Pitagoro teorema

Tai matematikos teorema, kurios bent pavadinimą girdėjo dauguma. Ji teigia, kad stačiojo trikampio statinių kvadratų suma lygi įžambinės kvadratu, kitaip a2+b2=c2

Pvz., jei a=6, o b=8, tai c bus lygu kvadratinei šakniai iš 62+82=36+64=100, t.y. c=10

Paskaitykite ir Ar viskas čia taip?

Istorija

Teorema pavadinta graikų matematiko Pitagoro (569-475 m. pr.m.e.) vardu, tačiau ji jau anksčiau buvo žinoma babiloniečiams, indams, kinams. O seniausias išlikęs teoremos įrodymas Senovės Graikijoje yra Euklido „Pradmenyse“, o jos priskyrimas Pitagorui tėra tik rašiniuose, parašytuose praėjus 5 a. po Pitagoro mirties.

M. Kantoras mano, kad Pitagoro teorema kraštinėms 3, 4 ir 5 buvo žinoma jau senovės Egipte apie 2000 m. pr.m.e. (pagal Berlyno muziejuje esantį papirusą nr. 6619, datuojamą 2000-1786 m. pr.m.e.). Kiek daugiau žinoma apie teoremą Babilone. „Plimpton 322” molio lentelėje, datuojamoje maždaug 1790-1750 m. pr.m.e., t.y. valdant Hamurabiui, tekste pateikiama keletas užrašų, artimų Pitagoro trejetams.

Indijos „Baudhayana Sulba sutra“, datuojama kažkur 8-2 a. pr.m.e., pateikia Pitagoro trejetų sąrašą, teoremos formuluotę ir geometrinį jos įrodymą lygiašoniams trikampiams. „Apastamba Sulba sutra“ (apie 600 m. pr.m.e.) pateikia skaitinį teoremos įrodymą panaudojant plotų paskaičiavimus. Gali būti, kad remiamasi ankstesnėmis tradicijomis.

Žinoma anksčiau, tačiau išlikusi 1 a. pr.m.e. „Čou Pei Suan Čing ” pateikia Pitagoro teoremą su piešiniu (Kinijoje vadintoje Gougu teorema) trikampiui su kraštinėmis, lygiomis 3, 4 ir 5. Hanų dinastijos laikotarpiu (202 m. pr.m.e. – 220 m.) Pitagoro trejetas pateikiamas „Devyniuose matematikos skyriuose“, paminint ir stačiuosius trikampius.

Įrodymai

Mokslinėje literatūroje užfiksuota daugybė šios teoremos įrodymų (bent jau 367). Tai atspindima netgi grožinėje literatūroje – J. Veltistovo „Elektroniko nuotykiuose“ pagrindinis veikėjas mokykloje ant lentos surašo 25-is skirtingus šios teoremos įrodymus, tuo nustebindamas matematikos mokytoja ir bendraklasius.

Šiuos įrodymus galima suskirstyti į kelias klases: plotų metodu, aksiominiai ir egzotiniai (pvz., diferencialinių lygčių priemonėmis).

Paprasčiausias įrodymas

Šis įrodymas nereikalauja ploto sąvokos ir išvedamas vien tik iš aksiomų.

Paimkime statųjį trikampį ABC su stačiu kampu C, iš kurio nuleiskime aukštinę CH į įžambinę AB. Trikampis ACH yra panašus į trikampį ABC pagal du kampus. Pagal tai ir trikampis CBH panašus į trikampį ABC.

Tad
a/c = |HB| / a;
b/c = |AH| / b

Iš čia gauname
a² = c*|HB|
b² = c*|AH|

Sudėję abi lygtis gauname:
a² + b² = c*(|HB|+|AH|) = c²

Įrodymas panaudojant plotus

1. išdėliokime 4-is lygius stačiuosius trikampius kaip parodyta piešinyje;

2. keturkampis c yra kvadratas, nes dviejų smailų kampų suma yra 90^o, o išskleistas kampas lygus 180^o

3. Visų figūrų plotų suma lygi, iš vienos pusės, kvadrato su kraštine (a+b) plotui, o iš kitos pusės, keturių trikampių ir vidinio kvadrato plotui.

Tad:


c²=a²+b²

Euklido įrodymas

Šio įrodymo idėja tokia: įrodinėjama, kad pusė įžambinės kvadrato ploto lygi abiejų statinių plotų pusei.

Iš kampo C nuleidome aukštinę AH ir ją pratęsėme taip, kad ji kirstų įžambinės kvadratą, sudarydama du stačiakampius: BHJI ir HAKJ. Pasirodo, kad šių stačiakampių plotai yra lygūs statinių kvadratų plotams.

Tad ir pabandome įrodyti kad kvadrato DECA plotas lygus stačiakampio AHJK plotui. Trikampio su tokiu pat pagrindu ir aukščiu, kaip ir tasai stačiakampis lygus pusei to stačiakampio (nes toks trikampis, pvz., AHK, dalija stačiakampį AHJK pusiau). Iš čia trikampio ACK plotas lygus trikampio AHK plotui.

Dabar įrodysime, kad ACK plotas lygus ir pusei kvadrato DECA ploto. Tam reikia įrodyti, kad trikampiai ACK ir BDA yra lygūs (nes BDA plotas lygus pusei kvadrato ploto pagal prieš tai nurodytą savybę). Tie trikampiai turi dvi lygias kraštines ir kampą tarp jų (AB=AK; AD=AC; o kampai CAK = BAD , kas akivaizdu pasukus CAK 90^o priešais laikrodžio rodyklę, atsižvelgiant, kad kampas prie kvadrato viršūnės lygus 90^o).

Analogiškai įrodoma kvadratui BCFG ir stačiakampiui BHJI.

Tuo pačiu įrodėme ir Pitagoro teoremą.

Leonardo da Vinči įrodymas

Pagrindiniai šio įrodymo elementai yra simetrija ir perkėlimas.

CI kerta kvadratą ABHJ į dvi vienodas dalis (nes trikampiai ABC ir JHI lygūs pagal jų sudarymo principą). Pasukę 90^o prieš laikrodžio rodyklę, pastebėsime, kad patamsintos sritys CAJI ir GBAB yra lygios. Tampa aišku, kad patamsintos srities plotas lygus statinių kvadratų plotų sumos pusei bei pradinio trikampio plotui. Iš kitos pusės, jis lygus pusei įstrižainės kvadrato pusei kartu su pradinio trikampio plotui.

Tai ir įrodo Pitagoro teoremą.

Įrodymas diferencialinių lygčių pagalba

Šis įrodymas dažnai priskiriamas anglų matematikui Godfrey Harold Hardy (1877-1947).

Keisdami a statinio ilgį galime (pasinaudodami trikampių panašumu) užrašyti:

Iš čia gauname c*dc = a* da

Bendresniu atveju, kai keičiami abiejų statinių ilgiai, lygtys atrodo taip:
c*dc=a* da+b*db

Ją integruodami, ir panaudoję pradines sąlygas, gauname:
c2= a2+ b2 + konstanta

Taigi, gaunami ieškomą išraišką c2=a2+b2

Pirminiai skaičiai
Ar viskas čia taip?
Pitagoras i­ Samos
Euklidas iš Aleksandrijos
Kokiu greičiu skriejame?
Pagrindinė aritmetikos teorema
Didžioji Ferma teorema
Iniciatyva: Matematikos keliu
Matematika Egipte ir Finikijoje
Alef paslaptis: begalybės paieškos
A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė
Kaip supakuoti standžiau?
Naujas pirminių skaičių dėsningumas
Pagrindinės algebrinės struktūros
Diagramos, pakeitusios pasaulį
Matematika Egipte: Rindo papirusas ir kt.
Da Vinči matematinė klaidelė
Pagrindinės statistinės sąvokos
Surasta trilijonas trikampių
Matematikai: Davidas Hilbertas
Harmoninės eilutės
Hiparchas iš Rodo
Algebros istorija
Dalyba iš nulio
Nulio istorija
Pirminiai dvyniai
Kobolo motina
Erdvės formos
Haketonai
Vartiklio naujienos