau ilgai nebuvo įrodoma dėl nepaprastai sudėtingos struktūros, kai nagrinėjami netaisyklingos formos ir dydžio trimačiai objektai. Prof. Jasna Brujic vadovaujami NYU fizikai sukūrė statistinį modelį, potencialiai leidžiantį išspręsti daugelį pakavimo uždavinių.

Modelis gali „nuspėti“ skirtingų dydžių rutulių talpoje geometriją atsižvelgiant, kiek kaimynų turi vienas rutulys, kaip tie kaimynai yra nutolę ir kaip talpoje pasiskirsčiusi tuščia vieta. Didelės dalelės gali turėti daugiau kaimynų, o mažesnės mažiau. Tokia nuostata derinama su tikimybių teorija.Tai atliekama žvelgiant iš vienos atskiros dalelės taško, todėl jo sukūrėjai jį vadina „granocentriniu“.

Modelis buvo patikrintas stebint, kaip alyvos lašeliai pasiskirto vandenyje. Apie tai paskelbta „Nature“ žurnale:
M. Clusel, E.I. Corwin, A.O.N. Siemens, J. Bruji . A 'granocentric' model for random packing of jammed emulsions// Nature, 30 July, 2009

Tuo tarpu Prinstono universiteto chemijos fakulteto prof. S. Torquato ir Mechanikos bei aeroinžinerijos fakulteto studentas Yang Jiao, į nustatytą tūrį supakavo daugiausia tetraedrų (trimatė geometrinė figūra, turinti 4 trikampius šonus) ir kitokius daugiabriaunius. Jie pasiekė 78,2% tūrio užpildymą ir aplenkė prieš metus Mičigano universiteto studentės E. Chen pasiektą rezultatą (77,8%).

Tai jiems pavyko panaudojus naują būdą, kai tetraedrai pakuojami poromis, suglaudus juos briaunomis, „besibučiuojančius“, ir, žiūrint iš šalies, toks supakavimas atrodo keistai.

Figūrų ir jų derinimas tarpusavyje nėra vien akademinis „žaidimas“. Pasaulyje pilna jų – pradedant apelsinais ir baigiant briaunuotomis smėlio smiltelėmis. Nuo jų tarpusavio išsidėstymo priklauso nemažai procesų, pavyzdžiui, kas vyksta šylant ar šąlant ir t.t. Chemijoje tai susiję su sudėtingų molekulių elgsena vykstant cheminėms reakcijos. Tai turi ir ekonominį efektą pramonėje. Pvz., tai gali leisti į CD įrašyti daugiau informacijos. Mat tai susiję su klaidų aptikimu duomenyse ir automatinių jų koregavimu.

Be praktinių panaudojimų, tai sukuria naujas įžvalgas ir į kitą sritį. Yra 5-i „platoniškieji kūnai“: tetraedras, kubas (heksaedras), oktaedras, dodekaedras ir ikosaedras. Jų simetrija ir grožis tūkstantmečiais žadino daugelio mąstytojų mintis. Platonas aiškino, kad pagrindiniai elementai (žemė, vėjas, ugnis ir vanduo) yra sudaryti iš daugiabriaunių. Neolitų laikų daugiabriaunių figūrų rasta Škotijoje.

Tetraedrą standžiausiai supakuoti galima tik suglaudus briaunomis. Tuo tarpu kiti platoniškieji kūnai turi būti pakuojami į gardeles – panašiai į apelsinus parduotuvėse – eilėmis. kai naujas sluoksnis dedamas į ankstesnė sluoksnio sudarytas įdubas. Mat tetraedras neturi savybės, kuri vadinama centrine simetrija – t.y. taško, kuris dalintų pusiau bet kurią atkartą, jungiančią bet kuriuos priešingų šonų taškus. Beje, 12-a Archimedo kūnų (iš 13-os) irgi neturi šios savybės.

Ankstesnės kompiuterinės simuliacijos sudėdavo tetraedrus į virtualią dėžę leisdami jiems „augti“. . S. Torquato „adaptyvaus celių susitraukimo optimizavimo“ algoritmas elgiasi visiškai priešingai – jis fiksuoto dydžio virtualius tetraedrus sudeda į „dėžę“ ir ją „spaudžia“.

Vis tik Prinstono tyrinėtojų išvados nėra iki galo akivaizdžios ir tolimesni teoriniai įrodymai tebėra galimi.

O štai R. Gabbrielli iš Bath‘o universiteto (Anglija, dabar studijuojantis Swansea un-te) sukūrė naują putų modeliavimo būdą, pasiūlęs alternatyvų sprendimą „Kelvino uždaviniui“. Ir nors jis efektyvumu ir nesumuša Weaire-Phelan‘o struktūros, tačiau parodė naują kelią šio uždavinio tolimesniems sprendimams.

Lordas Kelvinas dar 1887 m. iškėlė klausimą, kaip efektyviausiai padalinti erdvę į vienodo tūrio celes, kad jų paviršius būtų mažiausias. Kelvino sprendimas buvo sutrumpintų oktoedru „korys“ (iš celių, turinčių 6 kvadratinius ir 8 šešiakampius šonus.

Tačiau geresnį sprendimą pasiūlė Dublino Trejybės koledžo fizikai Weaire ir Phelan‘as, pasiūlę „korį“, kurio struktūra įkvėpė Vandens centro architektūrą 2008-ųjų Pekino olimpiadoje. Jį sudarė dvi skirtingos figūros: netaisyklingas penkiakampis dodekaedras (12-os šonų figūra) ir 14-kašonis.

R. Gabbrielli, tirdamas korio formos kaulų pakaitalus, pasiūlė naudoti keturių formų struktūrą. Jo metode naudojama Swift-Hohenberg‘o dalinių išvestinių diferencialinė lygtis, taikoma dvimačių struktūrų sudarymui. Beje, R. Gabbrielli sudarytos struktūros yra artimesnės natūraliai susidariusioms putoms. R. Gabbrielli buvo pakviestas ir lankėsi JAV bei Australijoje, kur aiškino naująją struktūrą ir ją aptarinėjo su iškiliais matematikais.

Papildomai: Žr: S. Torquato, Y. Jiao. Dense packings of the Platonic and Archimedean solids// Nature, Aug 13, 2009, No. 460 (7257)
Žr. R. Gabbrielli. A new counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces// Philosophical Magazine Letters, 2009; 89 (8)

Erdvės formos
Didžioji Ferma teorema
Matematiniai anekdotai
Paviliota senovinio žaidimo
Abelio premijos laureatas
Iniciatyva: Matematikos keliu
Da Vinči matematinė klaidelė
Tjorstono geometrizacijos teiginys
P-NP: Ant sveiko proto svarstyklių
Naujas pirminių skaičių dėsningumas
Surasta trilijonas trikampių
Puankarė problemos įrodymas
Algoritmų pirmeivis laimėjo Kyoto premiją
Šiuolaikiniai iškilūs matematikai
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Laimėti pralaimint: „dviejų vokų“ paradoksas
Egzotiškosios hipersferos - problema išspręsta
Diagramos, pakeitusios pasaulį
Graikų matematikai - filosofai
Nepaprasti Visatos skaičiai
Skaičių simbolika Vedose
Peteris Karvašas. Archimedas
Netiesinis mąstymas: išspręsti neišsprendžiamą
Geriausios alternatyvos parinkimas
Revoliucija mazgų teorijoje
Matematikos blogas
Pitagoro teorema
Numerologija
Topologija
Matroidai
Vartiklio naujienos