Nepaprasti Visatos skaičiai: 5, 8, 24

„Scientific American“ 2011 m. gegužės mėn. numeryje paskelbtas John Baez1) ir John Huerta2) straipsnis „Keisčiausi skaičiai stygų teorijoje“.

Oktonionai, 8-matė skaičių sistema, atrasta 19 a. viduryje, tačiau ilgą laiką ignoruota. Susidomėjimas ja kilo dėl nepaprastai glaudaus sąryšio su paskutiniaisiais tyrimais teorinės fizikos srityje, apimančiais supersimetriją, stygų teoriją ir M-teoriją. J. Baez rašo: „Jei stygų teorija teisinga, oktonionai nėra vien bereikšmio smalsumo objektas; priešingai, jie pateikia gilumines priežastis, kodėl Visata turi būti 10-ies matavimų: juose materijos ir jėgų dalelės yra išreiškiamos tokio pat tipo skaičiais – oktonionais“.

Tačiau oktonionų 8-i matavimai nėra vienintelis įdomus dalykas apie skaičių 8. J. Baez jį pateikia greta kitų dviejų skaičių: 5 ir 24. 2008-ais J. Baez eilėje paskaitų aiškino, kodėl 5,8 ir 24 yra tokie nepaprasti, unikalūs ir mistiniai.
Iš jų sužinome ir daugiau – apie sferos užpildymą objektais, aukso vidurį, islamo čerpes ir kodėl visų skaičių suma yra lygi –1/12.

Realiųjų skaičių aibė sudaro tiesę, todėl realiuosius skaičius ir laikome 1-mačiais. Teiginį galime apversti aukštyn kojomis: tiesė yra 1-matė, nes bet kurio jos taško nurodymui pakanka vieno realiojo skaičiaus. Kompleksiniai skaičiai išreiškiami a+bi pavidalu, kur i2 = -1, o a ir b yra įprastiniai realieji skaičiai – ir jie nusako taškus plokštumoje, o aritmetiniai veiksmai su jais (sudėtis, atimtis, daugyba, dalyba) perteikia geometrines manipuliacijas plokštumoje. Su kompleksiniais skaičiais galima daryti beveik viską, ką galime su realiaisiais skaičiais.

1843 m. spalio 16 d. Viljamas Rovanas Hamiltonas ėjo su žmona palei Karališkąjį kanalą į Dublino Karališkąją Airijos akademiją. Beeinant jam netikėtai atėjo mintis apie kvaternionus: a+bi+cj+dk, kur i2 = j2 = k2 = -1. Kvaternionai leido efektyviai perteikti 3-mačius sukinius. Hamiltono draugas koledže John Graves 1843 m. gruodžio 26 d. įvedė naują 8-matę skaičių sistemą, kurią pavadino oktavomis (ir kurią dabar vadiname oktonionais). 1845 m. jaunasis genijus Arthur Cayley pakartotinai „atrado“ oktonionus, todėl neretai jie vadinami Keili skaičiais. Space deformation

Skaičių, apibendrintų kaip kortežai, dalyba nėra paprastas dalykas. Skaičių sistema, kuri leidžia dalybą, vadinama daliąja algebra. Tik 1958-ais Michel Kervaire ir John Milnor, nepriklausomai vienas nuo kito, naudodami algebrinės topologijos metodus, įrodė faktą, apie kurį buvo tariama ištisus dešimtmečius, bet kuri dalioji algebra gali būti tik 1, 2, 4 ir 8-ių matavimų.

Hamiltonui oktonionai nepatiko, nes jie laužė kai kuriuos išpuoselėtus aritmetikos dėsnius. Realieji ir kompleksiniai skaičiai yra komutatyvūs (pvz., x+y=y+x), o kvaternionai jau ne komutatyvūs. Oktonionai buvo dar keistesni – jie netenkino ir asociatyvumo (t.y., jiems nebuvo teisinga, kad (xy)z=x(yz). Tai kam jie galėjo tikti? Jie artimai susiję su 7 ir 8 matavimų geometrija ir tuose matavimuose galima apibrėžti sukinius panaudojant oktonionų daugybą.

20 a. 8-9 dešimtm. teorinėje fizikoje buvo išvystyta įdomi supersimetrijos idėja, t.y. simetrijos tarp materijos ir gamtos jėgų. Kiekviena elementarioji dalelė (pvz., elektronas) turi atitinkamą dalelę, perteikiančią jėgą, ir atvirkščiai. Supersimetrija taipogi išreiškia ir idėją, kad fizikos dėsniai privalo likti nepakitę, net jei pašalintume visas energijos ir jėgų daleles. Ir nors fizikai dar nerado konkrečių eksperimentinių supersimetrijos įrodymų, teorija yra tokia gundančiai patraukli ir siejasi su tiek daug kerinčių matematikos dalykų, kad daugelis fizikų viliasi, kad ji tikrai teisinga.

Įprastoje trimatėje kvantinės mechanikos versijoje, sukiniai (spinors) apibrėžia elementariųjų dalelių banginės prigimties judėjimus, o vektoriai apibrėžia jėgos dalelių judėjimus. Dalelių sąveika reikalauja, kad sukinių ir vektorių kombinacijos per daugybos regimybę. O dabar įsivaizduokime keistą visatą, kurioje nėra laiko, o tėra tik erdvė. Jei toji visata yra 1, 2, 4 ar 8-ių matavimų, tiek materijos, tiek jėgos dalelės privalo būti bangomis, apibrėžtomis vieno tipo vektoriniais objektais (sutampant vektoriams ir sukiniams), paprasčiausi realūs, kompleksiniai skaičiai, kvaternionai ir oktonionai. Supersimetrija išlenda natūraliai, numatydama unifikuotą materijos ir jėgų aprašą.

Stygų teorijoje kiekvieną objektą atitinka miniatiūrinė vieno matavimo styga erdvėje ir kita styga laike, tad prie kiekvieno erdvės taško pridedami du papildomi matavimai. Tai gaunama 3, 4, 6 ir 10-ties matavimų supersimetriją. Daugelį metų fizikai sakė, kad tik 10-ies matavimų teorija yra nuosekli, nes kituose matavimuose atsiranda anomalijos, sugriaunančios stygų teoriją. Tačiau 10-ies matavimų stygų teorija yra būtent toji, kuri naudoja oktonionus. Tad oktonionai gali būti pagrindas, apibrėžiantis, kodėl mūsų visata turi būti 10-ies matavimų, kai materijos ir jėgos dalelės išreiškiamos to paties tipo skaičiais.

Neseniai fizikai sumanė stygas keisti membranomis. Šiuo atveju reikia pridėti ne 2, o 3 papildomus matavimus, ir tada supersimetrinės membranos atsiranda 4, 5, 7 ir 11-ajame matavime. Tyrinėtojai teigia, kad M-teorija turi būti 11-os matavimų.

Vis tik nei stygų, nei M-teorija dar nėra patvirtintos eksperimentiškai. Jos yra gražios svajonės, tačiau kol kas ne daugiau nei vien svajonės. Visata, kurioje gyvename, mums neatrodo nei 10-matė, nei 11-matė, ir nematome jokios simetrijos tarp materialių ir jėgos dalelių. Ir tik laikas parodys, ar keistieji oktonionai yra mūsų pasaulio dalis, ar jie tėra tik įdomi abstrakčios matematikos dalis.
Strings and Membranes

Temos išvystymas

Peter Woit (2011 m. balandžio 28 d.) parašė kiek cinišką apžvalgą („Not Even Wrong“), tai apibūdindamas kaip akių dūmimą. Gindamasis J. Baez komentaruose rašė: „Tai šokiruojantis ir keistas faktas, su kuriuo susiduriate, kai tik pradedate aiškintis superstygas... tai pasirodė verta paaiškinti – detaliai matematikos straipsniuose ir populiariai Sci.Am.“.

Toliau komentaruose:

Eric Weinstein nesutinka, kad oktonionai turėjo tik nežymų vaidmenį stygų teorijai. Bet kokia sritis, kurioje spiečiasi supersimetrija, plačios išskirtinės Li grupės (F_4 ir E_6_8), trijalumas, G_2, išskirtinė Džiordano algebra ir pan., yra, iš esmės, oktioninė matematikos ar fizikos šaka. Ir būtent stygų teorija atkreipė matematikų dėmesį į oktonionus.

CMS Silicon Tracker P. Woit'as tą mintį praplečia, paminėdamas E8, kai jau nesuprantama, kur yra fundamentali struktūra, o kur sudėtingi matematiniai manipuliavimai [Zathras: „žmonės, užsiimantys stygų teorija, yra taip įtraukti matematikos grožio, kad mano, kad teorija privalo būti teisinga“]. Stygų teoretikai irgi prisidėjo prie E8 išpopuliarinimo, tačiau vėliau, atrodo, nustojo ja domėtis. Giotis paaiškina, kad dėmesys atkreiptas į heterozinę E8, nes tai tebuvo vienintelis kelias, jungiantis stygų teoriją su fenomenologija. Įvedus D-brainius, sugebėta IIB/F teorijoje sukonstruoti realistinį styginį vakuumą ir net sujungti tuos modelius su kosmologija. Ir vis tik heterozinė E8 tebeturi kai kurias modulio stabilizavimo problemas.

Thomas Larsson pažymi, kad sumažinus reikalavimus aksiomoms, CayLey-Dickson konstruktorius kuria begalinį algebrų bokštą: 16-mačiai sedenionai, 32-ionai ir t.t. Jis klausia, kodėl algebros dalumas yra svarbus? Ar tai ne priežastis, kodėl oktonionai per 150 m. nepasirodė fizikoje?

J. Baez atsakė, kad pati algebros dalumo savybė nėra svarbi. Svarbūs du dalykai:
a) turime n-matę normalizuotą dalią algebrą tada ir tik tada, kai randame n-matį sukinio atvaizdavimą. Tai pradeda sukinių ir vektorių tarpusavio žaidimus, numatančias specialias Lorenco geometrijos savybes n+2 matavimuose (3, 4, 6 ir 10);
b) normalizuota dali algebra yra alternatyvi (t.y., tenkinamos sąlygos x(xy) = (xx)y ir (yx)x = y(xx)). Alternatyvumas leidžia turėti sukinius, užtikrinančius, kad supersimetrija galioja super-Yang-Mills teorijoje ir klasikinių superstygų teorijoje (3, 4, 6 ir 10 matavimuose). Tai taip pat duoda Jacobi tapatybę išskirtinėms Li algebroms F4, E6, E7 ir E8, turinčias Lie algebras matavimams 3, 4, 6 ir 10. Ir t.t.

John Baez1) studentas John Huerta2 parengė paaiškinimus panaudodamas aukštesnių matavimų Li algebras. J. Huerta 2011 m. gegužės 18 d. apsigynė daktarinę ir dabar, kartu su Peter Bouwknegt, gavo post-daktarinę vietą Kanberos Australijos nac. un-te.

Sci.Am. straipsnyje nesigilinama į detales, tačiau tai geras įvadas į tas idėjas. J. Baez nėra vienintelis, propaguojantis oktonionus. Apie oktonionus ir jų pritaikymą fizikoje rašė Corinne Monugue, Tevian Dray, Schray (archiv.org). Ferrara ir Mike Duff ir bendraautorių darbe dėstoma hiperdeterminančių algebra ir kiek kitokia oktonionai rolė stygų teorijoje. Pateikiamos dualios algebros randamos „juodųjų skylių“ stygų teorijoje. Žr. ir Philip Gibs. Oktonionai stygų teorijoje

Tai, kad tos pačios algebrinės struktūros pasireiškia skirtinguose kontekstuose, labai intriguoja, kelia sumaištį galvoje, tarsi būtų praleisti kai kurie unifikacijos principai. O jei oktonionai turi principinę reikšmę fizikoje, tai gali reikšti, kad fizika, iš pagrindų, nėra asociatyvi, ką tai turėtų reikšti fiziškai arba S-matricos kontekste.


1) Džonas Baesas (John C. Baez, g. 1961 m.) – amerikiečių fizikas teoretikas ir matematikas, Kalifornijos un-ro Riversaite profesorius, vienas iš kilpinės kvantinės gravitacijos („sukinių putos“ topologijos) teoretikų, populiarus blogeris. Nagrinėjo aukštesnių eilių kategorijų teoriją. Internete žinomas kaip „sudužusio puodo“ indekso, vertinančio mokslinius teiginius, autorius.

2) Džonas Huerta (John Huerta) – australų kilmės fizikas teoretikas ir matematikas, rašęs daktarinę disertaciją vadovaujamas Dž. Baeso. Nagrinėja išskirtines matematines struktūras ir jų ryšį su fizika:
* G2 Li grupę kaip rutulio riedėjimo ant kito triskart didesnio rutulio simetriją;
* stygų ir M-teorijos kociklus ir kaip jie kyla iš sunormintos algebros su dalyba.

Erdvės formos
Visatos mechanika
Visata kaip kompiuteris
Bendroji reliatyvumo teorija
Nekritinė stygų teorija
Izingo modelis įmagnetinimui
Specialioji reliatyvumo teorija
Tėkmė: kas atvedė prie LHC?
Aukso gysla Ramanadžano lygtims
Intuicijos problema pas Puankarė
Kvantinė mechanika: triumfas ar ribotumas?
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Skaičiai B ir jų kvantinės sistemos
Savaime besiorganizuojantis kvantinis pasaulis
Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
Džordžas Birkhofas - matematikas ir meno matuotojas
Pinavija: matematika prieš eismo spūstis
Nėra paprastos visuotinės teorijos!
V. Nalimovas. Skaičiaus filosofija
Da Vinči matematinė klaidelė
Įvairiapusis Ričardas Feinmanas
Pagrindinės algebrinės struktūros
Kaip supakuoti standžiau?
Nepastovios konstantos
Smeilo paradoksas
Laiko fenomenas
Ar viskas čia taip?
Matematiniai anekdotai
Algebra akimirksniu
Pirminiai skaičiai
Pirminiai dvyniai
Topologija
Vartiklis