Alef paslaptis: begalybės paieškos

Maždaug 6-5 a. pr.m.e. graikai atrado begalybę. Ši koncepcija buvo tokia visaapimanti, tokia neįprasta, taip prieštaraujanti žmogaus prigimčiai, kad jaukė senovės filosofų ir matematikų mintis, keldama skausmą, pamišimą ir, bent vieną, savižudybę.

Begalybės idėja atėjo apmąstant Zenono iš Elėjos (495-435 m. pr.m.e.) paradoksus, kurių garsiausias yra Achilo lenktynės su vėžliu. Kadangi vėžlys lėtesnis, jam davė trumpesnę distanciją. Zenonas samprotavo taip: tuo metu, kai Achilas pasieks tašką, kuriame bėgti pradėjo vėžlys, šis bus jau kažkiek nubėgęs į priekį, o kai Achilas pasieks tą vietą, vėžlys vėl bus dar toliau ir t.t. Taigi Achilas niekada nepavys vėžlio. Zenonas iš šio paradokso padarė išvadą, kad judėjimas yra negalimas, jei leisim be galo dalinti erdvę ir laiką (kuo ne kvantinės mechanikos teiginys? Taip pat žr. Parmenido teiginius, kad pasaulyje niekas nejuda).

Pastaba: tas faktas, kad begalinė (Achilo nubėgtų atstumų) suma gali būti baigtinis skaičius, vadinama konvergavimu.

Ir vis tik begalybės idėjos ištakos yra šimtmečiu anksčiau ir siejamos su garsiuoju Pitagoru iš Samos salos (569-500 m. pr.m.e.). Iki jo matematikai neturėjo minties, kad rezultatai (dabar vadinami teoremomis) gali būti įrodinėjami. Geometrija buvo empiriškai nustatytų taisyklių rinkinys. Pitagoras ir jo mokykla sukūrė ištisą matematikos sistemą, kurioje geometrijos elementai atitinka skaičius, o sveikų skaičių ir jų santykių visiškai pakanka, kad būtų sukurta išbaigta loginė sistema. Tačiau vienas dalykas sudaužė tobulą pitagoriečių pasaulį – iracionaliųjų skaičių atradimas.

Pitagoriečių mokykla Krotonoje (pietų Italijoje) pasižymėjo griežtomis taisyklėmis. Jos nariai tikėjo metempsichoze, sielų persikėlimu, o todėl negalima žudyti gyvūnų, nes juose gali būti įsikūniję draugų sielos. Todėl pitagoriečiai buvo vegetarai. Ir kartu jiems matematikos bei filosofijos studijos buvo moralinio gyvenimo pagrindas. Manoma, kad būtent Pitagoras įvedė žodžius filosofija (meilė išminčiai) ir matematika (tas, kuris išsilavinęs). Pitagoras numatė du mokymo tipus: vienas jų skirtas tik bendruomenės nariams, o kitas visuomenei. Iracionalių skaičių egzistavimas tebuvo atskleidžiamas tik bendruomenei, kurios nariai buvo prisiekę tai laikyti paslaptyje.

Pitagoriečiai turėjo simbolį – penkiakampę žvaigždę penkiakampyje, kurios viduje buvo kitas penkiakampis, o šio viduje vėl žvaigždė ir t.t. iki begalybės. Šioje figūroje įstrižainę susikertanti linija dalijo į dvi nelygias dalis – ir ilgesniosios santykis su trumpesniąja buvo aukso vidurio reikšmė, mistinis santykis, sutinkamas gamtoje ir menuose. Aukso vidurys (1,6180339887…) yra dviejų gretimų Fibonačio (1170-1250) sekos narių santykio riba (Fibonačio sekoje kiekvienas narys yra dviejų ankstesnių suma: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …). Tai iracionalus skaičius, turintis po kablelio begalinę dalį be pasikartojimų.

Skaičių mistika atsirado ne pas pitagoriečius, tačiau jie skaičių garbinimą iškėlė į aukščiausią lygį, - tiek matematiniu, tiek religiniu atžvilgiu. Visų skaičių generatoriumi jie laikė vienetą - nes kiekvienas Triangular Numbers skaičius galėjo būti gautas prie ankstesnio pridėjus vienetą ir taip iki begalybės. Du buvo pirmasis lyginis skaičius ir perteikė nuomonę (pitagoriečiai lyginius skaičius laikė moteriškais, o nelyginius vyriškais). Trys buvo pirmasis iš tikro pirminis skaičius, todėl reiškė harmoniją. Keturi, pirmasis kvadratas, buvo teisingumo simbolis. Penki reiškė vedybas – pirmojo moteriško ir pirmojo vyriško skaičių jungtis. Šeši - sutvėrimo skaičius. Septyni kėlė pagarbią baimę, nes tai buvo septynių planetų arba „klaidžiojančių žvaigždžių“ skaičius.

Švenčiausias skaičius buvo 10 (tetractys), perteikęs Visatą ir buvo visų geometrinių dimensijų generatorių suma 10=1+2+3+4 , kur 1 nusako tašką (nulinė dimensija), 2 – tiesę, 3 – plokštumą ir 4 – tetrahedroną. Dešimt yra trianguliarus skaičius (tai skaičiai, kurių elementai sudaro trikampius; mažesni trianguliarūs skaičiai yra 3 ir 6, o sekantis po 10 – 15). Vėlesnių laikų pitagorietis Philalaosas (4 a. pr.m.e.) pagarbiai rašė apie trianguliarius skaičius, ypač tetractys, kurį apibūdino kaip visagalį, visa sudarantį, dieviško ir dangiško gyvenimo pradžią ir vadovą.

Ir pitagoriečiai nustatė, kad yra skaičių, kurių negalima užrašyti trupmena. Tą išvadą padarė iš garsiosios Pitagoro teoremos, kad stačiojo trikampio įžambinės kvadratas yra lygus jo statinių kvadratų sumai, c2=a2+b2. Teoremą pritaikius trikampiui, kurio abu statiniai lygūs 1, gauname c2=12+12=2, iš čia c=v2. Pitagoriečiai nustatė (skaitykite apie tai), kad šio skaičiaus negalima užrašyti trupmenos pavidalu (trupmenų arba kitaip racionaliųjų skaičių dešimtainė dalis arba baigiasi nuliais arba pasikartojančia seka, pvz., 1/2=0,50000..., 2/3=0,66666..., 6/11= 0,54545454...). Iracionalūs skaičiai neturi tokios pasikartojančios sekos (pvz., v2= 1,414213562373095…).

Manoma, kad pitagorietis Hipasijus padarė baisų nusikaltimą, atskleisdamas iracionalius skaičius pasauliui. Yra daug legendų apie šio poelgio pasekmes. Vienos jų teigia, kad jis buvo išvarytas iš bendruomenės, o kitos pasakoja apie sunkią jo mirtį – vienose pats Pitagoras pasmaugia ar paskandina išdaviką, kitose pitagoriečiai kasa jam kapą ir mistiškai sukelia jo mirtį ir pan. Pitagoras mirė apie 500 m. pr.m.e., jo pasekėjai pasklido po pasaulį, Krotonos centrą užpuolė ir daugelį pitagoriečių nužudė konkuruojanti Sybaris grupė. Išlikusi grupė įsikūrė Tarantume.

Skaičių dieviškumo idėją pakeitė turtingesnė kontinuumo koncepcija, kimusi kartu su geometrija. Geometrijoje dirbama su linijomis, kampais ir plokštumomis, kurie visi yra vientisi. Iracionalūs skaičiai (kaip pi=3,141593…) yra tikri kontinuumo gyventojai

Platono susižavėjimas Pitagoro matematika Atėnus pavertė matematikos centru, o Akademija išugdė bent 4-is garsius matematikus, kurių iškiliausias yra Archimedes poststamp Eudoksas. Platonas ir jo mokiniai suprato kontinuumo jėgą. Ant Akademijos vartų buvo išrašyta: „Tegu nė vienas neišmanantis geometrijos čia nežengia“. Platono dialogai rodo, kad neišmatuojamų dydžių, iracionalių skaičių, kaip kvadratinė šaknis iš 2 ar 5, atskleidimas apstulbino graikų matematinę bendruomenę.

Pitagoriečiai dydžius išreiškė akmenukais arba calculi (iš čia kilęs ir žodis „kalkuliatorius“). Akademijos matematikų ir Euklido dėka dydžiai tapo susieti su atkarpomis, nes akmenukų vietą užėmė aritmetizuota geometrija. Pvz., kvadratinių lygčių sprendimas buvo atliekamas ne algebriškai, o kaip stačiakampių plotų uždavinio sprendimas. „Respublikoje“ Platonas rašo: „Aritmetika turi didelį ir pakylėtą efektą, skatinanti mąstyti apie abstraktų skaičių“. „Timėjus“, kuriame aprašyta Atlantida, pavadintas pitagoriečio vardu.

Zenono begalybės idėją atgaivino Eudoksas iš Knido (408-355 m. pr.m.e.) ir Archimedas iš Sirakūzų (287- 212 m. pr.m.e.). Šiedu matematikai ėmė naudoti be galo mažų skaičių sąvoką, kai skaičiavo plotus ir tūrius. Jie figūros plotą dalijo į daug mažų stačiakampių, skaičiavo jų plotą ir jį naudojo kaip figūros ploto aproksimaciją (iš principo, tai integralinis skaičiavimas).

Eudoksas buvo vargšas, tačiau turėjo dideles ambicijas. Jo indėlis svarus ir fizikoje, teisėje, netgi astronomijoje. Matematikoje jis sukūrė priartėjimo metodą, kurį naudojo plotų ir tūrių skaičiavimui. Tam nebūtina, kad egzistuotų be galo maži dydžiai, pakanka juos turėti „kiek norima mažus“ – puikus įvadas į dalinės begalybės koncepciją. Vėliau Eudokso techniką po šimtmečio išplėtė Archimedas, išgarsėjęs daugeliu atradimų, kurių plačiai žinomas yra kūno tūrio apskaičiavimas panardinant jį į vandenį. Naudodamas priartėjimo metodą jis nustatė, kad į sferą įbrėžto kūgio, kurio pagrindas yra sferos skersmuo, tūris yra trečdalis sferos tūrio. Ant jo kapo buvo iš akmens išgraviruotas ė sferą įbrėžtas kūgis.

Deja, vėliau ištisus du tūkstantmečius mažai pasistūmėta nustatant matematines begalybės savybes, nors begalybės koncepcija ir atgimė Viduramžiais – religijos kontekste.

Parabolė
Eudoksas iš Knido
Jų begalinė išmintis
Borchesas ir matematika
Hipatija – pirmoji matematikė
Iniciatyva: Matematikos keliu
Graikų matematikai - filosofai
A. Whitehead. Skaičiavimų prigimtis
Platonas buvo teisus dėl įgimtų idėjų
Pagrindinės statistinės sąvokos
Mokslininkui nereikia matematikos!
P-NP: Ant sveiko proto svarstyklių
P. Florenskis ir Maskvos matematikai
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Kita skaičiavimo metodų istorijos pusė
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Džordžas Birkhofas - matematikas ir meno matuotojas
Matematikos ir fizikos šmaikštumai
Moksleivis „perkando“ I. Niutono uždavinį
Da Vinči matematinė klaidelė
Matematikos filosofinės problemos
Pagrindinė aritmetikos teorema
Didžiausias bendras daliklis
Abelio premijos laureatas
Matematikai: Pjeras Ferma
Euklidas iš Aleksandrijos
Ar įrodytas abc teiginys?
Peteris Karvašas. Archimedas
Amžininkai apie Laplasą
Matematika ir muzika
Harmoninės eilutės
Zenono paradoksai
Dalyba iš nulio
Pirminiai dvyniai
Vartiklis