Kaip supakuoti standžiau?

Matematikams (Thomas Hales) 2005 m. išsprendus garsųjį rutulių supakavimo uždavinį, kurį dar 1611 m. iškėlė Johanas Kepleris, tai tapo „skaniu kąsneliu“ žiniasklaidai.

Odd Balls in a Box 2014 m. naujiena: Kompiuteris patikrino vaisių pakavimo uždavinį

J. Kepleris spėjo, kad geriausias yra dėjimas į piramidę.
1998 m. Th. Hales‘as pateikė įrodymą, kad Keplerio spėjimas yra teisingas. Ir nors begalinio skaičiaus sferų yra begalinis kiekis galimų dėliojimo variantų, dauguma jų tėra kelių tūkstančių temų variacijos. Tad Th. Hales‘as suvedė uždavinį į tūkstančių variantų analizę ir juos patikrino kompiuteriu.

Tačiau griežtas įrodymas užėmė 300 puslapių ir jį 4 m. tikrino 12 tikrintojų. Ir net 2005 m. paskelbus žurnale „Annals of Mathematics“, tikrintojai sakė, kad jie jo teisingumu tikri tik 99%. Tad 2003 m. Th. Halesas pradėjo „FlySpeck“ projektą, kurio tikslas buvo patikrinti įrodymą formalios verifikacijos metodais. Buvo naudota „Isabelle“ ir HOL Light programinė įranga.

2014 m. rugpjūčio 10 d. „FlySpeck“ komanda paskelbė, kad baigė koduoti įrodymo matematinę dalį į kompiuterinę formą ir patikrino, kad jis neturi klaidų. Taip sudėtingo uždavinio sprendimui buvo panaudotas automatizuotas teoremų įrodymas.
2017 m. birželį Th. Hales pagaliau pateikė formalų Keplerio teiginio įrodymą Matematikos forume Pi; žr. >>>>>

2009-ais pateikta dar keletas pakavimo problemų sprendimų būdų.
Sukurtas naujas metodas nustatymui, kiek nevienodos formos dalelių galima sutalpinti į tam tikro dydžio talpą. Tai gali padėti pramonei efektyviau spęsti įvairius pakavimo uždavinius – nuo pardavimo automatų iki vaistų piliulių, kurios būtų mažesnės ir lengviau nuryjamos.

Niujorko universiteto (NYU) Medžiagų tyrimų ir inžinerijos centro fizikai sako, kad sprendimas remiasi kiekiu, nurodančiu su kiek gretimų dalelių liečiamasi. Nors tai atrodo ir intuityviai suprantama, tačiau ilgai nebuvo įrodoma dėl nepaprastai sudėtingos struktūros, kai nagrinėjami netaisyklingos formos ir dydžio trimačiai objektai. Prof. Jasna Brujic vadovaujami NYU fizikai sukūrė statistinį modelį, potencialiai leidžiantį išspręsti daugelį pakavimo uždavinių.

Modelis gali „nuspėti“ skirtingų dydžių rutulių talpoje geometriją atsižvelgiant, kiek kaimynų turi vienas rutulys, kaip tie kaimynai yra nutolę ir kaip talpoje pasiskirsčiusi tuščia vieta. Didelės dalelės gali turėti daugiau kaimynų, o mažesnės mažiau. Tokia nuostata derinama su tikimybių teorija.Tai atliekama žvelgiant iš vienos atskiros dalelės taško, todėl jo sukūrėjai jį vadina „granocentriniu“.

Modelis buvo patikrintas stebint, kaip alyvos lašeliai pasiskirto vandenyje. Apie tai paskelbta „Nature“ žurnale:
M. Clusel, E.I. Corwin, A.O.N. Siemens, J. Bruji . A 'granocentric' model for random packing of jammed emulsions// Nature, 30 July, 2009 Packing Tetrahedrons

Tuo tarpu Prinstono universiteto chemijos fakulteto prof. S. Torquato ir Mechanikos bei aeroinžinerijos fakulteto studentas Yang Jiao, į nustatytą tūrį supakavo daugiausia tetraedrų (trimatė geometrinė figūra, turinti 4 trikampius šonus) ir kitokius daugiabriaunius. Jie pasiekė 78,2% tūrio užpildymą ir aplenkė prieš metus Mičigano universiteto studentės E. Chen pasiektą rezultatą (77,8%).

Tai jiems pavyko panaudojus naują būdą, kai tetraedrai pakuojami poromis, suglaudus juos briaunomis, „besibučiuojančius“, ir, žiūrint iš šalies, toks supakavimas atrodo keistai.

Figūrų ir jų derinimas tarpusavyje nėra vien akademinis „žaidimas“. Pasaulyje pilna jų – pradedant apelsinais ir baigiant briaunuotomis smėlio smiltelėmis. Nuo jų tarpusavio išsidėstymo priklauso nemažai procesų, pavyzdžiui, kas vyksta šylant ar šąlant ir t.t. Chemijoje tai susiję su sudėtingų molekulių elgsena vykstant cheminėms reakcijos. Tai turi ir ekonominį efektą pramonėje. Pvz., tai gali leisti į CD įrašyti daugiau informacijos. Mat tai susiję su klaidų aptikimu duomenyse ir automatinių jų koregavimu.

Be praktinių panaudojimų, tai sukuria naujas įžvalgas ir į kitą sritį. Yra 5-i „platoniškieji kūnai“: tetraedras, kubas (heksaedras), oktaedras, dodekaedras ir ikosaedras. Jų simetrija ir grožis tūkstantmečiais žadino daugelio mąstytojų mintis. Platonas aiškino, kad pagrindiniai elementai (žemė, vėjas, ugnis ir vanduo) yra sudaryti iš daugiabriaunių. Neolitų laikų daugiabriaunių figūrų rasta Škotijoje.
Plačiau apie briaunainius žr. >>>>>

Tetraedrą standžiausiai supakuoti galima tik suglaudus briaunomis. Tuo tarpu kiti platoniškieji kūnai turi būti pakuojami į gardeles – panašiai į apelsinus parduotuvėse – eilėmis. kai naujas sluoksnis dedamas į ankstesnė sluoksnio sudarytas įdubas. Mat tetraedras neturi savybės, kuri vadinama centrine simetrija – t.y. taško, kuris dalintų pusiau bet kurią atkartą, jungiančią bet kuriuos priešingų šonų taškus. Beje, 12-a Archimedo kūnų (iš 13-os) irgi neturi šios savybės.

Ankstesnės kompiuterinės simuliacijos sudėdavo tetraedrus į virtualią dėžę leisdami jiems „augti“. S. Torquato „adaptyvaus celių susitraukimo optimizavimo“ algoritmas elgiasi visiškai priešingai – jis fiksuoto dydžio virtualius tetraedrus sudeda į „dėžę“ ir ją „spaudžia“.

Vis tik Prinstono tyrinėtojų išvados nėra iki galo akivaizdžios ir tolimesni teoriniai įrodymai tebėra galimi.

O štai R. Gabbrielli iš Bath‘o universiteto (Anglija, dabar studijuojantis Swansea un-te) sukūrė naują putų Packing Space modeliavimo būdą, pasiūlęs alternatyvų sprendimą „Kelvino uždaviniui“. Ir nors jis efektyvumu ir nesumuša Weaire-Phelan‘o struktūros, tačiau parodė naują kelią šio uždavinio tolimesniems sprendimams.

Lordas Kelvinas dar 1887 m. iškėlė klausimą, kaip efektyviausiai padalinti erdvę į vienodo tūrio celes, kad jų paviršius būtų mažiausias. Kelvino sprendimas buvo sutrumpintų oktoedru „korys“ (iš celių, turinčių 6 kvadratinius ir 8 šešiakampius šonus.

Tačiau geresnį sprendimą pasiūlė Dublino Trejybės koledžo fizikai Weaire ir Phelan‘as, pasiūlę „korį“, kurio struktūra įkvėpė Vandens centro architektūrą 2008-ųjų Pekino olimpiadoje. Jį sudarė dvi skirtingos figūros: netaisyklingas penkiakampis dodekaedras (12-os šonų figūra) ir 14-kašonis.

R. Gabbrielli, tirdamas korio formos kaulų pakaitalus, pasiūlė naudoti keturių formų struktūrą. Jo metode naudojama Swift-Hohenberg‘o dalinių išvestinių diferencialinė lygtis, taikoma dvimačių struktūrų sudarymui. Beje, R. Gabbrielli sudarytos struktūros yra artimesnės natūraliai susidariusioms putoms. R. Gabbrielli buvo pakviestas ir lankėsi JAV bei Australijoje, kur aiškino naująją struktūrą ir ją aptarinėjo su iškiliais matematikais.

Papildomai žr.: S. Torquato, Y. Jiao. Dense packings of the Platonic and Archimedean solids// Nature, Aug 13, 2009, No. 460 (7257)
Taip pat žr. R. Gabbrielli. A new counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces// Philosophical Magazine Letters, 2009; 89 (8)

Thomas Callister Hales (g. 1958 m.) - amerikiečių matematikas, dirbantis Langlands’o programoje. Jis užsiiminėjo fundamentaliąja lema automorfinių formų teorijoje ir įrodė jos atskirą atvejį Sp(4) simpleksinės grupės*) atveju. Daugelis jo pasiūlytų idėjų buvo panaudotos galutiniam jos įrodymui (Ngo Bao Čau, 2008). Taip pat įrodė Keplerio teiginį, kad sferos tankiausiai išdėliojamos piramidės forma bei „korio teiginį“ (apie paviršiaus suskaidymą vienodo ploto sritimis).

Jis daktaro laipsnį gavo Prinstono un-te, profesoriavo Mičigavo, o dabar Pitsburgo un-tuose. Jis pasisako už matematikos formalizavimą ir kompiuterių panaudojimą įrodymų verifikacijai. Inicijavo „Flyspeck“ proektą savo Keplerio pakavimo teiginio įrodymo verifikacijai (užbaigtos 2014 m. rugpjūtį, žr. >>>>>).

*) Simpleksinė grupė – tai dvi skirtingos, tačiau artimai susijusios grupės. Terminą įvedė Hermann Weyl'as, kad panakintų painiavą ankstesnėje terminijoje (sudėtinga grupė, Abelio grupė). Jis kilęs iš graikiško žodžio, reiškiančio „sudėtingas“.

Simpleksinė vektorinė erdvė yra vektorinė erdvė V virš lauko F (pvz., realiųjų skaičių R) su simpleksine bitiesine forma  w:VxV -> F. Bitiesinė forma w yra simpleksinė, jei ji yra:
Alternuojanti, w(v, v) = 0 visiems vV;
Ne degeneratyvi, jei w(u, v) = 0 visiems vV, tai u=0

Naujas parketo klojimo būdas

Taip pat skaitykite Nauji picos pjaustymo būdai  

Vašingtono un-to matematikai rado naują penkiakampio parketo tipą. Iki tol žinota tik 14-a jų, kurių paskutinis atrastas prieš 30 m.
Naujas parketinis penkiakampis

Yra žinoma, kad iškiliais trikampiais ir keturkampiais galima be tarpų iškloti plokštumą, o taip pat, kad yra tik 3-ys tokių šešiakampių tipai (tai įrodyta 1963-ais). O daugiakampiais turinčiais daugiau nei 6 kraštinės, plokštumos iškloti negalima. O kiek yra tai tenkinančių penkiakampių, nėra žinoma.

Pirmą jų klasifikaciją 1918 m. atliko Karenas Reinhardas, aprašęs 5-is figūrų tipus. 1968-85 m. 4-i mokslininkai atrado dar 9-is jų tipus: 1968 m. R. B. Kershner’is atrado 3-is, 1975 m. dar vieną atrado R. James. Tada mėgėja M. Rice perskaičius apie R. James atradimą “Scientific American” susikūrė savo žymėjimo sistemą ir per kelis metus atrado dar 4-is penkiakampius.

Ir štai 2015-ais – atrasta 15-a figūra.Ją atrado Casey Mann, Jennifer McLoud ir David Von Derau, atlikę kompiuterinį variantų perinkimą. Tada Michael Rao 2017-ais parodė, kad ir galimi tik 15-a būdų. Tačiau visi šie padengimai plokštumą užpildo periodiškai. Nėra žinoma, ar yra nepasikartojantis padengimas.
Galimi padengimai penkiakampiais:
Padengimai penkiakampiais


Meilės sinusoidė

Natalia Bielczyk su kitais neuro-matematikais iš Nijmegeno (Olandija) Radboudo universiteto sukūrė matematinį modelį efektyviam bendravimui romantinių santykių atveju, Meilės reikalų dinamika panaši į sinusoidę: vienodas pakilimų ir nusileidimų svyravimas. Kai kurioms poroms šios bangos tampa nekontroliuojamos, sukeliančios nutrūkimą, o kitiems tolygiai nuslopsta į ramybės būklę.

1988 m. Steven Strogatz pirmasis aprašė romantinius santykius matematinėmis dinaminėmis sistemomis. Jis sukūrė dvimatį modelį, apibrėžantį du emociškai bendraujančius hipotetinius partnerius. Jis paėmė gerai žinomą Romeo ir Džiuljetos istoriją. Modelis išgarsėjo ir įkvėpė kitus. Tačiau Strogatz modelis neapėmė pauzių partnerių atsakuose.

Natalia pasiūlė artimesnį gyvenimui modelį, įtraukiant laiko intervalus, būtinus apdoroti ir suformuoti sudėtingą emocinį kompleksą. Atsakas remiasi 4 parametrais: abu partneriai turi asmeninę istoriją (savo „praeitį“) ir tam tikrus atsaką partneriui ir jo(s) istorijai. Priklausomai nuo šių parametrų, galima nustatyti skirtingas santykių klases: kai kurie pasmerkti santykių nutrūkimui nepriklausomai nuo partnerio skubėjimo, o kiti visąlaik likdavo stabilūs. Paskaičiuotuose modeliuose stabilumas būna, kai abu partneriai pasiekia stabilų pasitenkinimo lygį ir sinusoidė nuslopsta. Straipsnyje daroma išvada, kad plačiai santykių klasei pauzės santykiuose gali padidinti stabilumą poroms. Kurio pradžioje buvo nestabilios.

Šie rezultatai yra gana intuityvūs: pernelyg nekantrūs ar pernelyg vėlyvi atsakai sukelia problemas. Žemiau tam tikros reikšmės, delsimai sukelia nestabilumą, o virš jos – jie lemia stabilumą. Tai reiškia, kad tam tikras vangumo lygis gali būti naudingas. Faktas, kad per greitos emocinės reakcijos gali destabilizuoti, rodo, kad kito nuotaikų atspindžiai nepakankami stabiliems santykiams: tam tikra pauzė būtina.

Apibendrinant: straipsnis pateikia matematinį pagrindimą intuityviam socialinės psichologijos reiškiniui. Stebint vienas kito emocijas ir viską darant laiku galima sustiprinti ryšius net nebandant pakeisti partnerio įpročių.

Model of Romeo and Juliet relation
Santykių tarp Romeo (ištisinė linija) ir Džiuljetos (trūki-taškinė linija) modelis. t Žymi atsako užlaikymą.
Per trumpos pauzės ( < 0,83) sukelia nestabilumą kaip ir per ilgos pauzės ( > 2,364)

Krafordo premija
Gyvenimo gėlelė
Kraskalo algoritmas
Matematiniai anekdotai
Žmonės prieš kompiuterius
Žaidimų teorijos panaudojimas
Paviliota senovinio žaidimo
Iniciatyva: Matematikos keliu
Surasta trilijonas trikampių
Da Vinči matematinė klaidelė
Šiuolaikiniai iškilūs matematikai
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
P-NP: Ant sveiko proto svarstyklių
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Egzotiškosios hipersferos - problema išspręsta
Netiesinis mąstymas: išspręsti neišsprendžiamą
Geriausios alternatyvos parinkimas
Diagramos, pakeitusios pasaulį
Nepaprasti Visatos skaičiai
Peteris Karvašas. Archimedas
Revoliucija mazgų teorijoje
Pirmasis Einšteino įrodymas
Kur viešpatauja chaosas?
Santykis ir proporcija
Pitagoro teorema
Erdvės formos
Numerologija
Perkoliacija
Topologija
Vartiklis