Ar jau rūksta dūmai ir garuoja kava?  

Uzbekų matematikas Š. Davlatovas iš Karšino un-to 2016 m. balandį teigia įrodęs 6-ąją Tūkstantmečio premijos problemą – kad egzistuoja vienintelis tolydus Navier Stokes lygčių su periodinėmis kraštinėmis erdvinių kintamųjų sąlygomis sprendinys (žr. >>>>>).
Prieš tai, 2014 m., į 6-osios problemą išsprendimą „kėsinosi“ kazachas M. Otelbajevas, tačiau amerikietis Kunkuliuojanti Ulos akis T. Tao, Fieldso medalio laureatas (2006), rado pavyzdžius, neigiančius kazacho įrodymą.

Navier-Stokes lygtys yra diferencialinių lygčių rinkinys, aprašantis, kaip skysčio tėkmės greitis pasikeis veikiamas skysčio vidinių savybių (slėgio, takumo) ir išorinio poveikio (pvz., gravitacijos). Jų bendrasis sprendinys visoms pradinėms sąlygoms nesurastas, netgi nežinoma, ar jis egzistuoja.

Skysčiai yra ypatingi, nes jie elgiasi chaotiškai ir turbulentiškai (pasižiūrėkite, kaip Van Gogas gaudė turbulenciją). Panašų vaizdą matysime stebėdami, kaip kyla dūmai virš cigaretės ar laužo; kas vyksta verdant „turkišką kavą”. Chaotiško elgesio modeliavimas yra labai sudėtingas.

Prie pažangos sprendžiant Navier-Stokes lygtis prisidėjo ir lietuvis K. Pileckas, kurio straipsnis šia tema paskelbtas prestižinio „Annals of Mathematics“ 2015 m. kovo numeryje (žr. >>>>>). Jis nagrinėja Leray problemą, kuri yra atskiras Navier-Stokes lygčių atvejis. 1933 m. prancūzas Jeanas Leray nagrinėjo daugiamatę Navier-Stokes sistemą su nehomogeniškomis kraštinėmis sąlygomis aprėžtoje srityje, išmetus iš jos baigtinį kiekį vidinių kompaktiškų sričių. J. Leray nurodė būtinąją sąlygą šios sistemos sprendinio egzistavimui (skysčio srautas pro visą srities kraštą lygus nuliui) ir parodė, kad uždavinys turi sprendimą, jei skysčio srautas pro kiekvieną iš krašto komponentų yra lygus nuliui.
K. Pileckas su bendraautoriais (rusu ir italu) Leray uždavinį išsprendė dvimačiui atvejui bei trimačiui su sąlyga, kad nagrinėjama sritis yra simetriška ašies atžvilgiu.

Lygčių ištakos siekia 1820-uosius. Buvo daug bandymų jas išspręsti. Naujausias T. Buckmaster ir V. Vicol straipsnis, paskelbtas 2018 m. rugsėjį (>>>>>), bando parodyti, kad esant tam sąlygoms, Navier-Stokes lygtys neatitinka fizinio pasaulio: kai leidžiama jų sprendiniams būti labai grubiems (tarsi eskizui vietoje nuotraukos), lygtys imta rodyti nesąmones – kad skystis su tomis pradinėmis sąlygomis (vektoriniu lauku) gali pasiekti dvi ar kelias skirtingas būsenas. Tokiu atveju jos neatspindi fizinio pasaulio.

Glotnūs (tolydūs) sprendiniai yra fizinio pasaulio atvaizdavimai, tačiau, kalbant matematiškai, jų gali neegzistuoti. Neramina tokie scenarijai: jūs vykdote Navier-Stokes lygtis, stebėdami vektorinio lauko kitimą. Tačiau po tam tikro baigtinio laiko jos parodo, kad skysčių dalelė juda begaliniu greičiu. Tai ir yra problema. Tūkstantmečio premijos esmė ir yra įrodyti, kad Navier-Stokes lygtims tokia aituacija yra negalima.

Matematikai, nagrinėdami tokias lygtis kaip Navier-Stokes, išplečia jų sprendinio apibrėžimą. Glotniems sprendimams reikia maksimalaus kiekio informacijos – turėti vektorių kiekviename vektorinio lauko taške. Tačiau galima susilpninti reikalavimas nurodant, kad reikia paskaičiuoti vektorių reikšmes tik tam tikruose taškuose arba turėti apoksimuotas vektorių reikšmes. Tokio tipo sprendiniai vadinami silpnais. Jie leidžia matematikams pajusti lygčių elgesį neradus tikslių sprendinių. Gali būti keli „silpnumo“ laipsniai (tai tarsi realaus vaizdo 32, 16 ir 8 bitų skaitmeninės versijos).

1934 m. prancūzų matematikas Jean Leray apibrėžė svarbią silpnų sprendinių klasę – vietoje tikslių vektoriaus reikšmių jis ėmė suvidurkintą aplinkinių vektorių reikšmę ir įrodė, kad Navier-Stokes lygtys visada išsprendžiamos tokia forma.

Tai parodė naują būdą Navier-Stokes lygčių sprendimui: pradedant Leray sprendiniais ir žiūrint, ar jie konverguoja į glotnius sprendinius. Bet čia yra viena ypatybė – ties sprendiniai privalo atitikti realaus pasaulio įvykius, o šie vyksta tik vienu būdu (t.y., toms pačioms pradinėms sąlygoms turim gauti tik vieną sprendinį). T. Buckmaster ir V. Vicol straipsnis sukelia abejones, ar tai pasiekiama, nors jie ir naudojo sprendinius, dar silpnesnius nei Leray sprendiniai.

Vėl būrimas iš kavos tirščių?!

Kavos maišymas puodelyje labai artimas funkcijoms, kuriomis šifruojama skaitmeninė informacija. Tas artimumas gali padėti geriau apsaugoti duomenis.

Maišoma kava Skysčių dinamika nėra pirmas dalykas, ateinantis į galvą, kai galvoji apie bitkoiną. Tačiau 2018 m. balandžio mėn. Stanfordo un-to taikomosios fizikos daktarantas W. Gilpin’as aprašė, kad skysčių maišymo principai yra tokie pat kaip kriptovaliutų tranzakcijose.

Kriptovaliutos veikia mįslingai: jos nėra saugomos ir prižiūrimos kokios nors vienos centralizuotos grupės. Jomis keičiamasi ir jos apsaugomos matematine funkcija, kuri vadinama kriptografine „maiša“ (hash), - tai šiuolaikinio kibersaugumo „darbinis arkliukas“ – kurios duomenis transformuoja į specifinį formatą, iš kurio negalima atstatyti pradinių reikšmių. „Maišos“ funkcijos specialiai parenkamos sudėtingomis, - ir dviem labai artimoms pradinėms reikšmėms jos sugeneruoja visiškai nepanašius rezultatus. Jos leidžia kompiuteriams nesunkiai sekti kriptovaliutas, tačiau labai apsunkina, tą patį bandant padaryti hakeriams.

Taigi, W. Gilpin’as įžvelgė panašumą tarp maišos funkcijų ir kavos maišymo (gal neatsitiktinai net ir žodžiai lietuvių kalboje panašūs?!). Įpilkite į kavą grietinėlės ir ją maišykime. Mažiausi pokyčiai (šaukšto padėtis, maišymo greitis ir pan.) sukurs kitokį grietinėlės „raštą“ – ir iš šio taip pat neįmanoma nustatyti, koks buvo pradinis grietinėlės vaizdas. Ir tada pasirodė, kad lygtys, nusakančios maišomą skystį, beveik tiksliai atitinka reikalavimus maišos funkcijoms.

Dabartiniu metu maišos (hash) funkcijos yra aktyviai tyrinėjamos, nes kriptovaliutos ir panašūs taikymai (pvz., skaitmeniniai parašai) tampa vis dažniau naudojami (finansinėms operacijoms bei teisiniams dokumentams). Minėtas ryšis gali būti naudojamas ir kitose srityse, pvz., vaistų gamyboje, kai tam tikros skystos komponentės įliejamos nustatytais laiko momentais, panašiai į tai, kaip maišos funkcijos veiksmus atlieka tam tikra tvarka.

O dabar verta paskaityti: Kirmgrauža tarp matematikos sričių

Kitos pastangos:
Milijono dolerių Tūkstantmečio premiją įsteigė Clay matematikos institutas. Ji skiriama už bet kurios iš 7-ių išvardintų matematinių problemų išsprendimą. Paskutinį (ir vienintelį) kartą Tūkstantmečio premija skirta m. G. PerelmanuiPuankarė teiginio įrodymą – tačiau jis jos atsisakė (skaitykite plačiau apie tą istoriją).
O 2015 m. pabaigoje nigerietis O. Enochas tvirtino įrodęs Rymano hipotezę (žr. >>>>>).

Perkoliacija
Kraskalo algoritmas
Monte-Karlo metodas
Kur viešpatauja chaosas?
2018 metai matematikoje
Izingo modelis įmagnetinimui
Tribologija ir tepimo sprendimai
Revoliucija mazgų teorijoje
Paslaptingi Markovo procesai
Matematika prieš eismo spūstis
Kita skaičiavimo metodų istorijos pusė
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Nuo kada Lietuvoje geriama kava?
Matematikos atgimimas Lietuvoje
Rymano hipotezės paaiškinimas
Išmatavimų triauškintojas
Santykis ir proporcija
Landau nuslopimas
Harmoninės eilutės
Loterijų matematika
Va tai šeimynėlė!
Smeilo paradoksas
Pirminiai skaičiai
Matroidai
Vartiklis