Kirmgrauža tarp matematikos sričių. Vartiklis

Kirmgrauža (arba sliekangė) – teorinė galimybė, kad tolimi erdvės taškai sujungti erdvėlaikio kilpomis, leidžiančiomis greitai persikelti dideliais atstumais, žr. >>>>> f=e^x

Tai Oilerio tapatybė. Matematikai alpsta nuo jos grožio ir net suranda sąryšius su Visatos sandara. Ji dukart šmėkštelėjo „Simpsonuose“ (epizoduose „MoneyBART“ ir „Siaubo namelis medyje“, apie tai žr. >>>>>). O ateiviai šią formulę koduoja javų ratuose...

Jos esmė – kad ji susieja dvi transcendentines^*) (iracionalius skaičius) konstantas e ir p, kurie nuolat maskatuojasi mokslo srityje. Tačiau jie yra tarsi atėję iš skirtingų tikrovių.
p=3,14159... siejama su tobula simetrija ir apskritimu; jis sutinkamas dangaus kūnų orbitose bei šviesos bangose.
e=2,71828... yra eksponentinio didėjimo pagrindas ir sutinkama branduolio skilimo reakcijose ar Muro dėsnyje (apie tranzistorių skaičiaus didėjimą lustuose), t.y. visur, kur kas nors didėja...

Ją užrašė Leonardas Oileris (1707-1783), vienaakis šveicarų genijus, kurį Fridrichas Didysis vadino „mūsų ciklopas“, knygoje „Įvadas į begalybės analizę“ (1748). Tačiau e ir p susiję labai keistai – per menamų skaičių plokštumą, jos matą i, kuris yra kvadratinė šaknis iš -1 (

), kuri realių skaičių karalystėje neegzistuoja.

Įjunkime vaizduotę ir prisiminkime f(x) = e^x grafiką, aukštyn sparčiai kylančią kreivę. Tačiau į laipsnį pridėkime (e^ix) – ir pamatysime amžiną sukimąsi aplink koordinačių centrą. Kuo ne amžinoji samsara?! f=e^ix

Tai ir yra Oilerio magija – realių skaičių eksponentinio didėjimo pagrindą (e karaliją) paversti amžinuoju pasikartojimu (p domenu). Daugelis niekada nepagalvojote, kad matematika yra „graži“, - tačiau argi nežavi šių sunkiai suvokiamų dalykų paprastai užrašytos formulės? Tačiau panorus susipažinti su įrodymu, jus iš visų pusių apsups begalinės eilutės, faktorialai, ir grandininės trupmenos, kurios auga viena iš kitos tarsi lėlės rusų „matrioškoje“.

Bet paeikime dar truputį į priekį – imkime funkciją:
f(x) = e^zx, where z=(a + bi). Ir jau turėsime ne apskritimą, o logaritminę spiralę, kuri savyje derina ir sukimąsi ratu ir didėjimą. Jos irgi sutinkamos visa kur gamtoje, nuo jūros kriauklių iki spriralinių galaktikų gigantiškų „rankovių“. Ir jau atrodo, kad pavyks ištrūkti iš samsaros rato, tačiau viltis beviltiška – spiralė nusivynioja į begalybę... (paskutinis piešinukas)...

Tačiau tai dar ne viskas, - visa tai glaudžiai susiję su universaliuoju „grožio principu“ – „Aukso pjūviu“ bei Fibonačio skaičių seka (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...), kurie aprašo lapų išsidėstymą augaluose ir kitus dėsnius (o prisimenate, „žmogus visa ko matas“?). Ši mistika glūdi Furjė transformacijose, kurios leidžia skaitmenizuoti muziką ir yra visakeriopai f=e^zx

pakinkytos įvairiuose su bangomis susijusiuose reikaluose – kvantinėje mechanikoje, elektronikoje, signalų apdorojime, - ir galiausiai, be jų neegzistuotų kompiuteriai.

^*) Transcendentinis skaičius - realusis arba kompleksinis skaičius, kuris nėra algebrinis skaičius (t. y. negali būti polinomo lygties su racionaliais koeficientais sprendinys). Pirmąkart transcendentualių skaičių sąvoką 1844 m. įvedė Ž. Liuvilis.

Jų savybės:

Transcendentinių skaičių aibė yra kontinuuli, t.y. jos galia (kardinalusis skaičius) lygi realiųjų skaičių galiai.

Visi transcendentiniai skaičiai yra iracionalieji.