Erdvės formos

Taip pat skaitykite: Puankarė teiginio įrodymas    
Visatos geometrijos    
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?    

Sustok ir apsižvalgyk. Eik ratu. Pašok į orą. Paplasnok rankomis. Esi dalelių rinkinys, judantis nedidelėje 3-matės daugdaros srityje; daugdaros, nusitęsiančios į visas puses daugelį milijardų šviesmečių.

Daugdara yra matematinė konstrukcija. Fizikams viskas vyksta trimatėje erdvėje. Trys matavimai reiškia, kad taško padėčiai erdvėje tiksliai nurodyti reikia trijų skaičių, kitaip, koordinačių. Niutono fizikai trimatė erdvė yra fiksuota ir nekintanti. Einšteino bendrojoje reliatyvumo teorijoje erdvė tampa aktyviu veikėju: atstumą tarp dviejų taškų nulemia tai, kokios masės ir energijos objektai yra netoliese ir kokios gravitacinės bangos praeina. Tačiau abiem atvejais erdvė yra trimatė daugdara. Tad trimačių daugdarų savybių suvokimas yra labai svarbus fizikos pagrindų suvokimui. Svarbios ir keturmatės daugdaros, kai erdvę papildome laiko matavimu.

Ant going around Earth ball Daugdaras matematikoje tiria topologija. Mokslininkai daug žino apie trimates daugdaras, tačiau kai kurie pagrindiniai klausimai tebėra sunkiai įveikiami. Kokia yra paprasčiausia trimatė daugdara? Ar yra jų keletas, vienodai paprastų, ar ji tik vienintelė? Kokių tipų yra trimatės daugdaros?

Atsakymas į pirmą klausimą žinomas jau senai: trimatė sfera yra paprasčiausia kompaktinė trimatė daugdara (nekompaktines daugdaras galime įsivaizduoti kaip begalines arba turinčias kraštą. Čia aptarinėsime tik kompaktiškas daugdaras). Kiti du klausimai nepasidavė visą šimtmetį, tačiau juos 2002 m. įveikė rusų matematikas „Griša“ (Grigorijus Perelmanas); jis suklasifikavo ir visas trimates daugdaras.

Prieš 100 m. prancūzų matematiko Anri Puankarė (Henri Poincare) išsakė teiginį, kad trimatė sfera yra unikali, kad nėra kitų trimačių daugdarų, kurios būtų tokios paprastos. Kitos daugdaros turi arba ribas, kurias reikia apeiti tarsi plytų sieną, arba keletą jungčių tarp skirtingų sričių, tarsi takas miške, išsiskiriantis ir vėl susiliejantis. Tik trimatė sfera neturi tokių „nedarnumų“. Bet koks trimatis objektas, turintis tokias savybes, gali būti transformuotas į trimatę sferą – kitaip tariant, jis tėra tik kita trimatės sferos kopija. Puankarė teiginys yra viena iš „Tūkstantmečio problemų”, už kurių sprendimus Kembridže (Masačūsetso valstijoje) esantis Clay matematikos institutas skyrė po 1 mln. dolerių premijas.

Iš tikro, reikia šiek tiek mąstymo pastangų norint įsivaizduoti, kas yra trimatė sfera – tai nėra paprasta sfera, kaip kad įsivaizduojame „sferą“ kasdienine to žodžio prasme. Tačiau ji tebeturi daug savybių, kurios yra bendros dvimatei sferai, kuri mums įprasta: pvz., baliono arba futbolo kamuolio paviršius sudaro dvimatę sferą. Ji dvimatė, nes užtenka tik dviejų koordinačių, ilgumos ir platumos, kad apibrėžtume bet kurį jos tašką. Mums žemės rutulys atrodo esąs plokščias, nes jo kreivumas yra labai nedidelis lyginant su mūsų dydžiais. Bet, jei eitume gana ilgai viena kuria kryptimi, sugrįžtume į tą patį tašką, iš kurio pradėjome kelionę. Panašiai ir trimatėje (labai didelėje) sferoje uodas jaustųsi tarsi esanti „įprastoje“ trimatėje erdvėje, tačiau nuskridęs „tiesiai“ bet kuria kryptimi po daug laiko jis vėl grįžtų į tą patį tašką.

Trimatė sfera sukonstruojama panašiai kaip dvimatė sfera. Įsivaizduokite du (pilnus) trimačius rutulius ir (mintyse) sujunkime vieną su kitu jų paviršius (t.y. dvimates sferas). Gausime trimatę sferą, kuri yra 4-mačio rutulio paviršius. Vizualizuoti ją gana sunku, tačiau mums pakanka žinoti jos savybes.

Puankarė suformulavus savo teiginį, praėjo net pusė amžiaus, kol matematikai pasiekė realaus progreso jo įrodymui. 7-me dešimtm. buvo įrodyta analogiški teiginiai 5-ių ir aukštesnių matavimų sferoms. 1982 m. teiginys įrodytas 4-matei sferai. Trimačiam atvejui persilaužimas atėjo 2002 m. lapkričio mėn., kai straipsnį

Vienmatė sfera yra tiesiog apskritimas (tik skritulio pakraštėlis, bet ne pats skritulys - matematikams „rutulys“ yra visiškai užpildytas objektas, o sfera tėra rutulio paviršius). Dvimatę sferą galime sukonstruoti paėmę du skritulius, iš jų ištampę pusrutulius ir sujungę kraštais – taip, kad gautume „kamuolį“.

Topologijoje tiksli objekto forma yra nesvarbi – tarsi jis būtų sudarytas iš labai tąsios medžiagos, kurią galima bet kaip deformuoti – tempiant, spaudžiant ar sukant. Tačiau draudžiama karpyti (kirsti) arba prilipdyti (prijungti). Pavyzdžiui, kavos puoduką galima transformuoti į žiedą (torą, „baronką“).

Nesunkiai sukonstruojamos naujos daugdaros. Tarkim, paimam rutulį ir prilipdom vieną ąselę – gaunam genties-1 paviršių (arba tą patį torą, į kurį transformavome puoduką). Prilipdę dvi ąseles gausime jau genties-2 paviršių.

Tarp visų dvimačių daugdarų, dvimatė sfera yra unikali tuo, kad bet kokia uždara kreivė jo paviršiuje gali būti sutraukta į tašką. Tuo tarpu, pvz., toro atveju, kreivė gali būti apibrėžta aplink angą ir nesutraukiama į tašką. Puankarė teiginys būtent ir tvirtina, kad tik trimačiai sferai bet kuri uždara kreivė sutraukiama į tašką.

2D-ball
Manifold Construction
Cup transformation into Ring
paskelbė Steklovo vardo Matematikos instituto St. Peterburge matematikas G. Perelmanas. Tame straipsnyje tiesiogiai neminimas Puankarė teiginys, tačiau topologai iškart pajuto sąryšį. Kitas Perelmano straipsnis pasirodė 2003 m. kovo mėn., jis aplankė JAV, kur pravedė nemažai seminarų ir skaitė paskaitas, kuriuose aiškino savo pasiektus rezultatus. Gero tuzino institutų matematikų grupės ėmė gilintis į jo straipsnius, patikrindami kiekvieną smulkmeną ir ieškodami klaidos.

Perelmano darbai išplečia ir užbaigia tyrimus, kuriuos Kolumbijos universitete Ričardas S. Hamiltonas atliko paskutiniajame 20 a. dešimtmetyje (ir gavo Clay ins-to premiją 2003-ais. Kartu užbaigiamas ir gerokai platesnis darbas – W.P. Thurstono suformuluotas geometrizacijos teiginys leidžia suklasifikuoti visas trimates daugdaras. Jei Puankarė teiginys būtų neteisingas, t.y., trimatė sfera nebūtų unikali savo paprastumu, trimačių daugdarų klasifikacija būtų be galo sudėtingesnė nei pasiūlyta Thurstono.

Bet kodėl mums turėtų rūpėti objektai, kurie tarsi minkomi iš tešlos? Mat atstumas nuo vieno taško iki kito yra struktūros, kuri vadinama objekto geometrija, lygis. Tirdami tokius objektus topologai nustato, kokios jų savybės yra tokios fundamentalios, kad egzistuoja nepriklausomai nuo objekto geometrinės struktūros (pagal analogiją, tarytum nustatymas to, kas yra bendra visiems žmonėms, kad kiekvieną jų būtų galima pavadinti „žmogumi“).

19 a. pabaigoje matematikai ėmė suprasti, kaip reiktų klasifikuoti dvimačius paviršius, iš kurių sfera buvo paprasčiausias. Natūraliai jie pradėjo domėtis trimatėmis daugdaromis. Ir pirmiausia buvo iškeltas paprastas klausimas – ar trimatė sfera yra tokia pat unikali kaip dvimatė. Klausimas, atsakymo į kurį teko laukti šimtmetį.

A. Puankarė vadinamas paskutiniu universalu. Jis įkūrė ir matematikos šaką, kuri vadinama algebrine topologija. Apie 1900-uosius jis suformulavo objekto topologijos mato sąvoką, vadinamą homotopija. Norėdami nustatyti daugdaros homotopiją įsivaizduokite, kad ant daugdaros nubrėžiate uždarą kreivę, kuri gali vingiuoti daugdara visais įmanomais būdais. Tada klausiate, ar visada galite sutraukti kreivę į tašką, jos neatitraukdami nuo paviršiaus? Homotopija yra kiekis visų įmanomų „užstrigimų“, trukdančių kreivės sutraukimui į tašką. Puankarė teigė, kad vienintele trimate daugdara, kurioje bet kurią uždarą kreivę galima sutraukti į tašką, yra trimatė sfera [formalus hopotopijos aprašymas >>>>>]. Tačiau Puankarė neįstengė šio teiginio įrodyti.

G. Perelmanas savo įrodyme panaudojo procedūrą, kuri vadinama geometrizacija. Geometrija susijusi su konkrečia objekto forma – jai objektas yra kietas, t.y. sudarytas ne iš tešlos, o iš keramikos, pvz., puoduko geometrija skirtinga nei žiedo, nes jų paviršiai „kreivinasi“ skirtingai. Sakoma, kad puodukas ir žiedas yra du topologinio toro pavyzdžiai su priskirtomis skirtingomis geometrijomis.

Siekdami geriau suprasti, pirmiausia pasižiūrėkime, kaip geometrizacija gali būti panaudota dvimačių daugdarų klasifikavimui. Kiekvienam topologiniam paviršiui priskiriama speciali unikali geometrija – tokia, kurios kreivumas yra vienodas visoje daugdaroje. Taip (dvimatei) sferai toji geometrija yra ideali sfera. Kiaušinio formos paviršius netinka, tačiau jo paviršiaus kreivumas skirtingose vietose skiriasi.

Dvimatės daugdaros sudaro tris geometrijų tipus: 1) sfera tai, kad vadinama teigiamu kreivumu (kalvos kreivumas); 2) toras geometriškai yra plokščias, jo kreivumas nulinis, kaip plokštumos; 3) visos kitos daugdaros (su dviem ir daugiau ąselių) turi neigiamą kreivumą (kalnų perėjos ar balno formos), kai einant iš priekio į galą kreivinasi aukštyn, o einant iš kairės į dešine kreivinasi žemyn. Šią geometrinė klasifikaciją įvedė Puankarė kartu su Paulu Koebe bei Feliksu Kleinu (tuo, kuris davė pavadinimą Kleino buteliui).

Natūralu pabandyti įvesti panašią klasifikaciją trimatėms daugdaroms. Ar įmanoma surasti unikalias vienodo kreivumo geometrijas kiekvienai topologinei trimatei daugdarai?

Tačiau pasirodo, kad trimatės daugdaros gerokai sudėtingesnės nei dvimatės ir daugumai jų negalima priskirti unikalių geometrijų. Jas tenka sukapoti į gabalus, kurių kiekvienas turi savo kanoninę geometriją (šių yra 8-ios). Skaidymas į gabalus kažkuo panašus į skaičiaus faktorizaciją (išreiškimą pirminių skaičių sandauga).

Dvimatės daugdaros klasifikuojamos jas „geometrizuojant“ taip, kad visur turėtų vienodą kreivumą. Tada sfera turi teigiamą kreivumą, toras – plokščią, o kitos daugdaros – neigiamą kreivumą

Trimačių daugdarų klasifikavimas panašus, tik kai kurias tenka skaidyti į dalis, turinčias vieną iš 8-ių kanoninių geometrijų.
Manifold Generalization

Tokią klasifikacijos schemą 8-me dešimt. pasiūlė W. Thurston’as. Jis su kolegomis įrodė nemažą dalį savo teikinio, tačiau liko neįrodyti esminiai punktai, tame tarpe ir priklausantys nuo Puankarė teiginio (ar trimatė sfera unikali?).

Kaip galime geometrizuoti daugdarą (t.y. jai priskirti vienodą kreivumą)? Vienas būdų yra paimti bet kokią atsitiktinę geometriją, pvz., kiaušinio lukšto formos su įvairiais gumbais ir įdubomis ir tada išlyginti visus netaisyklingumus. Tą daryti paskutiniame 20 a. dešimtmetyje pradėjo R. Hamiltonas, panaudodamas vadinamąją Riči srauto lygtį (pavadintą Gregorio Ricci-Curbastro garbei), turinčią panašumų su šilumos tekėjimą aprašančia lygtimi. Kūne, turinčiame karštų ir vėsių dalių, šiluma natūraliai teka iš šiltesnių vietų į vėsesnes tol, kol temperatūra suvienodėja visame kūne. Riči srauto lygtis analogiškai veikia daugdarą išlygindama visus jos iškilimus ir įlinkimus. Pradėję aplamdytu kiaušiniu palaipsniui gausite idealią sferą.

Hamiltonas susidūrė su kliuviniu: kai kuriais atvejais Riči srautas daugdarą suspausdavo iki taško (tai vienas aspektų, kuriais jis skiriasi nuo šilumos tekėjimo. Perspaustos vietos yra tarsi taškai, kuriuose temperatūra tampa begaline). Vienas tokių pavyzdžių yra daugdaros turinčios hantelių formą – kaip dvi sferos, sujungtos siaura jungtimi. Sferos gali plėstis traukdamos materiją iš sujungimo tol, kol šis viduryje susismaukia iki taško (singuliarumo). Kitas atvejis, kai plonas strypas kyšo iš daugdaros, sukelia „cigaro singuliarumą“. Tokios daugdaros su singuliarumais jau negali būti laikomos teisingomis trimatėmis daugdaromis (kuriose sritis aplink kiekvieną tašką atrodo tarsi įprastos trimatės erdvės dalelytė).

G. Perelmanas į JAV atvyko 1992 m. kaip podaktarinių studijų studentas, kelis semestrus mokėsi Niujorko universitete ir Stone Brook‘e, o vėliau Kalifornijos universitete Berklyje. Jis greitai įsitvirtino kaip jauna matematikos žvaigždė, pasiekęs svarbių ir gilių rezultatų vienoje geometrijos šakų. Buvo apdovanotas Europos matematikų draugijos premija (kurios atsisakė) ir buvo pakviestas į Tarptautinį matematikų kongresą (kurį priėmė). 1995-ais gavo pasiūlymų iš daugelio garsių matematikos fakultetų, tačiau visus juos atmetė ir grįžo į gimtąjį St. Peterburgą, kur faktiškai dingo iš matematikos radarų. Retos jo apraiškos tebuvo reti el.laiškai buvusiems kolegoms, pvz., nurodant klaidas, kuriuos jie padarė savo straipsniuose. Į klausimus apie tai, kuo jis užsiima, jis neatsakinėjo.

Tačiau 2002 m. pabaigoje keletas matematikų galo el. laiškus, jiems nurodant straipsnį, kurį jis patalpino į matematinę svetainę – paprasta trumpa pastabėlė, kad jis gali būti jiems įdomus. Tame preprinte, kartu su naryste Steklovo institute, Perelmanas patvirtino paramą pinigais, kuriuos jis sutaupė iš buvusių JAV podaktarinių pozicijų.

Straipsnyje Perelmanas Riči srauto lygtį papildė vienu nariu. Modifikuota lygtis nepašalindavo singuliarumų, tačiau leido Perelmanui pratęsti analizę – jis parodė, kad su singuliarumais galima atlikti „chirurginę operaciją“ – nupjauti nedidelius gabaliukus abiejose sąsmaukos vietose ir ant nuopjovų uždėti apvalias kepurėles. Tada Riči srautą galima pratęsti tol, kol susidarys nauja sąsmauka, kuriai bus pritaikyta tokia pati operacija. Taip pat jis įrodė, kad negali susidaryti „cigaro singuliarumai“. Tad daugdara gali būti suvesta į gabalų, kurių kiekvienas turi unikalią geometriją, rinkinį.
Singuliarity at Ricchi flow

Pritaikius šį procesą visoms trimatėms daugdaroms, visos daugdaros, tokio pat paprastumo kaip sfera (t.y. tokios pat homotopijos) visąlaik susivesdavo į trimatės sferos geometriją. Topologiškai reiškia, kad toji daugdara yra trimatė sfera.

Be šio įrodymo, Perelmano technika yra naudinga pati savaime. Jau dabar matematikai ją pritaikė kitų problemų sprendimui. Be to, matematika turi įdomų sąryšį su fizika. Riči srautas yra susijęs su renormalizacijos grupe, apibrėžiančia, kaip keičiasi jėgos sąveikos priklausomai nuo susidūrimo energijos. Pvz., jei esant žemoms energijoms, elektromagnetinė sąveika turi jėgą, nusakoma skaitine reikšme 0,0073, tai ji, elektronams susidūrus kaktomuša esant artimiems šviesai greičiams, tampa artima 0.0078. Susidūrimo energijos padidinimas yra tapati jėgos nagrinėjimui artimesniais atstumais. Renormalizacijos grupė yra tarsi mikroskopas, kuriuo galima ištirti procesą smulkesniame lygyje. Padidinus vienu lygiu matomi gumbai ir įdubos dingsta pakeitus didinimo laipsnį. Fizikai mano, kad esant maždaug 10-35 m atstumams (Planko atstumu) erdvė atrodo kitaip – tarsi putoplastas su daugeliu ertmių ir „ąselių“ bei kitokių topologinių elementų. Matematiniai modeliai, aprašantys fizinių jėgų kitiimą, yra labai panašūs į naudojamus daugdarų geometrizacijoje.

Kitas sąryšis su fizika yra bendrosios reliatyvumo teorijos lygtys, aprašančios gravitaciją ir didelio mąstelio Visatos struktūrą, kurios yra artimos Riči srauto lygčiai. Tad Perelmano įtrauktas papildomas narys yra aktualus ir stygų teorijai, esančiai kvantinės mechanikos dalimi. Tad gali būti, kad ir čia bus pasiekta įdomių įžvalgų.

2010 m. kovo 18 d. Clay Matematikos institutas (CMI) paskelbė, kad Grigorijui Perelmanui (Rusija, St. Peterburgas) paskirta Tūkstantmečio premija už Puankarė teiginio įrodymą. Taip pat pranešta, kad birželio 8-9 d. Paryžiuje CMI ir A. Puankarė institutas (HPI) rengia konferenciją Puankarė teiginio įrodymo proga. Matematikas premijos atsisakė, žr. daugiau >>>>
Naujiena: Į G. Perelmano argumentaciją, atsisakant jam skirtos premijos (daugiau apie tai >>>>), kad atlygio nusipelnė ne vien tik jis, buvo atsižvelgta – 2011 m. Shaw premija (1 mln. dolerių) matematikos srityje dalijama pusiau ir viena jos dalis skiriama R. Hamiltonui, padėjusiam pagrindus Puankarė teiginio įrodymui.  Daugiau apie tai >>>>

Literatūros sąrašas – žr. Puankarė teiginio puslapis


Trumpos biografijos

Ričardas Hamiltonas (g. 1943 m.) – matematikos profesorius Kolumbijos universitete, JAV Nacionalinės MA narys (nuo 1999 m.), Amerikos menų ir mokslo akademijos narys (nuo 2003 m.). Jis pasiūlo programą, leidusią įrodyti Thurstono geometrizacijos teiginį, o vėliau kurios dėka G. Perelmanas įrodė Puankarė teiginį.

Gimė 1943 m. 1963 m. Jeilio universitete gavo bakalauro laipsnį. 1966 m. Prinstono un-te apsigynė filosofijos daktaro laipsnį matematikos srityje. Mokslinių tyrinėjimų sritis – diferencialinė geometrija ir topologija. Hamiltonas pirmasis į tyrimus įtraukė vadinamąjį Riči srautą [1].

1996 m. gavo Oswald Veblen geometrijos premiją (jos laureatu yra ir Stefenas Smeilas, 1966), o 2003 m. Klėjaus tyrimų premiją. 2009 m. gavo ir Amerikos matematikos draugijos Leroy P. Steele premiją. Kai G. Perelmanas 2010 m. liepos 1 d. atsisakė jam skirtos Klėjaus instituto Tūkstantmečio premijos, pasakydamas, kad jo indėlis į Puankarė teiginio įrodymą ne didesnis nei Hamiltono, 2011 m. birželį buvo paskelbta, kad milijonų dolerių vertės premija padalinta tarp R. Hamiltono ir Demetrios Christodoulou.

[1] R.S. Hamilton, Richard. Three-manifolds with positive Ricci curvature// J. of Differential Geometry, 17 (2), 1982
Hamiltono paskaita apie Riči srautą >>>>>

 

Paulius Koebė (Paul Koebe, 1882-1945) – vokiečių matematikas, daug dirbęs su kompleksiniais skaičiais. Jo svarbiausiais pasiekimais buvo Rymano paviršių unifikacija (1907-09), taip prisidėdamas prie 22-os Hilberto problemos sprendimo. Mirė nuo skrandžio vėžio.

Koebės posakis:
„Yra daug matematikos sričių, kur galima pasižymėti naujais rezultatais. Yra plačių ir stačių kalnų škaitų, kuriuose bliauna ožkos. Tačiau kompleksinių skaičių analizė yra palygintina su sultinga drėgna pieva tinkama stambiesiems raguočiams“.

Feliksas Kleinas (Christian Felix Klein, 1849-1925) – vokiečių matematikas ir pedagogas, išgarsėjęs darbais grupių teorijos, kompleksinių skaičių analizės, ne-euklidinės geometrijos ir ryšių taro geometrijos ir grupių teorijos srityse. Jis išrado vadinamąjį „Kleino butelį“ (1882).

 

Topologija
Kvantinis chaosas
Visatos mechanika
Puankarė teiginio įrodymas
Riči srautas ir tenzorius
Specialioji reliatyvumo teorija
Visatos topologija: pradžiamokslis
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Kvantinė chemija – ateities mokslas?
Greičiais C besiplečiančios–besitraukiančios erdvės B
Tjorstono geometrizacijos teiginys
Didžioji Ferma teorema
Matematikai: Anri Puankarė
A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė
Pagrindinės algebrinės struktūros
Iniciatyva: Matematikos keliu
Pasikėsinimas į milijoninę premiją
Mokslo riboženkliai: 1867-ieji – kartų kaita
Egzotiškosios hipersferos - problema išspręsta
Matematika - tai žavesys ir tiesa
Matematikai: Davidas Hilbertas
Nepaprastai suderinta Visatos sandara
Netiesinis mąstymas: išspręsti neišsprendžiamą
Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
Apie Tarskio skritulio kvadratinimą
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Nėra paprastos visuotinės teorijos!
Revoliucija mazgų teorijoje
Nepaprasti Visatos skaičiai
Einšteino vieta pasaulyje
Scenoje - paprastos grupės
Smeilo paradoksas
Landau nuslopimas
Pirminiai skaičiai
Matroidai
Vartiklis