Intuityvusis įvadas į eksponentines funkcijas  

„Didžiausias žmonių rasės trūkumas yra nesugebėjimas suprasti eksponentinę fiunkciją“, Albert A. Bartlett‘as, 1976  

e visad mane trikdė – bet ne raidė, o matematinė konstanta. Ką ji iš tikro reiškia?
Ji nuolat šmėžuoja kaip logaritminių ir eksponentinių funkcijų pagrindas, naudojama banko palūkanų, radioaktyvaus skilimo, akumuliatorius išsikrovimo laiko ir pan. paskaičiavimams.

Oficialus apibrėžimas yra nuobodus:
e - konstanta (kartais dar vadinama Oilerio skaičiumi arba Neperio konstanta) yra natūralaus logaritmo funkcijos pagrindas, kurio apytikslė reikšmė yra
2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525...
Dar bandoma ją apibrėžti per sekos ribą, per begalinės eilutės, sumuojančios atvirkštinius faktorialus, sumą, per integralo reikšmę...

Faktorialų suma
Būtent taip Oileris paskaičiavo e  reikšmę iki 18 ženklų po kablelio.

Tačiau e nėra vien tik skaičius. Iš tikro e yra didėjimo sparta bendra visiems tolygiai greitėjantiems procesams. Ji parodo, ar sistemos keičiasi eksponentiškai: populiacijos pokytis, radioaktyvus skilimas, ... Štai keli pavyzdžiai sistemų, kuriose kažkas padvigubėja per laiko intervalą:

  • Bakterijų po dalijimosi padvigubėja po 24 val.;
  • perlaužus lazdeles jų skaičius padvigubėja;
  • pinigų kiekis padvigubėja dvigubai per metus, jei jūsų grynasis pelnas yra 100% (ach tie laimingieji!?)
  • Po n padvigubėjimų mes turime 2n pradinių objektų; arba, perrašius kitaip, (1+100%)n. Panašiai, vietoje 100% mes galime įrašyti bet kurią kitą reikšmę ir gausime augimo formulę tai naujai spartai, t.y. (1+sparta)n. Pvz., jei mes investavome 1 eurą su 10% palūkanomis, tai po 10 m. jis mums gražins (1+10%)10 euro, t.y. apie 2,6 Eur. Eksponentinis kitimas

    Šioje formulėje kitimai vyksta diskrečiais žingsniais. Visos bakterijos laukia, o tada visos kartu staiga skyla. Mūsų pelnas stebuklingai padvigubėja praėjus tiksliai metams ir t.t. Tačiau realiame pasaulyje taip nevyksta. Juk kai tik mes uždinbome centą, tas centas gali pradėti uždirbinėti naujus centus.

    Imkim pavyzdį, kai per metus uždirbame 100% pradinio kapitalo. Tada per pusę metų, uždirbsime 50%, o per kitą pusmetį – kitą 50%. Taip galime dalinti į 3,4,5,… dalis – tada per n periodų gausim grąžą lygią (1+100%/n)n. Ir kai n artėja į begalybę, gauname ribinę reikšmę, apytiksliai lygią 1,718…, t.y. e:
    E riba

    Tačiau ką visa tai reiškia?

    e yra maximali įmanoma grąža turint 100% augimo spartą per tam tikrą laiko intervalą. Tarkim, pradedam su 1 Eur. Po metų galim tikėtis 2, tačiau, jei metus dalijame pusiau, tai įdarbinę pusmečio „dividendus“, per metus gausime … 2,25. O jei dalintume į ketvirčius, tai metai mums atneštų jau 2,44, o jei pamėnesiui – 2,61… ir kuo smulkesnis padalijimas, tuo labiau įdarbijami mikrodividendai, tuo metinė grąža artimesnė e.

    Bet grįžkim prie ankstesnio pavyzdžio su 10% palūkanomis. Maksimali grąža šiuo atveju būtų (1+0,1/n)n, o tai lygu e0,1, t.y. esparta. O per 2 m. - e2*sparta.

    Ir iš čia gauname įdomią išvadą. ex gali reikšti du dalykus:

  • x gali reikšti laikotarpių kiekį esant 100% augimui;
  • x gali reikšti pačią augimo spartą.
  • Pavyzdys iš tikimybių teorijos: žaidžiant ruletę ir kaskart statant tą patį numerį, tikimybė, kad pralošite visus iš 37-ių žaidimus, yra 1/e.

    Kaip atsirado e?

    17 a. škotų matematikas Dž. Neperis*) ieškojo paprastesnio būdo didelių skaičių daugybai, atskiru atveju – laipsnių. Ir nors jis neatrado e, tačiau gavo logaritmų, kuriuos paskaičiavo naudodamas e jam pačiam to nežinant, sąrašą. Tai jis paskelbė „Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio“ (1614). Tik po 70 m. logaritmų sąrašas buvo susietas su eksponente: 1683 m. šveicarų matematikas Jakobas Bernulis atrado e, kai sprendė uždavinį, susijusį su palūkanomis. Jis ją užrašė kaip ribą:
    E riba

    Ir galiausiai L. Oileris suteikė e pavadinimą ir įrodė jo iracionalumą.


    *) Džonas Neperis (John Napier of Merchiston, 1550-1617) – škotų matematikas, fizikas ir astronomas. Plačiausiai žinomas už logaritmų atradimą; taip pat išrado Neperio lazdeles, kurias dėliojant pagal tam tikras taisykles, gaunama skaičių sandauga. Pirmasis paskelbė logaritmų lenteles. 1560 m. Škotijoje, po atkaklios kovos, įsigalėjo protestantiškoji Reformacija. Neperis, karštai tikintis puritonas, laiką leido užsiimdamas teologija, astrologija ir su ja susijusiais matematiniais paskaičiavimais. Anot jo, Biblijos pranašysčių visad buvo pagrindiniu jo užsiėmimu, o matematika jam tebuvo poilsiu. Vis tik liko žinomas dėl „poilsio darbų“.
    Jo garbei pavadintas krateris Mėnulyje ir asteroidas nr. 7096.


    Funkcija, tolydi visiems iracionaliems skaičiams, tačiau trūki visiems racionaliems

    Apibrėžkime funkciją f(x) taip:
    f(p/q)=1/q,  jei p/q yra racionalus skaičius su mažiausiais nariais, o q>0;
    f(x)= 0,  kai x yra iracionalus skaičius. Žvaigždžių virš Babilono funkcija

    Kartais ši funkcija vadinama „liniuote“, nes jos grafikas primena liniuotės sužymėjimą. O jos nepaprasta savybė yra ta, kad ji yra tolydi visiems iracionaliems skaičiams, tačiau trūki visiems racionaliems skaičiams. Jos trūkumas gana akivaizdus, tačiau jos tolydumą sunkiau įrodyti. Kalbant vaizdžiai, racionalūs skaičiai negali priartėti prie iracionalaus x kitaip, nei jų vardikliui artėjant į begalybę, tam, kad f artėtų prie 0.

    Formaliai. Paimkim bet kokį e>0. Tada egzistuoja sveikas skaičius q toks, kad 1/q < e. Panagrinėkime visus racionalius skaičius p/q!. Kadangi x yra iracionalus, jis negali būti lygus nė vienam šių skaičių. Iš to, kaip p/q! išsidėstę tarp skaičių (p=0, 1, 2, …), toje sekoje yra skaičius, kuris yra arčiausia x (kad tai įrodytume, turime pasinaudoti sveikų skaičių savybėmis). Imkim d>0, kuris yra mažesnis nei to nario atstumas nuo x. Tada atstumu d nuo x negali būti jokio racionalaus skaičiaus, kurio vardiklis būtų mažesnis ar lygus q, tad visų skaičių, esančių mažesniu už d atstumu nuo x, funkcijos reikšmės bus mažesniu atstumu nei e nuo f(x), taigi f(x) yra tolydi kiekvienam iracionaliam skaičiui.

    Pastaba. Ši funkcija turi daugelį pavadinimų. Ji vadinama kukurūzų spragėsių, suskaičiuojama debesų, liniuotės, Rymano, žvaigždžių virš Babilono funkcija. Tačiau oficialiai tai Tomo funkcija (Karlo Johano Tomo garbei). Ji yra atskiras Dirichlė funkcijos variantas (Dirichlė funkcijos reikšmės yra lygios 1 racionaliems skaičiams ir 0 – visiems kitiems.


    Gabrieliaus trimitas  

    Tai vienas paradoksų, kuris matematiškai teisingas, tačiau nėra intuityvus. f=1/x

    Paimkime paprastą funkciją: y=1/x

    Tada grafiko dalį intervale [1, µ ] sukite aplink x ašį.
    Gausite figūrą, panašią į piltuvėlį ar trimitą (kaip jums labiau patinka):
    Gabrieliaus ragas

    Ji vadinama Toričelio trimitu arba (arkangelo) Gabrieliaus ragu (trimitu) ir pasižymi neįtikėtina savybe: yra baigtinio tūrio, bet turi begalinį plotą. Ją 17 a. pirmasis tyrinėjo E. Toričelis.

    Jos tūris V intervale [1, a] lygus:
    Gabrieliaus rago tūris

    Ribiniu atveju, kai a artėja į begalybę, gauname:
    Gabrieliaus rago tūris

    Analogiškai plotas lygus:
    Gabrieliaus rago plotas
    ir kai a artėja į begalybę gauname:
    Gabrieliaus rago plotas

    Paradoksas yra tame, kad į piltuvėlį telpa baigtinis kiekis dažų, tačiau tų dažų nepakanka nudažyti jo sienelėms. Atrodytų, kad čia nėra jokio paradokso, bet esmė tame, kad nudažymas nėra vien dvimatis dalykas - dažų sluoksnis turi storį. gausime, jei imsime bet kokį fiksuotą sluoksnio storį – tada nuo kažkurios vietos nudažymui reikalingas dažų sluoksnis netilps į piltuvėlį (viršys jo skersmenį). Tačiau net ir šiuo atveju neatrodo, kad yra prieštaravimas – juk galime imti „be galo plonėjantį“ sluoksnį. Paradoksą išsprendžia dažymo būdas: kuo giliau į piltuvėlį, tuo plonesnis dažų sluoksnis.

    Atrodantis paradoksas paskatino diskusiją apie begalybės prigimtį įtraukdama daugelį mąstytojų: T. Hobsą,  Dž. Valį,  G. Galilėjų ir kt.

    Mazgų teorija
    Meilės sinusoidė
    Smeilo paradoksas
    Monte-Karlo metodas
    Išmatuojam apskritimą
    Matematinis dydis ir patirtis
    Iniciatyva: Matematikos keliu
    Matematikos pradžia Lietuvoje
    Alef paslaptis: begalybės paieškos
    Littlewood teiginys apie aproksimaciją
    Kita skaičiavimo metodų istorijos pusė
    Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
    Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
    Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
    Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės problemos
    Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
    Netiesinis mąstymas: išspręsti neišsprendžiamą
    Neapibrėžtumas, tikimybė ir prognozė
    Kirmgrauža tarp matematikos sričių
    Proveržis skaičiuojant skaidinius
    Kur viešpatauja chaosas?
    Dioklas ir jo cizoidė
    Zenono paradoksai
    Harmoninės eilutės
    Algebros istorija
    Černo medalis
    Vartiklis