Ferma taškas Ferma taškas

Ferma taškas - tai taškas plokštumoje, nuo kurio bendra visų atstumų iki trikampio viršūnių suma yra mažiausia. Ferma taškas pateikia sprendimą Šteinerio uždaviniui apie minimalaus medžio sudarymą trikampio viršūnėms.

Tai toks taškas P, kad trikampiui ABC d(P) = |AP|+|BP|+|CP| būtų mažiausias.

Taip jis pavadintas taip todėl, kad tokio taško suradimo uždavinį, kaip iššūkį Evangelistai Toričeliui, laiške pateikė P. Ferma. Tasai uždavinį išsprendė panašiu būdu kaip ir Ferma, nors ir panaudojo apie tris trikampius apibrėžtų apskritimų sankirtą. Jo mokinys Viviani sprendimą paskelbė 1659 m.

Taškas dar vadinamas ir Toričeli tašku, ypač kontekste, kaip taškas, iš kurio visos trikampio viršūnės matomos 120o kampu. Toks taškas egzistuoja tik trikampiuose, neturinčiame kampo didesnio už 120o, be to jis yra vienintelis ir sutampa su Ferma tašku.

Fiziškai Ferma tašką galima nustatyti taip. Ant plokščio lygaus paviršiaus pažymėkime tris taškus A, B, C ir juose išgręžkime kiauras skyles, Suriškime tris siūlus ir jų laisvus galus prakiškime pro skyles ir prie jų pririškime vienodo svorio svarmenis. Mazgo taškas ir bus Ferma taške. Ferma taško nustatymas

Teorema (E. Toričeli, B. Kavaljeri, T. Simpsono, F. Cheineno, Ž. Bertrano). Ant laisvai pasirinkto trikampio ABC kraštinių į išorę nuo jo nubrėžkime papildomus lygiašonius trikampius ABC‘, BCA‘, CAB‘. Tada šešios kreivės – trys apskritimai, apibrėžti apie tuos trikampius ir tiesės AA‘, BB‘, CC‘ susikerta viename taške S. Jei trikampis ABC neturi kampo, didesnio už 120o, tada S yra trikampio viduje ir yra Ferma tašku.

Šiuo atveju kampai tarp atkarpų AS, BS ir CS yra lygūs, tad, vadinasi, jie yra lygūs 120o. Be to, atkarpų AA‘, BB‘ ir CC‘ (vadinamų Simpsono linijomis) ilgiai irgi lygūs ir yra lygūs |AS|+|BS|+|CS|.

Tačiau, jei trikampis turi kampą, didesnį už 120o, tada susikirtimo taškas S yra už trikampio ribų, o Ferma taškas sutampa su trikampio bukojo kampo viršūne.

Teorema nurodo algoritmą Ferma taško suradimui naudojant liniuotę ir skriestuvą. Tuo netrivialiu atveju, kai trikampis neturi kampo didesnio už 120o. Ferma taškas randamas kaip bet kurių dviejų apskritimų, nurodytų teoremoje, susikirtimo taškas.
Ferma taško teoremos iliustracija

Kitas būdas surasti Ferma tašką trikampio viduje yra naudoti matematinio optimizavimo metodus, pavyzdžiui Lagranžo daugiklių metodą arba kosinusų teoremą.


Trumpos biografijos

Evangelista Toričelis (Evangelista Torricelli, 1608–1647) – italų fizikas ir matematikas, Galilėjaus mokinys, labiausiai žinomas kaip gyvsidabrinio barometro, skirto oro slėgio matavimui, išradėjas, o taip pat darbais optikos srityje. Gabrieliaus ragas
Matematikoje pagarsėjo kaip Toričelio trimito (dažnai vadinamo „Gabrieliaus ragu“), baigtinio tūrio figūros, kurios plotas begalinis, atradimu. Tai tuo metu daugeliui, kaip ir pačiam Toričeliui, atrodė kaip „neįtikėtinas“ paradoksas ir paskatino diskusijas apie begalybės prigimtį. Toričelis taip pat buvo pionierius darbais begalinių eilučių srityje.

Vincenco Vivianis (Vincenzo Viviani, 1622-1703) – italų matematikas ir mokslininkas, Toričelio ir Galilėjaus mokinys, pirmosios Galilėjaus biografijos autorius.
1660 m. tiksliau išmatavo garso greitį, 1661 m. tyrinėjo įrenginį, po dviejų šimtmečių gavusį Fuko švytuoklės pavadinimą. Tyrinėjo cikloidę ir parodė, kaip jai nubrėžti liestinę. Įrodė, kad kampo trisekciją galima atlikti panaudojant lygiašonę hiperbolę.

Perkoliacija
Trikampiai skaičiai
Meilės sinusoidė
Pitagoro teorema
Santykis ir proporcija
Parabolės lenktas likimas
Surasta trilijonas trikampių
Matematikos pradžia Lietuvoje
Apie Tarskio skritulio kvadratinimą
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Aukso gysla Ramanadžano lygtims
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Kita skaičiavimo metodų istorijos pusė
Neapibrėžtumas, tikimybė ir prognozė
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Pasaulį pakeitusios diagramos
Iniciatyva: Matematikos keliu
Dioklas ir jo cizoidė
Gyvenimo gėlelė
Algebros istorija
Mazgų teorija
Topologija
Vartiklis