Revoliucija mazgų teorijoje

19-me amžiuje lordas Kelvinas išsakė spėjimą, kad elementai yra mazgai eteryje. Vandenilis gali būti vieno tipo mazgu, deguonis – kito ir t.t. Ši idėja paskatino Peter Tait‘ą detalias mazgų lenteles, siekiant nustatyti, kada mazgai tikrai skiriasi. Fizikos požiūriu, abu jie ėjo klaidingu keliu: įsigalėjęs atomistinis pasaulio sandaros požiūris pašalino teoriją apie eterį. Tačiau iš matematikos požiūrio taško, tai buvo aukso gysla, iš kurios išsivystė „mazgų teorija“.

Šio mazgo Gauso kodas O1U2O3U1O2U3

Sam Nelson savo straipsnyje „Kombinatorinė revoliucija mazgų teorijoje“ (AMS Notices, 2011 m. lapkritis) aprašo naują požiūrį į mazgų teoriją ir jo dėka atrastus naujus mistinius objektus.

Jūreiviai nuo seno žinojo, kad mazgus rišti galima įvairiai – ir jų kiekis yra begalinis. „Matematinį“ mazgą galima įsivaizduoti kaip sumazgytą apskritimą – imkim riestainį, esantį sumazgytu žiedu, arba guminę juostą, kuri yra „atmazgyta“, nes nėra mazgu. Matematikai tyrinėja mazgų variantus, simetrijas ir asimetrijas bei kuria metodus, leidžiančius nustatyti, ar du mazgai skiriasi.

Matematiškai galime laikyti stygą, iš kurios sudaromas mazgas, vienmačiu objektu, o pats mazgas randasi trimatėje erdvėje. O mazgų piešiniai, pvz., kokius darė P. Tait‘as, yra mazgų projekcijos į dvimatę plokštumą. Juose susikirtimai vaizduojami ištisine ir trūkia linijomis. Tokie piešiniai jau nuo seno naudoti matematikoje mazgų pavaizdavimui bei analizavimui.

Nelsonas aprašo, kaip matematikai sukūrė įvairius metodus informacijos apie mazgus užrašymui. Vienas jų yra Gauso kodas, kuris yra raidžių ir skaitmenų seka, kurioje kiekvienam mazgo susikirtimui priskiriamas skaičus ir raidė O arba U, priklausomai nuo to, ar susikirtimas yra virš ar po linija.

20 a. paskutinio dešimtmečio viduryje matematikai aptiko kažką keista. Yra tokių Gauso kodų, kuriems neįmanoma plokštumoje nupiešti mazgo projekciją. Juos Nelsonas pavadino „neplokštuminiais Gauso kodais“. Jie užrašo „virtualius mazgus“, nesančius trimačiais. Juos galima tirti mazgų diagramoms taikant kombinatorikos metodus. Tai gali atvesti prie apibendrintos mazgų teorijos.

Pastaba: Mazgų teorijai skirtas žurnalas „Journal of Knot Theory and its Ramifications“.

Pirminiai skaičiai
Kaip supakuoti standžiau?
Naujas pirminių skaičių dėsningumas
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
Greičiais C besiplečiančios–besitraukiančios erdvės B
Apie Tarskio skritulio kvadratinimą
Da Vinči matematinė klaidelė
Šiuolaikiniai iškilūs matematikai
Specialioji reliatyvumo teorija
Diagramos, pakeitusios pasaulį
Paviliota senovinio žaidimo
Scenoje - paprastos grupės
Visata kaip kompiuteris
Matematika ir muzika
Ar viskas čia taip?
Dalyba iš nulio
Pirminiai dvyniai
Minties virusai
Matroidai