Smeilo paradoksas

Diferencialinėje topologijoje Smeilo paradoksas teigia, kad sferą trimatėje erdvėje galima išversti su galimais persidengimais, tačiau be perlenkimų (raukšlių) [t.y. „panardinimų“ klasėje]. Procesas dažnai vadinamas sferos eversija (eversion - „išversti“). Tai visai ne paradoksas realybėje, o tik teorema, tačiau anaiptol ne intuityvi.

Tiksliau:

Tegu Embedding: Smale paradox yra standartinis įklojimas (embedding).
Tada egzistuoja reguliari tolydžių panardinimų (immersions) homotopija Immersions: Smale paradox  tokia, kad f0 = f ir f-1 = -f

Labai sunku įsivaizduoti konkretų tokio panardinimo atvejį, nors egzistuoja daugybė iliustracijų ir animacijų. Pirmasis pavyzdys buvo sukurtas kelių matematikų, tarp jų ir Arnold Shapiro bei Bernard Morin, kuris buvo aklas, pastangomis. Kita vertus, gerokai lengviau įrodyti, kad tokia homotopija egzistuoja, ką 1958 m. ir padarė S. Smale.

Pasakojama, kad, atseit, kai S. Smale pabandė publikuoti šią teoremą, jis gavo Raul Bott'o atsiliepimą, kad ji neabejotinai klaidinga, nes tokio „išvertimo“ proceso metu Gauso atvaizdavimo laipsnis privalo išlikti, - atskiru atveju, tai rodo tai, kad apskritimo negalima „išversti“ plokštumoje. Tačiau Gauso atvaizdavimų laipsniai tiek f, tiek –f R3 erdvėje lygūs 1, o, be to, bet kurio įdėjimo R2->R3 laipsnis lygus 1.

Sphere eversion by John Hughes: Smale paradox S. Smale pradinis įrodymas buvo netiesioginis; jis identifikavo sferų panardinimų Stiefel daugdarų homotopijos grupe (reguliarios homotopijos) klases. Kadangi homotopijos grupė, atitinkanti R2->R3 panardinimus dingsta, standartinis ir išvirkštinis įdėjimai privalo būti reguliariai homotopiniai. Iš principo, įrodymas gali išrutulioti į reguliarios homotopijos sukonstravimą, nors tai nėra lengvas uždavinys.

Egzistuoja keli būdai, leidžiantys pateikti konkrečius pavyzdžius ir vizualizaciją:

a) pusinio modelio metodas: panaudojamos labai konkrečios homotopijos. Jį pirmiausia panaudojo A. Shapiro ir A. Phillips, paimdami Boy paviršių, o vėliau išgrynino kiti. Naujesni išgryninimai yra minimaksinės eversijos, esančios variaciniu metodu, ir sudaryti iš specialių homotopijų. Pradinės hopotopijos buvo konstruojamos rankiniu būdu, tačiau nebuvo minimalios.

b) Thurston‘o raukšlės (gofruotumas): tai topologinis ir bendras metodas; paimama homotopija ir taip pertvarkoma, kad taptų reguliaria homotopija.

Apibendrinimai

Žr. apie h-principą tolimesniam apibendrinimui (paai6kinimai bus pateikti ateityje).

Sferos išvertimą galima atlikti ir C1-tolydžių izometrinių panardinimų klasėje.

Apie sferos emersiją populiariau

1958 m. Stephen Smale (tada – Čikagos un-te) įrodė, kad įmanomas sferos paviršių išversti panaudojant ypatingą „reguliariosios homotopijos“ deformaciją. Jos metu paviršius privalo išlikti tolydus, be jokių įplyšimų ar skylių, bei glotnus, be jokių sulenkimų ar singuliarumų. Tačiau paviršiui leidžiama persikloti ir pereiti per save.

Kitais žodžiais tariant, jei sferos pozicija laikysime kaip funkciją iš standartinio apvalaus sferos paviršiaus S2 į trimatę erdvę R3, ši funkcija privalo būti tolydi ir glotni (C1), tačiau nebūtinai taškas į tašką. Tokia funkcija vadinama panardinimu. Tada reguliarioji homotopija yra tolydi panardinimų šeima, tenkinanti sąlygą, kad jos dalinės išvestinės atžvilgiu pozicijos koordinačių ant S2 yra tolydžios funkcijos laike, kaip ir pozicija ant S2. Tai glotnumo sąlyga, kuri neleidžia sulenkimų ir neįprastumų.

S. Smale įrodė, kad egzistuoja reguliarioji homotopija tarp bet kurių dviejų sferos panardinimų. Įprastinė apvali sfera ir išversta apvali sfera yra atskiri panardinimų atvejai, tad ir tarp jų privalo būti reguliarioji homotopija. S. Smale įrodymas buvo indukcijos metodu ir iš principo įtraukė konkrečios reguliariosios homotopijos sukonstravimą, tačiau toji buvo tokia sudėtinga, kad nebuvo įmanoma ją vizualizuoti.

Kai buvo išsiaiškinta, kad sprendimas yra įmanomas, imta ieškoti paprastų ir lengvai vizualizuojamų homotopijų. Vienas iš bandymų (kartu su platesniu problemos aprašymu) aptartas „Scientific American“ A. Phillips straipsnyje, pateikiant ir nuoseklią homotopijų iliustraciją. Tačiau skaitytojui reikia įsivaizduoti judesius tarp iliustracijų ir įtikinti save, kad jie yra tolydūs ir glotnūs. Todėl natūraliai norėta turėti ir animaciją, kuri buvo sukurta aklo prancūzo Bernard Morin‘o sukonstruotai homotopijai.22 min. trukmės „Outside In“ animacija buvo sukurta vadovaujant A. Levy, S. Maxwell ir T. Munzer. Kai kurias animacijas galite pažiūrėti čia >>>>
Taip pat video, paaiškinantis sferos išvertimą: >>>>

Literatūra:

  1. S. Levy. A brief history of sphere eversions, 1995
  2. A. Phillips. Turning a surface inside out// Sci. Am., Vol.214, No.5, 1966
  3. S. Smale. A classification of immersions of the two-sphere// Trans. of the Am. Math. Society, 90, 1958
  4. Daugiau >>>>

Topologija
Erdvės formos
Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
Greičiais C besiplečiančios–besitraukiančios erdvės B
Styvenas Smeilas - gabus ir neparankus
Nėra paprastos visuotinės teorijos!
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Apie Tarskio skritulio kvadratinimą
Tjorstono geometrizacijos teiginys
Matematikos ir fizikos šmaikštumai
Bendroji reliatyvumo teorija
Matematikos pradžia Lietuvoje
Nepaprasti Visatos skaičiai
Puankarė teiginio įrodymas
Kaip supakuoti standžiau?
Egzotiškosios hipersferos
Harmoninės eilutės
Ar viskas čia taip?
Vunderkindo iššūkiai
Pirminiai skaičiai
Vartiklio naujienos