Egzotiškosios hipersferos - problema išspręsta

Atsipalaiduokite! 45 m. senumo problema išspręsta. Visai neseniai, matematinių užkampių kertėse, galėjo tūnoti paslaptingos 254-ių, 510-ies ar 1022-ių matavimų sferos, kitaip tariant, dėl jų reikėjo būti neramiam lankantis 2k-2 matavimų erdvėse.

Daugiau nerimo jos nekels – galime ramiai miegoti. Michael Hopkins (Harvardo un-tas), Michael Hill (Virdžinijos un-tas) ir Douglas Ravenel (Ročesterio un-tas) 2009 m. balandžio 21 d. Edinburgo konferencijoje paskelbė, kad įveikė vadinamąją Kervaire invarianto problemą, kai n > 126. 2009 m. rugpjūčio 26 d. jie paskelbė 99 puslapių apimties preprintą, kuriame paaiškino įrodymo detales. Jei įrodymas bus patvirtintas, tai bus baigiamasis akordas 7-ojo dešimtmečio matematikos uždaviniui: „egzotiškų" aukštų matavimų sferų klasifikavimui. Šis sprendimas gali turėti įtakos ne mažiau egzotiškoms fizikos sritims, tokioms kaip stygų teorija.

Helicoid Sferos yra vienas pagrindinių objektų topologijoje, matematikos srityje, nagrinėjančioje, kokios objekto savybės lieka nepakitusios, kai objektas įvairiai deformuojamas: suspaudžiamas, ištempiamas, kitaip tąsomas. Topologijos panaudojama daugelyje sričių, tame tarpe ir nustatinėjant mūsų Visatos formą.

Gana neseniai matematikai užbaigė trimačių „kompaktinių" daugdarų (t.y. tokių, kurios yra baigtinės ir neturi krašto, daugiau žr. >>>>. Pvz., sfera yra kompaktinė daugdara, o plokštuma - ne) klasifikaciją. Taigi, buvo išvardintos visų galimų trimačių visatų topologijos. Tačiau keturmatėje ir aukštesnių matavimų erdvėse tokia klasifikacija nepasiduoda ir netgi logiškai nėra įmanoma. Tad topologai tikisi, kad tai pavyks bent sferoms (kaip paprasčiausioms daugdaroms).

Reikalai susipainiojo, kai 6-me dešimtmetyje John'as Milnor'as atrado pirmąją "egzotišką" 7-matę sferą. n-matė sfera yra egzotiška topologiniu požiūriu; ji nėra tapati įprastai n-matei sferai diferencialinių skaičiavimų, kuriuos naudoja fizika, požiūriu. Šis neatitikimas daro įtaką lygtims, kurios aprašo dalelių judėjimą ar bangų sklidimą. Mat tų lygčių sprendinys (ar net jų formuluotė) vienoje erdvėje negali būti perkeltas į kitą nesukuriant įmantrybių arba „singuliarumų". Fizikine prasme tai du skirtingi, nesuderinami pasauliai.

1963 m. J. Milnor'as su kolega Michel Kervaire paskaičiavo skirtingų egzotiškų 7-mačių sferų kiekį ir nustatė, kad jų yra 27. Jie skaičiavo n-mates sferas visiems n pradedant 5. Tačiau jų skaičiavimas turėjo vieną trūkumą – galimą 2-ių daugiklį, - kai n yra lyginis. Jį vėliau 1969 m. pašalino William Browder, - išskyrus 2k-2 matavimams, pradedant k=7, t.y. 126, 254, 510, 1022, ...

M. Hopkins'as su kolegomis mano, kad rado sprendimą. Jie panaudojo painią algebrinių sistemų, vadinamą homologinėmis grupėmis, hierarchiją ir įrodė, kad 2-ių daugiklis neegzistuoja visiems n, išskyrus, nebent 126, kurio jų įrodymas, dėl techninių priežasčių, neapėmė. Tiesa yra dar viena nemaža išimtis – keturmatė erdvė, kuriai neaišku, ar joje egzistuoja egzotiškos sferos (1-matėje, 2-matėje ir 3-matėje erdvėse nėra egzotiškų sferų). John Milnor with Dr. Schleicher and Prof. Gritzmann, 1999

Išmatavimų triauškintojas

Ir štai - 2011 m. kovo 23 d. paskelbta, kad John Milnor’ui paskirta 1 mln. dolerių Abelio premija.

Dž. Milnoras gimė 1931 m. vasario 20 d. Orange, Niu Džersio v. (JAV). 1951 m. baigė Prinstono un-tą, o po 3 m. ten apsigynė daktaro laipsnį. Iki 1989 m. dirbo Prinstone, o tada perėjo į Niujorko Stony Brook un-tą. Buvo "Matematikos analų" redaktoriumi, daugelio knygų autoriumi. Jo žmona Dusa yra matematikos prof. Barnardo koledže.

Dirbo topologijos, K-teorijos, geometrijos, algebros ir dinaminių sistemų srityse. Matematinį pasaulį labiausiai išjudino jo 7-matės sferos su egzotiškomis savybėmis atradimas 1956 m. Ji nebuvo tapati įprastinei sferai nežymiu, tačiau svarbiu aspektu – skyrėsi diferencialinių skaičiavimų požiūriu. Tai reiškė, kad sprendinys šioje hipersferoje (pvz., bangų ar šilumos sklidimo) nebūtinai perkeliamas į įprastines sferas. Tai prieštarauja žmogiškajai intuicijai – ir nenuostabu, kad pradžioje topologai nenorėjo to pripažinti. Tačiau vėliau Milnoras, kartu su lenku Michel Kervaire, suklasifikavo visas galimas 7-mates sferas, kurių yra 27-ios. Milnoras savo tyrinėjimus nukreipė į sudėtingų hiperpaviršių izoliuotų singuliarių taškų topologiją, išvystydamas Milnoro m skaidulų teoriją.

Nuo tada sferų tyrinėjimai dominavo daugelio topologų veikloje – ir už tai buvo skirta 4 Fieldso medaliai (1962 m. – ir pačiam Dž. Milnorui; 1989 m. jis gavo ir Wolf‘o premiją). Juos skatino ir 1968 m. Dž. Milnoro knyga (apie m skaidulas). Tuos tyrinėjimus vainikavo 2004 m. G. Perelmano išspręstas Puankarė teiginys.

Kiti laureatai: 2009: M. Gromovas; 2010: J. Tate; 2012: M. Szemeredi;

Erdvės formos
Topologija
Algebros istorija
Didžioji Ferma teorema
Kaip supakuoti standžiau?
Iniciatyva: Matematikos keliu
Riči srautas ir tenzorius
Tjorstono geometrizacijos teiginys
Surasta trilijonas trikampių
Puankarė problemos įrodymas
Matematikai: Anri Puankarė
Matematika ir biologija
Ar jau rūksta dūmai? Navier Stokes lygtys
Laimėti pralaimint: „dviejų vokų“ paradoksas
Netiesinis mąstymas: išspręsti neišsprendžiamą
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Matematikai: Davidas Hilbertas
Graikų matematikai - filosofai
Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
Greičiais C besiplečiančios–besitraukiančios erdvės B
Intuicijos ribojimas matematikoje 19-me amžiuje
Naujas pirminių skaičių dėsningumas
Profesorius kiborgas ir makaronai
Littlewood teiginys apie aproksimaciją
Visatos topologija: pradžiamokslis
Da Vinči matematinė klaidelė
Nepaprasti Visatos skaičiai
Senovės Graikijos skaičiuotuvas
Diagramos, pakeitusios pasaulį
Revoliucija mazgų teorijoje
Scenoje - paprastos grupės
Kraskalo algoritmas
Landau nuslopimas
Dirbtinis protas?
Ferma taškas
Fieldso medalis
Matroidai
Vartiklio naujienos