Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija

Svarbiu stimulu matematikos pagrindimui buvo Georgo Kantoro (1845-1918) išvystytas mokymas apie aibes (Mengenlehre). Jis įvedė naujas sąvokas: aibės galia, pilnai sutvarkyta aibė ir kt. Jo potencialios ir tikrosios begalybių atskyrimas, mokymas apie skaičių klases ir pan., tapo pretekstu dar iki tol nežinotam poreikiui griežtam loginiam matematikos sąvokų pagrindimui. Ypatingą svarbą turėjo tai, kad matematikoje buvo aptikti prieštaravimai, kilę su Kantoro aibių teorija.

Pagrindine sąvoka matematikoje Kantorui tapo aibė (Menge). Gali būti, kad po skaičiaus sąvokos senovėje ir funkcijos sąvokos naujaisiais laikais, tai buvo svarbiausiu etapu šio mokslo istorijoje. Kantoras aiškino: „...aibe aš suprantu bet kokį daugį, kurį galima imti kaip vienį t.y. bet kokią tam tikrų elementų visumą, kuri gali būti susieta į vieną visumą tam tikro dėsnio pagalba...“

Būtent šios sąvokos plėtojimas ir atvedė Kantorą prie mokymo apie potencialią ir tikrąją begalybes [o šį terminą įvedė čekas B. Bolcano (1781-1848)].

Kantoro laikais vyravo požiūris, pripažįstantis tik vieną begalinių dydžių rūšį – dydį, gebantį be galo didėti. Tai – „potencialioji begalybė“. Tuo tarpu apie tikrąją begalybę kalbėti vengta, pvz., H.-F. Gausas (1777-1855) ryžtinkai prieštaravo prieš bet kokį tikrosios begalybės panaudojimą matematikoje. Ją atmetė ir Žerdilis (Gerdil), Koši, Muanjo (Moigno), o iš filosofų – Zigvartas, Kuno Fišeris, Šarlis Renuvjė (Renouvier) bei pozityvistai.

Anot Kantoro, potenciali begalybė „reiškia kintamą baigtinį dydį, didėjantį virš bet kokių baigtinių ribų...“, ir jis ją vadina „nesava begalybe“. Matematikoje ji išreiškiama pirmojo ar aukštesnių laipsnių diferencialais, begalinių eilučių sumomis arba kitais ribiniais procesais. Tai pagalbinė mąstymo priemonė: „santykio sąvoka, kuri savyje turi kitimo idėją ir apie kurią niekada negalima pasakyti tiesiogine šio žodžio prasme: ‚datur‘ [užduota]“. Ji „pati savimi neišreiškia jokios idėjos“. Būdama tik pagalbine, santykio sąvoka, ji „visada nurodo pagrinde glūdintį transfinitum [virš-baigtinį], be kurio ji negali būti, be kurio nemąstoma“.

Kantoras suvokė jos naudingumą mokslui ir buvo prieš niekinamą jos vadinimą „kvaila begalybe“ ir laikė, kad be galo maži dydžiai „renka gausų analitinių tiesų derlių“ ir juos reikia palikti nebandant versti tikrais [fiksuotais] labai mažais dydžiais.

Naujaisiais laikais geometrijoje ir ypač funkcijų teorijoje imta nauja begalybės sąvoka. Tiriant, tarkim, kompleksinio skaičiaus analitinę funkciją būtina įsivaizduoti tam tikrą (ir be to vienintelį) begalybėje nutolusį, tačiau konkretų tašką. Buvo būtina ištirti funkcijos elgesį greta to taško, kaip ir bet kurio kito aplinkoje. Paaiškėjo, kad funkcijos elgesys prie to taško visai toks pat, kaip ir prie taško, esančio baigtiniu atstumu. Iš čia Kantoras padarė svarbią išvadą, kad panašiais atvejais tikslinga „mąstyti ... apie begalybę, kaip esančią tam tikrame griežtai apibrėžtame taške“. Ją jis ėmė vadinti „sava begalybe“ (Eigentlich-Unendliches) arba „tikrąja begalybe“. Ją Kantoras („Asamblėjų*) teorijoje“) suprato kaip „tam tikrą uždarą savyje pastovų dydį, tačiau esantį anapus visų baigtinių dydžių“. Dar aiškiau suformuota „Mokyme apie transfinityvų“: „toks dydis, kuris, iš vienos pusės, nekinta, o yra apibrėžtas ir nekintantis visose savo dalyse ir yra tikruoju pastoviu dydžiu, o iš kitos – tuo pat metu savo dydžiu viršija bet kokį tokios pat rūšies baigtinį dydį“. Tikrosios begalybės pavyzdys – visų apskritimo taškų visuma, kuri yra „tam tikras daiktas savyje“ ir sudaro „tam tikrą nekintamą visose dalyse ir apibrėžtą kiekį..., kurį, akivaizdu, reikia laikyti didesniu nei bet kuri baigtinė aibė“.

Savo ruožtu, tikrosios begalybės srityje Kantoras skyrė dvi jos formas. Tai – transfinityvi ir absoliutinė. Transfinityvią reikia manyti kaip „begalinę, tačiau tuo pat metu galimą didinti“, o absoliučios didinti jau negalima ir todėl ji „matematiškai neapibrėžta“. Taigi, matematikoje tėra tik transfinityvi begalybė, - ir mažiausią virš-baigtinį skaičių Kantoras žymėjo omega (w).

Kantoras pastebėjo, kad begaliniai tikri sveiki skaičiai nepriklauso „potencinei begalybei“ jiems būdingas toks pat apibrėžtumo pobūdis, kokį turime nagrinėdami be galo nutolusį tašką (analitinių funkcijų teorijoje), tad jie priklauso „tikrajai begalybei“. Tuo tarpu be galo nutolęs kompleksinių skaičių plokštumos taškas nėra „vienas vienintelis begalinis sveikas skaičius, o begalinė seka panašių skaičių, stipriai besiskiriančių vienas nuo kito ir esančių apibrėžtuose skaitiniuose tarpusavio santykiuose bei santykiuose su baigtiniais sveikaisiais skaičiais“.

Tai atvedė Kantorą prie skaičių klasių įžvalgos. Pirmąją klasę sudaro baigtinių sveikųjų skaičių aibė (1, 2, 3, ..., N); antrąją – kai kurie begaliniai vienas paskui kitą tam tikra tvarka einantys skaičiai, ir t.t. Tai leido Kantorui suformuoti naują sąvoką - aibės galią (Machtigkeit). Aibės M iš atskirų elementų (m, m*,...) galia (arba kiekiniu skaičiumi) vadinama „bendroji arba rūšinė sąvoka [universale], gaunama, jei abstrahuojamasi nuo aibės elementų sudėties bei visų tų elementų tarpusavio santykių bei santykių su kitais dalykais, o iš dalies ir nuo tvarkos, kuriai gali paklusti tie elementai, imant tik tai, kad bendra visoms aibėms, kurios ekvivalentiškos aibei M“.

Dvi aibės turi tą pačią galią, jei „tarp jų galima nustatyti tarpusavyje vienareikšmišką elementų atitikimą“. Kiekvienai griežtai apibrėžtai aibei būdinga ir jos galia. Tačiau baigtinių ir begalinių aibių galios skirtingos prigimties. Baigtinių aibių galia sutampa su jų elementų kiekiu. Begalinių aibių atveju elementų kiekis prasmės neturi ir šiuo atveju aibė apibūdinama galia, visiškai nepriklausančia nuo jų tvarkos.

Tyrimai parodė, kad begalinių tikrų sveikų skaičių klasės yra griežtai apibrėžtos aibės su dėsningai didėjančiomis galiomis. Tarp baigtinių ir begalinių aibių aptiktas esminis skirtumas. Bet kokios elementų įmanomos sekos baigtinė aibė visad turi tą patį elementų kiekį. Tačiau begalinio elementų kiekio aibei būdingi skirtingi elementų kiekiai priklausomai nuo sekos, kuri priskiriama elementams. Tuo tarpu aibės galia nepriklauso nuo jokios konkrečios jos elementų sekos.

Fundamentalia sąvoka tapo „pilnai sutvarkyta aibė“, - bet kuri griežtai apibrėžta aibė, kurios elementai „tarpusavyje susieti taip tikros apibrėžtos, duotos į priekį, sekos“, kurioje a) egzistuoja pirmasis elementas ir po bet kurio elemento (jei tik tasai ne paskutinis) seka kitas kuris nors elementas; 2) aibei priklauso tam tikras apibrėžtas artimiausias elementas, einantis po visų elementų sekoje. Šios sąvokos dėka gaunami, pirma, visi veiksmai su sveikais skaičiais, o antra, tų skaičių dėsningumai. Kantoras pabrėžia, kad ir veiksmai, ir dėsningumai įžvelgiami intuityviai – „iš betarpiško vidinio apmąstymo su apodiktiniu patikimumu“.

Tokią sampratą Kantoras pasiekė po kelių apmąstymų metų. Pasisakymų prieš „tikrąją begalybę“, pradedant Aristoteliu ir vėlesniais scholastais, analizė įpiršo Kantorui mintį, kad visų jų pagrinde glūdi klaidinga prielaida apie vien tik baigtinių skaičių egzistavimą.

Kantoras nagrinėjo filosofų – Dekarto, Loko, Spinozos - išsakytus pasisakymus, kurie, kalbėdami apie „proto ribotumą“ patylomis laikėsi prielaidos, kad žmogus geba mąstyti tik baigtiniais skaičiais. Jiems Kantoras priešpastatė savo požiūrį su stipriu tikėjimu žmogaus proto galia, „jei pajėgs apibrėžti ir atskirti begalinius, t.y. virš-baigtinius skaičius“.

Tai Kantorui kėlė didžiausio pasitenkinimo jausmą „matant, kaip sveiko skaičiaus sąvoka, baigtinumo srityje teturinti po savimi tik kiekio sąvoka, tarsi skyla, kai pakylame į begalinio sritį, į dvi sąvokas - galios sąvoką, nepriklausomą nuo būdingos tam tikrai aibei tvarkos, ir kiekio sąvoką, būtinai susijusią su tam tikra dėsninga aibės tvarka, kurios dėka toji tampa pilnai sutvarkyta aibe. O kai iš begalybės srities leidžiuosi atgal į baigtinumo sritį, tai taip pat aiškiai ir puikiai matau, kaip abi sąvokos vėl tampa viena ir susijungia į baigtinio sveiko skaičiaus sąvoką“.

„Aiškus matymas“ – tai intuicija. Tačiau kokia? Ne jutiminė ir ne proto intuicija, apie kurią kalbėjo Dž. Bruno, Šelingas, Hėgelis. Formaliai mąstančio ir dialektiškai mąstančio „proto“ atskyrimas, toks būdingas neoplatonikams, Dž. Bruno, vokiečių romantikams bei Hėgeliui, visiškai svetimas Kantorui. Jis remiasi Parmenido „būties“, o ne Heraklito tapsmo intuicija. „Aiškus matymas“ – ne proto, o mąstymo intuicija (šio žodžio Kantoras beveik ir nenaudojo). Taip grįžtama prie 17 a. racionaliztų požiūrio apie intuityvios „regos“ organą. Ne romantikų ir Hėgelio „protas“, o „intelektas“, „mąstymas“, „regi“ tikrąją begalybę. Gal tuo ir paaiškinamas labai neigiamas Kantoro požiūris į I. Kanto mokymą. Juk būtent Kantas teigė, kad „mąstymas“ (Verstand) arba „intelektas“ visiškai neturi intuityvaus regėjimo gebos – tad Kante Kantoras įžvelgė tikrą nihilistinė skepticizmą.

O koks tikrosios begalybės santykis su tikrove? Kantoras atsako labai įdomiai. Jis siūlo skirti dvi matematinių sąvokų tikroviškumo rūšis. Joms, visų pirma, būdinga „imanentinis“ (intra-subjektyvus) realumas, esanti mūsų mąstymo laisvame jų sukūrime. Tai laisvė, kuri išskirtinis matematikos kaip mokslo bruožas. Ta prasme „sveikus skaičius galim laikyti realiais tiek, kiek jie mūsų mąstymo apibrėžimuose užima gana apibrėžtą vietą, I>gana aiškiai išsiskiria iš kitų sudėtinių mūsų mąstymo dalių ir yra su jomis atitinkamuose santykiuose“. Šiuos savo apmąstymus Kantoras vadino „idealistiniais“.

Tačiau skaičiams „galima priskirti realybę taip pat tiek, kiek juos reikia nagrinėti kaip išorinio pasaulio procesų ir santykių atvaizdavimus ir išraiškas, o toliau kiek skirtingos skaičių klasės ... yra galių, turinčių realią vietą kūniškoje ar dvasinėje prigimtyje, pasireiškimas“. Šiuos samprotavimus Kantoras apibūdina kaip „gana realistinius“, o pačią šio tipo tikrovę vadina „tranzityvia sveikų skaičių tikrove“.

Anot Kantoro, matematika yra visiškai laisva ir sąlygojama tik vienos sąlygos: jos sąvokos neturi būti viduje prieštaringos ir turi būti nekintamuose iš anksto nustatytuose santykiuose. Tad matematika „turi skaitytis vien tik su imanentine savo sąvokų tikrove ir todėl visai nepridalo dar tikrinti jų tranzityvią tikrovę“.

Bet tai visai nereiškia matematiškai mąstančio proto spontaniškumo ar savivalės. Imanentinė ir tranzityvioji tikrovės „visada sutampa ta prasme, kad kokia nors sąvoka, priimama kaip egzistuojanti pirmuoju santykiu, turi žinomais, o ir be galo gausiais santykiais, ir tranzityvią tikrovę“ Tuo pabrėžiamas sutarimas su Spinoza („idėjų tvarka ir ryšys toks pat, kaip daiktų tvarka ir ryšys“) bei su Platonu („kas pažinu, egzistuoja; kas nepažinu, to nėra; ir tuo laipsniu, kokiu kas nors yra, tai ir pažinu“).

Toks požiūris nulėmė gana stiprų neigiamą požiūrį į Helmholco „ženklų teoriją“ bei artimą jai Kronekero psichologizmą. Kantoras pats nurodė nesutarimo tašką – ženklų teorijos subjektyvizmas: „Klaidinga manyti, kad jų ir mano požiūrių skirtumas susiveda į skirtumą tarp nominalizmo ir konceptualizmo, iš vienos pusės, bei mano ginamo saikingo aristoteliško realizmo, iš kitos. Atvirkščiai, gana pamokama įsitikinti, kad abiems tiems mąstytojams skaičiai visų pirma yra tik ženklai, o ne žymenys, tarkim, sąvokoms, priskiriamoms aibėms, o ženklai daiktams, suskaičiuojamiems subjektyviame skaičiavimo procese. Savaime suprantama, kad, mano požiūriu, abiejų tų darbų minčių eiga yra visiška hysteron proteron**)”.

Taigi, Kantoras priklauso, kaip ir pats nurodė, objektyvistiniam idealizmui. Jam aibių sąvokos tebėra „eidosai“, „universalijos“. Ir tuo metu paplitusią „begalybės baimę“ (horror infiniti) jis aiškina „šiuolaikinės epikūrietiškai materialistinės laikmečio dvasios įtaka“.

Kantoras pasakė tai, ką pasakė. Jis nesigilino į tų apibrėžimų, iš kurių kildino savo sąvokas apie begalybę, genezę. Skirtingai nuo 17 a. racionalistų jis atsisakė filosofiškai paaiškinti intuiciją. Kaip matematikas jis laikė save laisvu nuo tokio įsipareigojimo – kas, beje, ir lemia specifinių matematinių teorijų sėkmę: „Jei Gausas, Koši, Abelis, Jakobi, Dirichlė, Vejerštrasas, Ermitas ir Rymanas būtų įpareigoti savo naujas idėjas patikėti metafizinei kontrolei, tai mes, tikrai, negalėtume gėrėtis grandiozine šiuolaikine funkcijų teorija... Nematytume nuostabaus diferencialinių lygčių sužydėjimo Fukso, Puankarė ir daugelio kitų rankose...“. Ir vis tik matematinės kūrybos „laisvė“ turi apribojimus: „Jei matematika turi visišką teisę vystytis visai nepriklausomai nuo bet kokių metafizinių įtakų, tai, iš kitos pusės, negaliu šios teisės ... suteikti, pavyzdžiui, analitinei mechanikai ir teorinei fizikai. Mano manymu, šie mokslai, kaip savo pagrindais, taip siekiamais tikslais, metafiziniai“. Tai reiškia, kad tuose moksluose nepašalinti santykiai tarp sąvokų ir objektyvios tikrovės.

Kantoro idėjos padarė milžinišką poveikį matematikos vystymuisi. Daugelis matematikų ėmėsi perkurti matematikos skyrius remdamiesi aibių teorija. Ji paveikė ir matematinės analizės pertvarkymą, kurio sąlyga buvo ribų teorijos sukūrimas. Tačiau ribų teorija pati remiasi griežtu iracionalaus skaičiaus apibrėžimu, kurį aibių teorijos pagrindu išvystė Dedekindas, Vejerštrasas ir Kantoras.

Tačiau aibių teorija ne tik tapo daugelio naujų svarbių matematikos sričių pagrindu. Jos sąvokos ir metodai veikė daugelio tiksliųjų mokslų vystymąsi. Anot P. Aleksandrovo, kiekvienoje matematikos srityje vis labiau plinta tyrimo objekto kaip „tam tikrų objektų aibės, tenkinančios tam tikrai santykių sistemai“ apibrėžimas. Kantoro darbuose sutinkami ir ne taip žymiai išvystytos, tačiau davę postūmį kitų krypčių matematikos idėjos. Ypač paminėtos 4-ios: 1) A. Puankarė vėliau išvystyta mintis, kad matematinių objektų egzistavimu galima suprasti tik prieštaravimų dėl jų nebuvimą; 2) intuicionizmo pasigautas požiūris dėl matematinės kūrybos „laisvės“; 3) Toji „laisvė“ ribojama galimybe vaisingai interpretuoti ir taikyti matematikos „laisvai“ sukurtus naujus principus ir sąvokas – tą mintį ypač išplėtojo N. Luzinas; 4) pripažindamas, kad matematikos dėsniai ir sąvokos suprantamos intuityviai, tą „intuityvumą“ Kantoras suvedė iki tikslių apibrėžimų, pradiniu pavidalu neturinčių neaiškumų ir prieštaringumų – tai vėliau plėtojo matematinis intuityvizmas.

Viduramžiais matematika visiškai neišnyko, tačiau ja užsiiminėjo filosofai-scholastai. Juos Platono ir Aristotelio studijavimas kartu su apmąstymais apie Dievo prigimtį atvedė prie subtilių samprotavimų apie judėjimo, kontinuumo ir begalybės esmes. Pvz., Origenas, sekdamas Aristoteliu, neigė realios begalybės egzistavimą, tačiau šv. Augustinas savo „Dievo valstybėje“ (12 kn. 18 sk. „Prieš sakančius begaliniai dalykai aukščiau dievo pažinimo“) visą sveikų skaičių seką traktavo kaip realią begalybę. Anot Kantoro (1886 m. laiške Eulenbergui), jis kalbėjo apie ją taip, kad nebuvo galima dar energingiau siekti transfinityvaus ir jį geriau pagrįsti. Viduramžių mąstytojai-scholastai, tarp jų ir Tomas Akvinietis, priėmė Aristotelio „nėra tikro begaliniškumo“ (infinitum actu non datur) irkiekvieną kontinuumą laikė potencialiai be galo daliu. Taip nebuvo mažiausios ilgio, nes bet kuri atkarpos dalis tebeturėjo atkarpos savybes. Tad taškas nebuvo linijos dalimi, nes taškas nedalomas: „iš nedalomų negalima sudaryti jokio kontinuumo“. Taškas galėjo sudaryti liniją judėdamas. Tokie samprotavimai padarė įtaką 17-o amžiaus be galo mažų dydžių skaičiavimo sukūrėjams bei 19 a. filosofams, užsiėmusiais transfinityvaus apmąstymais. Apie filosofus scholastus žinojo Kavaljeri, Takė, Bolcano ir Kantoras, kurie apmąstė anų idėjų reikšmingumą.

Viduramžių mokslininkai aptarė trūkaus ir netrūkaus, baigtinio ir begalinio sąvokas daugiausia sąryšyje su filosofinėmis ir fizikinėmis (judėjimo proceso analizė) problemomis. Tačiau fizika dar nebuvo tapusi eksperimentiniu mokslu, matematika dar neturėjo pakankamai patogios algebrinių žymenų kalbos, tad logiškai analizuodami tolydumo ir begaliniškumo sąvokas 14 a. scholastai operavo, iš esmės, ta pačia kaip Antikos laikų medžiaga ir susidurdavo su tokiomis pat problemomis. Todėl dėmesys joms sumažėjo. Naujas susidomėjimas jomis 17-e a. susijęs su naujais fizikos ir mechanikos pasiekimais. Galilėjus niekur nepamini savo scholastinių pirmtakų. Kavaljeri praktiškai jais nesiremia. Ir bendrai imant „begalybės paradoksų“ (kaip ir kitų „paradoksų“) įveikimas kaskart vyko iškilus naujoms problemoms ir formuluojant bei įvedant naujas sąvokas. Tuo tarpu žvilgsnis į praeitį leido įvertinti postūmio mąstą, o kartais ir pasinaudoti pirmtakų autoritetu.

Leopoldas Kronekeras, pasiturintis žmogus, apsigyveno Berlyne 1855 m. ir daug metų dėstė Berlyno universitete, formaliai neužimdamas profesoriaus katedros, kurią priėmė tik 1883 m. mirus Kumerui. Jo pagrindiniai pasiekimai buvo elipsinių funkcijų, idealų ir kvadratinių formų aritmetikos srityse. Jo paskelbtose skaičių teorijos paskaitose jaučiama būtinybė matematikos aritmetizacijai, o to pagrindu buvo griežtumo siekis. Kronekeras laikė, kad matematikos pagrindu privalo būti skaičius, o visų skaičių pagrindų – natūrinis skaičius. Pvz., p reikia apibrėžti ne geometriškai, o Leibnico eilute p/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + ...(t.y. sveikų skaičių kombinacija) ar kai kuriomis grandininėmis trupmenomis. Tokį aritmetizacijos siekį puikiai perteikia jo 1886 m. suvažiavime Berlyne ištartas pareiškimas: ”Dievas sukūrė sveikuosius skaičius, o visa kita – žmogaus rankų darbas”.

Kronekaras pripažino tik tokių matematinių sąvokų apibrėžimus, kuriems pakako baigtinio žingsnių kiekio. Taip jis įveikdavo tikros begalybės, kurią atsisakė pripažinti, sunkumus. Tuo jo mokymas stipriai prieštaravo Dedekindo ir Kantoro mokymams. R. Dadekindas, 31 m. buvęs Braunšveigės aukštesniojoje technikos mokykloje, sukūrė griežtą iracionalaus skaičiaus teoriją. Dviejose nedidelėse knygutėse jis išdėstė tai, ką Eudoksas davė graikų mokyklai. Ir net yra daug panašumų su Dadekindo pjūvio apibrėžiant iracionalų skaičių su Eudokso teorija (išdėstyta 5-je Euklido „Pradmenų“ knygoje).

Vis tik didžiausiu eretiku Kronekero akyse buvo G. Kantoras, kuris 1869-1905 m. dėstė Halėje. Jis garsus ne tik iracionalaus skaičiaus teorija, bet ir aibių teorija. Publikuotis Kantoras pradėjo 1870-ais, o 1883 m. jis išleido „Bendrojo mokymo apie daugdaras pragrindus“. Savo darbuose jis išvystė transfinityvių kardinalinių skaičių teoriją, pagrįstą sistemingu tikrosios begalybės panaudojimu. Mažiausią kardinalinį skaičių Aleph-0 jis priskyrė suskaičiuojamai aibei, o kontinuumui – aukštesnį. Tai jam leido sukurti transfinityvių skaičių aritmetiką, panašią į įprastinę aritmetiką. Kantoras pateikė ir laipsninių transfinityvių skaičių, parodančių, kaip sutvarkytos begalinės aibės, apibrėžimą.

Tai buvo scholastinių spekuliacijų apie begaliniškumo prigimtį tąsa, ką Kantoras gerai suvokė. Ir jam teko gintis nuo matematikų, besipriešinančių priimti begalybę kitaip, nei procesą, perteiktą ženklu ¥. Ir didžiausiu oponentu buvo L. Kronekeras. Visiškas pripažinimas atėjo tada, kai tapo akivaizdi svarba realaus skaičiaus funkcijoms bei topologijai – ypač po to, kai Lebegas 1901-ais praturtino aibių teoriją savuoju aibės matu. Tačiau išaiškėjo ir paradoksai, pvz., Burali-Forti bei Raselo. Tai sukėlė skirtingų mokyklų matematikos pagrindų srityje susikūrimą. Ginčo tarp Kantoro ir Kronekero tęsiniu buvo 20 a. formalistų ir intuicionistų nesutarimai.

Beje, tarp D. Hilberto 1900 m. iškeltų problemų buvo klausimas, ar tarp suskaičiuojamos aibės ir kontinuumo galių yra tarpinis kardinalinis skaičius [1963 m. įrodyta, kad ši problema negali būti nei įrodyta, nei paneigta naudojant Zermelo–Fraenkel aibių teorijos aksiomas; ir nėra sutarimo, ar ši problema išspręsta ar ne]. Ir ar kontinuumą galima laikyti pilnai sutvarkyta aibe?

Pastabos:

*) Pasenęs terminas; dabar vadinama „aibių teorija“.

**) hysteron proteron - graikiškas pavadinimas loginei klaidai įrodyme tame, kad kuris nors teiginys įrodinėjamas remiantis prielaida, kuri gali būti pagrįsta tik įrodinėjamu teiginiu.

Puankarė teiginys
Zenono paradoksai
Begalybė (pristatymas)
Jų begalinė išmintis
Aritmetikos pagrindai
Iniciatyva: Matematikos keliu
Matematikos pradžia Lietuvoje
Matematikai: Davidas Hilbertas
Laplasas: asmenybė ir veikla
Matematikos šlovė ir garbė
A. Whitehead. Skaičiavimų prigimtis
Faneroskopija prieš fenomenologiją
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Mokslo riboženkliai: 1867-ieji – kartų kaita
Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
Dviejų filosofinės logikos paradigmų kova
Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
Džordžas Birkhofas - matematikas ir meno matuotojas
Netiesinis mąstymas: išspręsti neišsprendžiamą
Šiuolaikinė fizika – į tiesą panašus mitas?
Platonas buvo teisus dėl įgimtų idėjų
P. Florenskis ir Maskvos matematikai
Neapibrėžtumas, tikimybė ir prognozė
Visatos topologija: pradžiamokslis
3-iojo tūkstantmečio mokslas
Harmoninės eilutės
Dalyba iš nulio
Erdvės formos
Vartiklis