Izingo modelis  

Izingo modelis - statistinės fizikos matematinis modelis, skirtas medžiagos įmagnetinimo proceso paaiškinimui. Jį 1924 m. (vienmačiam atvejui) išsprendė vokiečių Ernstas Izingas1). Dvimatis atvejis gerokai sudėtingesnis ir buvo įveiktas L. Onsagerio tik 1944-ais. 4-o ir aukštesnių matavimų atvejais jis aprašomas savaime susiderinančio lauko terminais. DWave Sys sukurtas kvantinis kompiuteris pagrįstas Izingo modeliu (apie kvantinį kompiuterį skaitykite Algebra akimirksniu). Modelyje magnetinį sukinį turinčios dalelės yra patalpinamos į apibendrinto grafo viršūnes. Bendru atveju grafo struktūra gali būti įvairi, bet įprastu atveju apsiribojama įvairių dimensijų gardelėmis. Modelinės sistemos elgesys yra stebimas esant įvairioms temperatūroms ir yra ieškoma fazinio virsmo taško. Taigi pagrindinė šio modelio problema ir tikslas yra supaprastinto fazinio virsmo modeliuojamoje struktūroje atkūrimas. Pastebėsime, kad šis modelis puikiai tinka ne tik įprastiems taikymams statistinėje fizikoje, bet ir turi tarpdisciplininių taikymų.

Izingo modelis yra ypatingai įdomus dėl to, kad veikiausiai buvo pirmasis modelis, kuriame iš visiškos netvarkos galėjo atsirasti tvarka – struktūros. Apie 20 a. vidurį vis daugiau fizikų ėmė pastebėti negyvosiose sistemose spontaniškai besiformuojančias struktūras, kurios buvo kažkas naujo, neegzistavusio atskirų dalelių suvokimo lygmenyje, o spontaniškai atsirandančio dėl sudėtingų netiesinių sąveikų tarp dalelių.

Klasikiniu pavyzdžiu yra Belousovo-Žabotinskio reakcija: į indą pilamos cheminės medžiagos (reagentai), kurie tarpusavyje ne tik maišosi, bet ir reaguoja. O tolesnėse reakcijose jau dalyvauja ne vien pradinės medžiagos, bet ir ankstesnių reakcijų produktai. Dėl to, kad dalis medžiagų, esančių šiame mišinyje, turi skirtingas spalvas, indas ima dažytis pačiomis įvairiausiomis spalvomis taip suformuodamas struktūras laike. Pėsčiųjų juostos gatvėje

Tokius pat reiškinius galime stebėti ir gyvose sistemose. Pvz., rudenį pažvelgę į dangų pamatysime kaip paukščių būriai ruošiasi skristi į pietus. Būriui kiekvienas kiekvienas atskiras paukštis juda padrikai, tačiau būrys išlieka vieningas ir juda kryptingai. Bet rudens laukti nereikia – bet kuriuo metų laiku pakankamai judrioje pėsčiųjų gatvėje galime stebėti kaip spontaniškai susiformuoja viena kryptimi judančių žmonių „juostos“.

Struktūros atsiranda ir mums bendraujant, formuojant socialinius ryšius. Dar praeitame amžiuje buvo suprasta, kad žmonių tarpusavio ryšius galima atvaizduoti kaip grafą. Ir visi suvokiam, kad yra daug žmonių, kurie socialiniame tinkle turi mažai ryšių, bet yra žymiai daugiau, nei galima būtų tikėtis, žmonių, kurie turi labai daug ryšių.

Struktūros spontaniškai formuojasi ir ekonomikoje - pvz., finansų rinkose didelio aktyvumo (kainų kitimo) periodai keičia žemo aktyvumo (kainų kitimo) periodus.

Modelio apibrėžimas

Kiekvienai kristalinės gardelės (vienmatei, dvimatei ar trimatei) viršūnei priskiriamas skaičius 1 arba -1, kuris vadinamas spinu (sukiniu). Kiekvienam iš 2N spinų išsidėstymo galimų variantų (N - gardelės atomų kiekis) priskiriama energija, gaunama iš gretimų atomų spinų poliarinės sąveikos:
Spinų energija

kur J - sąveikos energija. Kartais nagrinėjamas ir išorinis laukas h, kuris dažnai laikomas silpnu:
Spinų energija su lauku

Tada duotai atvirkštinei temperatūrai b = 1 / kBT gautoje konfigūracijoje nagrinėjamas Gibso pasiskirstymas: konfigūracijos tikimybė yra laikoma proporcionalia e-bE(S) - nagrinėjant tokio pasiskirstymo elgesį esant dideliems N.

Schramm-Loewner evoliucija

Schramm-Loewner evoliucija (arba stochastinė Liovnerio evoliucija) – konformaliai (išlaikantis kampą) invariantinis stochastinis procesas. Jį sudaro plokštumos kreivių šeima, gaunama sprendžiant Ch. Loewner‘io2) diferencialinę lygtį jai, kaip pradinius duomenis, pateikus Brauno judėjimą. Ją 2000-ais nustatė O. Shramm‘as3), o vėliau jo teoriją vystė G. Lawler‘is4) su W. Werner‘iu5).

SLE yra naudojama aprašyti įvairių stochastinių procesų plokštumoje ribas, tokių, kaip kritinė perkoliacija, kritinis Izingo modelis, dimero modelis (srities užklojimas domino kauliukais) ir kiti kritiniai statistiniai modeliai, turintys konformalų invariantą. Idėja yra ta, kad tampa įmanoma tas plokštumos kreives koduoti vienmačiu Brauno judėjimu ant srities krašto. To dėka pavyko įrodyti daugelį matematiškai griežtai neapibrėžtų spėjimų.

Bolcmano kinetinė lygtis

Bolcmano lygtis - fizikinės kinetikos lygtis, kuri aprašo statistinį dalelių pasiskirstymą dujose arba skystyje. Pavadinta L. Bolcmano, pirmąkart ją nagrinėjusio 1872 m., vardu. Ji naudojama šilumos ir elektrinio krūvio judėjimui tirti ir iš jos išvedamos transportinės savybės, tokios kaip elektros ir šilumos laidumas, Cholo efektas, klampumas. Taikytina išretintose sistemose, kuriose laikas tarp dalelių sąveikos nemažas (molekulinio chaoso hipotezė). Tame tarpe gali būti pritaikyta ir galaktikų dinamikos tyrimams, nes galaktika, priėmus tam tikras prielaidas, elgiasi kaip vientisa terpė, kaip jos masės pasiskirstymas perteikiamas kaip f.

Lygtis yra netiesinė integracinė-diferencialinė lygtis su dalinėmis išvestinėmis, o joje nežinoma funkcija yra tikimybinė tankio funkcija 6-matėje dalelės padėties ir momento erdvėje. Ji yra sudėtinga, o susidūrimų integralas priklauso nuo konkrečios sisemos. Sprendinių egzistavimo ir vienatinumo klausimas iki šiol nėra pilnai išspręstas, tačiau neseniai gauti rezultatai yra daug žadantys.

Lygtyje nedidelės apimties tūris (diferencialinis tūrio elementas) yra žymimas d3r d3p = dxdydz dpxdpydpz
Kadangi tikimybė N molekulėms, esančioms d3rd3p, yra ieškomas dydis, lygties esmė yra funkcija f, pateikianti tą tikimybę priklausomai nuo laiko t - ir vadinama tikimybine tankio funkcija.
Tada apibendrinta Bolcmano lygtis yra
Bolcmano kinetinė lygtis

Čia F(x,t) – jėgų, veikiančių daleles, laukas, o m - dalelių masė. Dešinės pusės narys išreiškia susidūrimus tarp dalelių ir vadinamas susidūrimų integralu. Hamiltono mechanikoje Bolcmano lygtis dažnai pateikiama bendru pavidalu:
Bolcmano lygtis Hamiltono mechanikoje
kur L - Liuvilio operatorius, aprašantis fazinės erdvės tūrio evoliuciją, o C - susidūrimų operatorius.

Įrodyta, kad tikslūs lygties sprendiniai egzistuoja tam tikrais atvejais, tačiau tas analitinis metodas nėra tinkamas praktiniams tikslams. Todėl paprastai naudojami skaičiavimų matematikos metodai apytiksliams sprendiniams surasti.


1) Ernstas Izingas (Ernst Ising, 1900-1998) – vokiečių žydų kilmės amerikiečių matematikas. Emigravo 1939 m., nuo 1947 m gyveno JAV (tačiau ten jau nieko nepublikavo, nors buvo Bradley un-to profesoriumi). 1924 m. savo disertacijoje suformulavo feromagnetizmo modelį, kurio vienmačiui ir dvimačiui atvejams žinomi tikslūs sprendimai.

2) Šarlis Liovneris (Charles Loewner, 1893-1968) – žydų kilmės (iš Čekijos) amerikiečių matematikas. Įrodė Bieberbacho teiginį (apie funkcijų išskleidimą Teiloro eilute) netrivialiu trečio koeficiento atveju (1917). Jo panaudota technika (Liovnerio dif. lygtis) smarkiai pasitarnavo geometrinei funkcijų teorijai.

3) Odedas Šramas (Oded Schramm, 1961-2008) – žydų kilmės (kilęs iš Jeruzalės) amerikiečių matematikas, žinomas darbais konforminės lauko teorijos ir tikimybių teorijos sandūroje, SLE kūrėjas. Žuvo nukritęs kopiant į kalną.

4) Gregoris Louneris (Gregory Francis Lawler, g. 1955 m.) – amerikiečių matematikas, dirantis tikimybių teorijos srityje ir geriausiai žinomas savo darbais SLE (nuo 2000-ųjų). 2019 m. gavo Volfo premiją.

5) Vendelinas Verneris (Wendelin Werner, g. 1968 m.) – vokiečių kilmės prancūzų matematikas, Fieldso medalio laureatas (2006). Žinomas darbais stochastinių procesš srityje ir susijusiose tikimybių teorijos ir matematinės fizikos srityse.

Matroidai
Perkoliacija
Pirminiai skaičiai
Nešo pusiausvyra
Kraskalo algoritmas
Monte-Karlo metodas
Kaip supakuoti standžiau?
Revoliucija mazgų teorijoje
Paslaptingi Markovo procesai
Diagramos pakeitusios pasaulį
Matematika prieš eismo spūstis
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Kita skaičiavimo metodų istorijos pusė
Matematikos pradžia Lietuvoje
Indijos matematikos istorija
Išmatavimų triauškintojas
Kokiu greičiu skriejame?
Santykis ir proporcija
Sutramdytas lagaminas
Harmoninės eilutės
Loterijų matematika
Smeilo paradoksas
Landau nuslopimas
Kvadratinė lygtis
Krafordo premija
Ferma taškas
Vartiklis