Paslaptingi Markovo procesai    

Prisiminkime Kretos karaliaus Mino pastatytą labirintą baisiajam Minotaurui, kurį įveikė Tesėjas, iš labirinto išėjęs sekdamas gražiosios Ariadnės siūlu. Šiandien jau žinoma keletas būdų, kaip išeiti iš painiausių labirintų. Iš labirinto tikrai išeisite, jei ties kiekviena kryžkele „pabursite“. O atsitiktinį klaidžiojimą po labirintą galima laikyti Markovo (1856-1922) procesu, o kai patalpų kiekis labirinte apibrėžtas, turime procesą su baigtiniu būsenų skaičiumi – ir jis visada ergodinis. Juose visada būtinai pateksime į norimą būseną, t.y. rasime išėjimą.

Mus supantys įvykiai skirstomi į privalomus (kasdien teka saulė), negalimus (vieną rytą saulė nepatekės) ar atsitiktinius (šiandien lis arba ne). Tarp atsitiktinių yra neturinčių įtakos kitiems, t.y. nepriklausomus. Bet daugelį įvykių labiau tinka vadinti nesusijusiais (pradėjo lyti ir metant monetą iškrito herbas). Nepriklausomi, pvz., tokie, kai metamos monetos rezultatas nepriklauso nuo ankstesnių bandymų (kad realiai tai nėra visiškai taip, skaitykite Moneta nekrenta atsitiktinai).

Vis tik daugiau priklausomų įvykių. Pvz., atsitiktinai tekste parinkta raidė gali būti balsė arba priebalsė. Sekanti raidė jau priklauso nuo šios – lietuvių kalboje labiau tikėtina, kad po priebalsės seks balsė. Tad įvykiai „pasirinkta raidė yra balsė“ ir „sekanti po jos raidė irgi balsė“ yra priklausomi.

Kokio nors reiškinio atsitiktinių įvykių seką vadiname atsitiktiniu procesu. Su atsitiktiniu įvykiu susijusi atsitiktinio dydžio (nebūtinai skaitinio) sąvoka. Pvz., metant lošimo kauliuką atsitiktiniu dydžiu gali būti iškritusių akių skaičius. Dydžiai taip pat gali būti priklausomi ir nepriklausomi. Tam tikro parametro (pvz., laiko) atžvilgiu sutvarkyta atsitiktinių dydžių seka ir yra atsitiktinis procesas (priklausomas arba nepriklausomas).

Tarp priklausomų išsiskiria silpnai priklausomų procesų grupė – tai Markovo procesai, kurių sekančią būsena lemia ne visa proceso praeitis, o tik dabartinė būsena. Pvz., kasdien matuojam upės lygį (tai atsitiktinis dydis). Matavimų seka sudaro Markovo procesą, nes spėjamas rytdienos priklauso ne nuo prieš metus buvusių matavimų, o tik nuo šiandienos matavimo. Taip ir labirinte – kaskart metant burtus, sekanti patalpa priklauso tik nuo dabartinės padėties.

Paprasčiausi Markovo procesai – Markovo grandinės, kai kiekvienas įvykis tarsi sujungtas su prieš einančiu į ilgą grandinę. Jų teorijos pradžia laikytinas 1906 m. straipsnis. Paėmęs A. Puškino poemą „Eugenijus Oneginas“ 20 tūkst. raidžių dalį, A. Markovas ištyrė balsių ir priebalsių kaitą ir nustatė, kad tai galima laikyti Markovo grandine. Bet labai greitai jos imtos taikyti gamtos moksluose, tapo tikimybių teorijos išplėtimu, kur didelį indėlį padarė A. Kolmogorovas.

Tikimybių teorijoje svarbiausios charakteristikos yra matematinis vidurkis ir dispersija. O atsitiktinių procesų teorijoje – proceso asimptotinis elgesys. Pvz., 10 kartų išmetus monetą, visąlaik gali iškristi herbas, tačiau ją metant labai daug kartų, labiau lauktinas yra 50% rezultatas. Asimptotinis Markovo grandinės elgesys labai priklauso nuo pradinės būsenos.

Turint baigtinį kiekį reikšmių, Markovo grandinė po kurio laiko būtinai grįš į tą pačią būseną, taigi, taps nepriklausoma nuo pradinės būsenos. Paimkime kortų kaladę. Jei norime, kad kortos joje būtų pasiskirsčiusios nepriklausomai, ją kelis kartus atsitiktinai išmaišome. Tokius Markovo procesus, kurie po daugelio žingsnių pasidaro beveik nepriklausomi nuo pradinės būsenos, vadina ergodiniais, t.y., po ilgoko laiko jie mažai skiriasi nuo nepriklausomų atsitiktinių dydžių sekos. Vis tik jie nėra visiškai nepriklausomi. Todėl profesionalūs kortų žaidėjai nelinkę po žaidimo maišyti kortų – jie kaskart ima naują kaladę.

1827 m. anglų botanikas R. Braunas¹⁾ per mikroskopą stebėjo smulkios kietos dalelės „šokį“ vandenyje – ją chaotiškai stumdė vandens molekulės. Tik 1906 m. A. Einšteinas matematiškai aprašė Brauno judėjimą, o netrukus tai padarė ir lenkas M. Smoluchovskis²⁾. Pasirodė, kad tai tik viena Markovo procesų atmaina. Vėliau tai išplėtojo „kibernetikos tėvas“ N. Vineris³⁾, o dabar jais modeliuojami difuziniai, dujų judėjimo, plazmos reiškiniai. Išsišakojančių procesų teoriją pastebėjo ir biologai. Juk evoliuciją (ypač mikroorganizmų) galima modeliuoti jų pagalba. O astronomijoje „mažos“ žvaigždės judėjimą galima suprasti kaip Brauno judėjimą...

Šioje srityje pasižymėjo ir Č. Darvino pusbrolis F. Galtonas⁴⁾, domėjęsis daugeliu dalykų: daktiloskopija, meteorologija (pasiūlęs anticiklono terminą), orientalistika, inžinerija (periskopas). Domino ir pusbrolio pasiekimai – ėmė tirti (gabumų) paveldėjimo priežastis ir 1869 m. paskelbia darbą „Paveldimas genijus“, davusį pradžią eugenikos teorijai.
Jis imasi tirti kilmingų giminių išnykimo problemą. Gal ir todėl, kad jo susidarytame genealogijos medyje buvo net keli karaliai. Kiekviena šeima turi atsitiktinį sūnų skaičių ir taip toliau per kartas. Kokios turi būti sąlygos, kad giminė išnyktų? Galtonas nustatė, kad taip bus tada ir tik tada, kai kiekvienos kartos sūnų šeimoje vidurkis neviršys 1, o tikimybė, kad pirmoje kartoje susilauks vieno sūnaus yra mažiau 1. Tik štai Galtonas neprisidėjo prie giminės išlaikymo – liko viengungiu.

Tuo pat metu panašų uždavinį sprendė ir kitas anglas, statistikas H. Votsonas⁵⁾, padėjęs, kartu su Galtonu, išsišakojančių procesų teorijos, iškilusios, skatinant branduolinių tyrinėjimų, 20 a. 5-me dešimtm., pagrindus. Mat bet kurio radioaktyvaus atomo branduolys skyla etapais: viena dalelė „pagimdo“ keletą naujų, šios vėl daro tą patį (arba „nepagimdo“) ir t.t. Be to, kartais tas procesas vyksta audringai (atominės bombos sprogimas), o kartais palaipsniui (branduolinė jėgainė). Vienas tų procesų pavadintas Galtono-Votsono vardu.

Vis tik didžiausią naudą Markovo procesai atnešė masinio aptarnavimo (kitaip, eilių) teorijai. Jos tikslas yra ne panaikinti eiles (tai neįmanoma), o nustatyti sąlygas optimaliam sistemų darbui (t.y., kad ir aptarnaujanti pusė (pvz., kasos) neliktų be darbo ar būtų perkrautos, ir klientas (pvz., pirkėjas) būtų greitai aptarnaujamas. Uždavinys keblus, nes viskam vadovauja atsitiktinumas – ir čia į pagalbą įsitraukia Markovo procesų teorija. Masinio aptarnavimo teorijos atsiradimą nulėmė telefonizacijos vystymasis. Kilo klausimas: kiek reikia nutiesti telefono linijų, kad ir abonentai galėtų susiskambinti, ir telefonų kompanijos neturėtų nuostolių. Juo 20 a. pradžioje susidomėjo danas K. Erlangas⁶⁾, padėjęs teorijos pagrindus.

Trumpos biografijos:

¹⁾ Robertas Braunas (1773-1858, Robert Brown) – škotų botanikas, išgarsėjęs chaotiško dalelių judėjimo atradimu. Domėjosi kriptografija (prieš amžių kaitą) – šia tema ir buvo paskelbtas pirmasis jo straipsnis (1801). 1801-1805 m. buvo Australijoje, kur surinko 3400 rūšių pavyzdžių, kurių apie 2000 buvo nežinomos. Grįžęs tvarkė surinktą medžiagą ir paskelbė daugelio rūšių aprašymus, 1810 m. išleido pirmąją sistemingą Australijos floros apžvalgą.

1827 m. per mikroskopą stebėjo žiedadulkes ir jų chaotišką judėjimą ir susimąstė, kodėl jos juda. Jam toptelėjo mintis, kad tai nesusiję su gyva medžiaga, jis pabandė su molio gumuliukais ir nustatė, kad judėjimas priklauso nuo temperatūros – šiltame vandenyje dalelės juda sparčiau. Brauno judėjimas – chaotiško šiluminio atomų ir molekulių judėjimo įrodymas.

²⁾ Marianas Smoluchovskis (Marian Smoluchowski, 1872-1917) – lenkų kilmės statistinės fizikos mokslininkas. Buvo aistringas alpinistas. Jo išvestos lygtys prisidėjo prie stochastinių procesų teorijos vystymo. Daug dirbo su Brauno judėjimo teorija, kurios pagrindu sukūrė koloidų koaguliacijos teoriją. Jo modeliai plačiai panaudojami praktikoje: pramoniniam vandens valymui, pieno koaguliacijai, leukocitų adhezijai, nanovamzdelių auginimui ir t.t. Jo darbai labai pakenkė „šiluminės Visatos mirties“ hipotezei.

³⁾ Norbertas Vyneris (Norbert Wiener, 1894-1964) – amerikiečių matematikas ir filosofas, kibernetikos mokslo ir dirbtinio intelekto pradininkas. Kertiniu tapo jo veikalas „Kibernetika“ (1948). Karo metu išvystė tikimybinę zenitinės gynybos teoriją.

⁴⁾ Frencis Galtonas (Francis Galton, 1822-1911) - anglų mokslininkas: antropologas, psichologas, geografas, išradėjas, meteorologas, daktiloskopas, genetikos pirmtakas, psichometrikas ir statistikas. 1909 m. buvo įšventintas į riterius. Sukūrė vieną pirmųjų ultragarso įrenginių – Galtono švilpuką. Įvedė eugenikos terminą. Žmonių savybių paveldėjimo duomenų tyrimo rezultatus išdėstė knygoje „Paveldimas genijus“ (1869); nustatė, kad talentingų žmonių šeimose talentingų žmonių gimsta daugiau.
Taip pat žr. >>>>>

⁵⁾ Henris Votsonas (Henry William Watson, 1827-1903) - britų matematikas, priklausė „Kembridžo apaštalams“. Parašė nemažai matematinių knygų, tame tarpe ir apie elektros ir magnetizmo matematiką, dujų kinetinę teoriją ir kt.

⁶⁾ Krarupas Erlangas (Agner Krarup Erlang, 1878-1929) – danų matematikas, statistikas ir inžinierius, sukūręs telekomunikacinių srautų pralaidumo bei masinio aptarnavimo teorijas. Jo svarbus veikalas yra „Tikimybių teorija ir telefoniniai pokalbiai“ (1909). Jo garbei pavadintas telekomunikacinių srautų matavimo vienetas (erlangas).

Algebros istorija
Jų begalinė išmintis
Kur viešpatauja chaosas
Alef: begalybės paieškos
Matematikai: Pjeras Ferma
Iniciatyva: Matematikos keliu
Izingo modelis įmagnetinimui
Gausas – iškirstas langas į 19 a.
Galua – genijus ir revoliucionierius
P. Florenskis ir Maskvos matematikai
Ar jau rūksta dūmai? Navier Stokes lygtys
Netiesinis mąstymas: išspręsti neišsprendžiamą
Kolmogorovo DI alfa ir omega
Fundamentaliosios matematikos teoremos
Matematikos filosofinės problemos
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Vidurkiai ir matematinė viltis
Revoliucija mazgų teorijoje
3-iojo tūkstantmečio mokslas
Matematikai: Anri Puankarė
Jų begalinė išmintis
Pjeras Simonas Laplasas
Monte-Karlo metodas
Perkoliacija
Vartiklis