Smeilo paradoksas ir Smeilo pasaga. Vartiklis

Diferencialinėje topologijoje Smeilo paradoksas teigia, kad sferą trimatėje erdvėje galima išversti su galimais persidengimais, tačiau be perlenkimų (raukšlių) [t.y. „panardinimų“ klasėje]. Procesas dažnai vadinamas sferos eversija (eversion - „išversti“). Tai visai ne paradoksas realybėje, o tik teorema, tačiau anaiptol ne intuityvi.

Labai sunku įsivaizduoti konkretų tokio panardinimo atvejį, nors egzistuoja daugybė iliustracijų ir animacijų. Pirmasis pavyzdys buvo sukurtas kelių matematikų, tarp jų ir Arnold Shapiro bei aklojo Bernard Morin'o^*) pastangomis. Kita vertus, gerokai lengviau įrodyti, kad tokia homotopija egzistuoja, ką 1958 m. ir padarė S. Smale.

Pasakojama, kad, atseit, kai S. Smale pabandė publikuoti šią teoremą, jis gavo Raul Bott'o atsiliepimą, kad ji neabejotinai klaidinga, nes tokio „išvertimo“ proceso metu Gauso atvaizdavimo laipsnis privalo išlikti, - Sphere eversion by John Hughes: Smale paradox

Sphere eversion by John Hughes: Smale paradox

atskiru atveju, tai rodo tai, kad apskritimo negalima „išversti“ plokštumoje. Tačiau Gauso atvaizdavimų laipsniai tiek f, tiek –f R³ erdvėje lygūs 1, o, be to, bet kurio įdėjimo R²->R³ laipsnis lygus 1.

S. Smale pradinis įrodymas buvo netiesioginis; jis identifikavo sferų panardinimų Stiefel'io daugdarų homotopijos grupe (reguliarios homotopijos) klases. Kadangi homotopijos grupė, atitinkanti R²->R³ panardinimus dingsta, standartinis ir išvirkštinis įdėjimai privalo būti reguliariai homotopiniai. Iš principo, įrodymas gali išrutulioti į reguliarios homotopijos sukonstravimą, nors tai nėra lengvas uždavinys.

Egzistuoja keli būdai, leidžiantys pateikti konkrečius pavyzdžius ir vizualizaciją:

a) pusinio modelio metodas: panaudojamos labai konkrečios homotopijos. Jį pirmiausia panaudojo A. Shapiro ir A. Phillips, paimdami Boy paviršių, o vėliau išgrynino kiti. Naujesni išgryninimai yra minimaksinės eversijos, esančios variaciniu metodu, ir sudaryti iš specialių homotopijų. Pradinės hopotopijos buvo konstruojamos rankiniu būdu, tačiau nebuvo minimalios.

b) Thurston‘o raukšlės (gofruotumas): tai topologinis ir bendras metodas; paimama homotopija ir taip pertvarkoma, kad taptų reguliaria homotopija.

Žr. apie h-principą tolimesniam apibendrinimui (paaiškinimai bus pateikti ateityje).

Sferos išvertimą galima atlikti ir C¹-tolydžių izometrinių panardinimų klasėje.

1958 m. Stephen Smale (tada – Čikagos un-te) įrodė, kad įmanomas sferos paviršių išversti panaudojant ypatingą „reguliariosios homotopijos“ deformaciją. Jos metu paviršius privalo išlikti tolydus, be jokių įplyšimų ar skylių, bei glotnus, be jokių sulenkimų ar singuliarumų. Tačiau paviršiui leidžiama persikloti ir pereiti per save.

Kitais žodžiais tariant, jei sferos pozicija laikysime kaip funkciją iš standartinio apvalaus sferos paviršiaus S² į trimatę erdvę R³, ši funkcija privalo būti tolydi ir glotni (C¹), tačiau nebūtinai taškas į tašką. Tokia funkcija vadinama panardinimu. Tada reguliarioji homotopija yra tolydi panardinimų šeima, tenkinanti sąlygą, kad jos dalinės išvestinės atžvilgiu pozicijos koordinačių ant S² yra tolydžios funkcijos laike, kaip ir pozicija ant S². Tai glotnumo sąlyga, kuri neleidžia sulenkimų ir neįprastumų.

S. Smale įrodė, kad egzistuoja reguliarioji homotopija tarp bet kurių dviejų sferos panardinimų. Įprastinė apvali sfera ir išversta apvali sfera yra atskiri panardinimų atvejai, tad ir tarp jų privalo būti reguliarioji homotopija. S. Smale įrodymas buvo indukcijos metodu ir iš principo įtraukė konkrečios reguliariosios homotopijos sukonstravimą, tačiau toji buvo tokia sudėtinga, kad nebuvo įmanoma ją vizualizuoti.

Kai buvo išsiaiškinta, kad sprendimas yra įmanomas, imta ieškoti paprastų ir lengvai vizualizuojamų homotopijų. Vienas iš bandymų (kartu su platesniu problemos aprašymu) aptartas „Scientific American“ A. Phillips straipsnyje, pateikiant ir nuoseklią homotopijų iliustraciją. Tačiau skaitytojui reikia įsivaizduoti judesius tarp iliustracijų ir įtikinti save, kad jie yra tolydūs ir glotnūs. Todėl natūraliai norėta turėti ir animaciją, kuri buvo sukurta aklo prancūzo Bernard Morin‘o sukonstruotai homotopijai. 22 min. trukmės „Outside In“ animacija buvo sukurta vadovaujant A. Levy, S. Maxwell ir T. Munzer. Kai kurias animacijas galite pažiūrėti čia >>>>
Taip pat video, paaiškinantis sferos išvertimą: >>>>

^*) Bernardas Morinas (Bernard Morin, 1931-2018) - prancūzų matepatikas, topologas. Apako 6 m. amžiaus. Daktaro laipsnį apsigynė 1972 m. Jis priklauso grupei, kuri pirmoji pademonstravo sferos „išvertimą“, t.y. homotopiją, kuri pradinę sferą transformuoja į „išvirkščią“ sferą. Jis taip pat atrado Morino paviršių, pusinį (minimakso) modelį sferos išvertimui. Be to, jis 1978 m. atrado pirmąją Boy paviršių parametrizaciją, o jo studentas F. Apery 1986 m. atrado ir antrą įą Boy paviršių parametrizaciją, tenkinančią neorientuotų paviršių parametrizavimo bendrąjį metodą.

Smeilo pasaga

Smeilo pasaga - S. Smeilo (Stephen Smale) pasiūlytas dinaminės sistemos pavyzdys, turintis begalinį kiekį periodinių taškų (ir chaotišką dinamiką); ir toji savybė neprarandama esant nedideliems sistemos trikdžiams. Šį atvaizdavimą S. Smeilas įvedė tyrinėdamas B. van der Polo osciliatoriaus trajektorijas.
Tai kvadrato chaotiškų atvaizdavimų į save klasės narys. Pasaga apibrėžiama geometriškai – pirmiausiai suspaudžiant kvadratą, tada ištempiant į ilgą ploną strypą, kuris galiausiai sulenkiamas tarsi pasaga.
Smeilo pasagos transformacija Smeilo pasagos atvaizdavimas yra trijų geometrinų transformacijų rezultatas

Dauguma taškų atvaizdavimų metu palieka kvadratą. Jie atsiduria pakraščio gumburėliuose, kur iteratyviai tampa fiksuotais taškais. Kvadrate likę taškai po pakartotinos iteracijos suformuoja fraktalinę aibę ir yra atvaizdavimo invariantinės aibės dalimi.

Smeilo pasagos suspaudimas, ištempimas ir sulenkimas yra pagrindiniai chaotinės sistemos elementai. Jie kompensuoja vienas kitą, todėl kvadrato plotas nesikeičia. Sulenkimas atliekamas atidžiai, tad trajektorijos, amžinai likę kvadrate, gali būti paprastai apibrėžtos.

Smeilo pasagoje:

yra begalybė periodinių orbitų;
yra bet kokio periodo periodinių trajektorijų;
su laiku periodinių trajektorijų kiekis didėja;
arti bet kurio fraktalinės invariantinės aibės taško yra kokios nors periodinės trajektorijos taškas.

Smeilo pasaga buvo sukonstruota srauto chaotiškos dinamikos atgaminimui greta pasirinktos periodinės trajektorijos. Pasirinkta „kaimynystė“ yra mažytis diskas statmenas trajektorijai. Sistemai vystantis to disko taškai lieka arti pasirinktos trajektorijos.

Visų diską kertančių trajektorijų elgesys gali būti nustatytas pažiūrint, kas nutinka diskui. Pasirinkta trajektorija kerta diską kiekvieno periodiško sugrįžimo metu, kaip ir taškai jos kaimynystėje. Kai toji kaimynystė grįžta, jos forma būna pakitusi. Yra taškų, paliekančių disko kaimynystę, o taip pat tebesugrįžtančių. Niekada kaimynystės nepaliekančių taškų aibė sudaro fraktalą.

Visoms trajektorijoms, išliekančių kaimynystėje, galima duoti simbolinį pavadinimą. Pradinį kaimynystės diską galime padalinti į keletą sričių. Žinant seką, kuria trajektorijos aplanko tas sritis, leidžia tiksliai atskirti trajektorijas. Lankymosi seka numato simbolinį dinamikos pavaizdavimą, kuris vadinamas simboline dinamika.

Smeilo pasaga davė postūmį D.V. Anosovui įvesti (dabar vadinamus jo vardu) difeomorfizmus, leidusius išsivystyti hiperbolinių dinaminių sistemų teorijai.

Literatūra

S. Smale. Differentiable dynamical systems// Bulletin of the American Math, Society, 73, 1967
A. de Carvalho. Pruning frontsband the formation of horseshoes// Ergodic theory and dynamical systems, 19, 1999
A. de Carvalho, T. Hall. How to prune a horseshoe// Nonlinearity, 15, 2002