Skaičiai – apžvalga/ pradmenys

„Dievas sukūrė skaičius, o visi kita žmogaus darbas“  
Vokiečių matematikas Leopold Kronecker (1823–1891)  

Papildomai skaitykite „Skaičiaus“ koncepcija  

Eggs in birds nest Paukščiai teturi tik po tris pirštus ant kojų, tad jiems turėtų būti sunku suskaičiuoti daugiau nei tris daiktus, tarkim, jie sunkiai turėtų skirti 4 ir 5 kiaušinius lizde, tačiau jame palikus tik 2 ar 3, jie pastebėtų tai. Paukščiai skaičiuotų taip: 1, 2, 3, daug...

Žmonės ant abiejų rankų turi 10 pirštų – netgi sako, kad iš tai ir gimė dešimtainė skaičiavimo sistema. Tačiau viena ranka teturi 5 pirštus, o tai leidžia turėti ir penkiatainę skaičiavimo sistemą, pvz., 13-a būtų 2 rankos ir 3 pirštai, t.y. 1310=235

Taigi, kai jau turime ir ant pirštų suskaičiuojamus (natūralius) skaičius, jiems galime taikyti aritmetinius veiksmus – sudėtį, atimtį, daugybą ir dalybą. Šių veiksmų pagalba galime sukurti naujus skaičius. Tiesa, dar turėjo gimti geniali nulio (kaip skaičiaus) idėja (ir čia tai jau tikrai be Dievo pagalbos nebuvo apsieita... )

Taip, atėmus iš mažesnio skaičiaus didesnį skaičių – gauname neigiamus skaičius (kurie, vis tik, dar yra sveikieji skaičiai).

Dalinant sveikus skaičius, gauname racionalius skaičius, kitaip tariant trupmenas. O dalyba iš nulio – duoda mums begalybės sampratą.

O p gaunamas apskritimo ilgį dalijant iš skersmens – ir taip gaunam iracionalius skaičius, kuriuos taip pat galima gauti ir traukiant kvadratinę šaknį iš kai kurių sveikųjų skaičių (kada jie atsirado?). Sveikieji, racionalūs ir iracionalūs skaičiai visi kartu sudaro realiuosius skaičius.

Ir jei dabar pabandysime ištraukti kvadratinę šaknį iš neigiamų skaičių, gausime menamus skaičius (kompleksinius).

Realieji skaičiai išsidėstę vienoje skaičių tiesėje. Kvadratinės šaknys iš neigiamų realiųjų skaičių išsidėstę menamoje skaičių tiesėje. Realiųjų ir menamųjų skaičių sudėtis sukuria skaičius, išsidėsčiusius kompleksinių skaičių plokštumoje.

Ir kai sudauginame du teigiamus menamus skaičius gauname neigiame realųjį skaičių. Ir tai yra toji priežastis, kuri erdvėlaikyje neleidžia judėti didesniu už šviesą greičiu. Štai ką padarė žmogus, iš Dievo gavęs skaičius (pirštus ir nulį).

BM 15285 su Pitagoro teorema

Iracionalumo sąvokos ištakos

Susipažinkite: Matematika Babilone

sqrt(2) iracionalumo nustatymas priskiriamas senovės graikams, pitagoriečiams (apie 570-495 m. pr.m.e.). Tačiau indai 150-200 m. anksčiau galėjo būti nustatę kvadratinių šaknų iš 2 ir 21 iracionalumą.
2016 m. kovą B. M. Altschuler ir E.L. Altschuler paskelbė tyrinėjimą, kad senovės šumerų ir akadų žyniai turėjo metodus, ledžiančius spėti sqrt(2) iracionalumą (aišku, tais laikais tokios sąvokos nebuvo, ir svetainės, teigiančios, kad jie tai įrodė, skelbia nonsensą).

Jiedu išnagrinėjo YBC 7289 ir BM 15285 molines lenteles, pateikiančias apytikslį sqrt(2) skaičiavimą: pirmoji leidžia paskaičiuoti reikšmę iki 6-o ženklo po kablelio (skaičiuojant kvadrato įstrižainę), o antroji turi savyje geometrinį reikšmės iracionalumo įrodymą bei geometrinį Pitagoro teoremos įrodymą.

Graikų sqrt(2) iracionalumo įrodymas buvo algebrinis ir rėmėsi prieštara: tarus, kad sqrt(2) yra racionalus skaičius p/q, kur p ir q yra tokie, kad trupmena nesusiprastina. Paprastais veiksmais parodoma, kad p ir q yra lyginiai, o tai prieštarauja mūsų prielaidai. Po šimtmečio Teodoras iš Kirenės (5 a. pr.m.e.) jau mokėjo įrodyti kvadratinės šaknies iš 3, 5 ir kitų skaičių iki 17 iracionalumą.

Nustatom Visatos struktūrą

Amerikiečių fizikas F. Benfordas sakė: „Skaičiai tėra tik blyškūs realiai egzistuojančių daiktų simboliai“.  

Minkowsky metrics

Einšteino erdvėlaikyje atstumas matuojamas realiaisiais skaičiais, o laikas – menamais skaičiais. Taigi specialiosios reliatyvumo teorijos erdvėlaikis yra Minkovskio erdvė. Stebėtojas erdvėlaikyje brėžia „pasaulio liniją“ praeities ir ateities įvykių kūgiuose. Srityse už tų kūgių vykstantys įvykiai mums pasiekiami tik didesniais už šviesą greičiais.

Šių kūgių pjūvių plokštumomis kreivės yra hiperbolės, tad matematika erdvėlaikyje yra hiperbolinė, o ne įprastinė trigonometrinė (apskritiminė).

Kiek apvaliau – skaičių apvalinimas

Pixels Visi žino apie skaičių apvalinimą. Jei batų kaina parduotuvėje nurodyta 99.99 Lt, jūs žinote, kad iš tikro už juos mokate 100 lt.

O kvantinėje mechanikoje galimos tik tam tikros reikšmės. Tai kažkiek primena kiaušinių pirkimą. Paprastai perkame po 10 arba 5 kiaušinius, tačiau niekada neperkam pusės kiaušinio.

Taip ir kompiuteriai saugo informaciją kaip bitų (dvejetainių skaičių, 0 ir 1) sekas. Atvaizduodami vaizdus monitoriuje, jie perteikiami taškais (pikseliais). Nebus pavaizduota tai, kas yra tarp dviejų pikselių. Kompiuteris turi tai suapvalinti iki kurio nors pikselio. O tada kartais dėl apvalinimo paklaidos mažyčiai apskritimai tampa labiau panašūs į mažus kvadračiukus.

Ir kadangi mes gyvename kvantiniame pasaulyje, jame irgi neišvengiamos apvalinimo paklaidos. Kvantiniame tunelyje šios paklaidos gali sumuotis – ir tada objektai gali judėti didesniu už šviesą greičiu. Panašūs dalykai pastebimi spartesniuose už šviesą peršokimuose, kurie leidžia medžiagai palikti juodąsias skyles, arba elektronams pereinant į dielektrinę terpę.

Skaičių grupavimas – vektoriai, matricos ir tenzoriai

Vektorius yra atstumas su kryptimi. Matrica yra vektorių rinkinys. Tenzorius yra vektorius su sukinio reikšme.

Atradę kompleksinius skaičius, galime įvesti skaičių rinkinius, suprantamus kaip atskiras reikšmes. Taip galime įsivaizduoti koordinates, aibes arba skaičių tinklelius – kaip atskirus skaičius. Pvz., padėtį erdvėje galime nurodyti kaip (3, -7, 2), kad gali reikšti: paeiti į šiaurę 3 m, tada į vakarus 7 m ir pakilti į viršų 2 m.

Taip pat (3, -7, 2) gali atvaizduoti traukimo jėgą. Jus virve 3 žmonės tempia į šiaurę, 7 - kita virve tempia į vakarus, 2 - trečia virve tempia aukštyn. Tai gali būti jėgos vektoriaus pavyzdys. Papildykime jį papildomais skaičiais apibūdinančiais vektoriaus sukinį – ir turėsime jėgos tenzorių - o tai būtų matrica iš dviejų vektorių (dviejų eilučių arba stulpelių).

Dar nelabai aišku? Pateikiame paaiškinimą „ant pirštų“...

Tenzoriaus samprata    

Pabandysime paaiškinti tenzoriaus savoką, nesileisdami į dideles matematines vingrybes ir nesilaikydami matematinio griežtumo.

Pradžioje – apie termino tenzorius reikšmę ir teorijos kilmę. Jis kilęs iš anglų kalbos žodžio „tension“ (tempimas) ir pirmąkart V. Hamiltono panaudotas 1846 m., tačiau jis reiškė visai kitką, nei dabartinėje matematikoje ir matematinėje fizikoje. Dabartine prasme terminą įvedė V. Voigtas, o tenzorinį skaičiavimą maždaug 1890 m. įvedė G. Riči. 20 a. jis išpopuliarėjo po panaudojimo Einšteino bendrojoje reliatyvumo teorijoje po 1915 m.

Terminas kilo apmąstant tokį uždavinį. Tarkim, kad trimatėje erdvėje turime neapibrėžtos formos kietą kūną, kurį skirtinguose jo taškuose veikia įvairios jėgos. Kaip aprašyti kylančius tempimus kokiame nors to kūno pjūvyje?
Atsakymas – tempimas aprašomas tenzoriniu lauku.
Bet pradžioje peržiūrėkime paprastesnius atvejus.

Paimkime vienalytį kubą ir pakaitinkime jį iš kurios nors vienos pusės. Tada pasirinktu laiko momentu pabandykime aprašyti temperatūrą kiekviename kubo taške. Temperatūra yra skaliarinis skaičius, mes turime tik vieną reikšmę.
Įsiveskime bet kokią koordinačių sistemą. Joje temperatūra bus aprašyta kaip skaliarinė funkcija su parametrais (x,y,z).
Tada paimkime kitą koordinačių sistemą ir pažiūrėkime, kas pasikeitė. Ogi – nieko. Temperatūra kiekviename taške liko tokia pati! Taigi – gavome matematinį objektą, skaliarą, kuris nesikeičia pakeitus koordinačių sistemą. Pavadinkime jį nulinio laipsnio tenzoriumi. Saulės magnetinis laukas

Pakaitinus mūsų kūną, jame molekulės ėmė kažkaip judėti. Vėl paimkime kokį nors laiko momentą ir pabandykime aprašyti molekulių judėjimą kiekviename kubo taške.
Greitis – tai vektorius (molekulė juda tam tikru geičiu tam tikra kryptimi), tad molekulių greičiai bus aprašyti kaip vektorinės funkcijos su parametrais (x,y,z).<
Vėl paimkime kitą koordinačių sistemą. Vektorinis greičių laukas kube nepasikeitė – mes tiesiog paėmėme kitą liniuotę (t.y. koordinačių sistemą) greičių matavimui. Žinodami ankstesnę ir naują koordinačių sistemas, galime išvesti vektoriaus reikšmių pasikeitimo funkciją.
Taigi – gavome matematinį objektą, vektorių, kuris vėlgi nesikeičia keičiant koordinačių sistemą. Tai pirmojo laipsnio tenzoriumi.

Galim panašiai eiti ir toliau. Viską darykime taip pat, tik tegu mūsų kubas nėra vienalytis, jame viduje yra įvairių priemaišų, ertmių, tad kaitinant kubą, molekulių greičiai skirtingose vietose ima skirtis. Kaip aprašyti tokią nevienalytę terpę?
Vėl fiksuokime tam tikrą laiko momentą ir paimkime vieną molekulę su jos greičio vektoriumi. Paklauskime, kaip šis vektorius pasikeis kitu laiko momentu? Tai labai panašu į tai, kad kiekviename kubo taške yra kažkas, kas moka pasukti vektorių ir pakeisti jo ilgį. O taip – tai juk matrica, tačiau speciali, tokia, kuri nesunaikina vektoriaus, o tik jį transformuoja.
Kas nutiks mūsų matricai, jei pakeisime koordinačių sistemą? Kubo vidinė sandara liko tokia pat, tad matrica turi sukioti vektorius lygiai taip pat. Na taip, matricos reikšmės pasikeitę, tačiau jos poveikis vektoriui liko toks pat.
Tad vėl, gavome matematinį objektą, specialaus pavidalo matricą, kurios poveikis vektoriui nesikeičia keičiant koordinačių sistemą. Tai antrojo laipsnio tenzorius.

Taigi, kas yra tas tenzorius? Tai matematinis objektas, pats savaime nepriklausantis nuo koordinačių sistemos kaitaliojimo, tačiau jo komponentės kinta pagal nustatytą matematinį dėsnį. Trimatėje erdvėje antro laipsnio tenzorių galima įsivaizduoti kaip matricą kiekviename erdvės taške, aprašančią tos erdvės nevienalytiškumą ir veikiančią įeinantį į tašką vektorių, keičiant jo kryptį ir ilgį. Analogiškai, galima tęsti toliau, įvedant 3, 4, 5, … laipsnių tenzorius.

Taigi, tikiuosi, intuityviai supratote, kas yra tenzorius, teliko išaiškinti naudojamą matematinę notaciją (žymenis), bei aprašyti veiksmus su tenzoriais. Bet tai planuojam atskirame puslapyje...


Susiję terminai

1. Pseudo-euklidinė metrika Minkovskio erdvėje, apibrėžiama
Minkowsky metrics
vadinama Minkovskio arba Lorenco metrika. Lorenco metrikos tenzorius paprastai žymimas nij; jis perduoda keturmatę signatūros formą (1, -1, -1, -1).

2. Visų vektorių su nuliniu intervalo kvadratu aibė suformuoja kūgio paviršių ir vadinama šviesos kūgiu.

3. Vektorius, esantis šviesos kūgio viduje, vadinamas panašiu į laiką vektoriumi; jo išorėje - panašiu į erdvę.

4. Įvykis duotuoju laiko momentu duotame taške vadinamas pasaulio tašku.

5. Pasaulio taškų aibė, aprašantys (materialios) dalelės judėjimą laike, vadinama pasaulio linija.

6. Inercinis stebėtojas - tas, kuris randasi ar juda tiesiai ir tolygiai (nesisukant jo koordinačių sistemai) inercinės atskaitos sistemos atžvilgiu. Lorenco (Galilėjaus) koordinatėse tokio stebėtojo pasaulio linija (ir visų taškų, nejudančių jo atskaitos sistemoje) atrodo labai paprastai:
World line formula
kur a - parametras, o i kinta nuo 1 iki 4.

7. Intervalas tarp dviejų įvykių, per kuriuos pereina stebėtojo pasaulio linija, padalintas iš c, vadinamas jo savu laiku, nes tas dydis sutampa su laiku, matuojamu kartu su stebėtoju judančiu laikrodžiu. Neinerciniam stebėtojui savas laikas tarp dviejų įvykių atitinka intervalo pasaulio linija integralui.

Minkovskio erdvė

Minkovskio erdvė - 4-matė pseudo-euklidinė erdvė, pasiūlyta kaip erdvėlaikio specialiojoje reliatyvumo teorijoje geometrinė interpretacija. Ji pavadinta matematiko Hermano Minkovskio vardu.

Atstumas tarp dviejų įvykių Minkovskio erdvėje yra:

Kiekvieną įvykį atitinka Minkovskio erdvės taškas Lorenco (arba Galilėjaus) koordinatėse, kurio trys koordinatės yra trimatės euklidinės erdvės Dekarto koordinatės, o ketvirtoji perteikia ct koordinatę (c - šviesos greitis; t - įvykio laikas). Todėl, kai simetrinė grupė euklidinėje erdvėje yra euklidinė grupė, simetrinė grupė Minkovskio erdvėje yra Puankarė grupė.

1906 m. A. Puankarė pastebėjo, kad paėmus laiką kaip menamą ketvirtojo erdvėlaikio koordinatės matavimo dalį ( SQRT(-1) ct), Lorenco transformaciją galima suprasti kaip koordinačių pasisukimą 4-matėje euklidinėje erdvėje su trimis realiosiomis erdvės koordinatėmis ir viena menama laiko koordinate. Kadangi tada erdvė tampa pseudo-euklidine, pasukimas yra hiperbolinio pasukimo atvejis. Tačiau tos išvados A. Puankarė nepadarė, nes jo tikslu tebuvo Lorenco transformacijos paaiškinimas per įprastinio euklidinio pasukimo terminais. Tą idėją 1908 m. išvystė Hermanas Minkovskis, panaudojęs ją Maksvelo lygčių performulavimui 4-iems matavimams, parodydamas jų invariantiškumą Lorenco transformacijos atveju. Vėliau jis performulavo Einšteino specialiąją reliatyvumo teoriją. Iš to jis padarė išvadą, kad erdvė ir laikas turi būti traktuojami vienodai, ir iš to kilo jo įvykių unifikuotame 4-mačiame erdvėlaikio kontinuume koncepcija.

Pirminiai skaičiai
Dalyba iš nulio
Kvadratinė lygtis
Aritmetikos pagrindai
Kokiu greičiu skriejame?
Kas tie romėniški skaitmenys?
Pagrindinės statistinės sąvokos
Iniciatyva: Matematikos keliu
Proveržis skaičiuojant skaidinius
Ar įrodytas abc teiginys?
Didžiausias bendras daliklis
Parabolės lenktas likimas
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Kita skaičiavimo metodų istorijos pusė
Pagrindinės algebrinės struktūros
Aukso gysla Ramanadžano lygtims
Omaras Chajamas: ne vien Rubijatai
Skaičiai B ir jų kvantinės sistemos
Truputis apie skaičių psichologiją
Šiuolaikiniai iškilūs matematikai
Graikų matematikai - filosofai
Geriausios alternatyvos parinkimas
Matematikos atgimimas Lietuvoje
Nepaprasti Visatos skaičiai
Didžioji Ferma teorema
Laplasas. Dėl tikimybių
Matematiniai anekdotai
Pitagoro teorema
Nulio istorija
Pirminiai dvyniai
Černo medalis
Vartiklis