Apie Tarskio skritulio kvadratinimą

Pastaba: šis uždavinys skiriasi nuo apskritimo kvadratūros uždavinio, pagal kurį reikalaujama, naudojant tik liniuotę ir skriestuvą, duotą skritulį transformuoti į tokio pat ploto kvadratą – ir kuris yra neišsprendžiamas. Tuo tarpu 1990 m. vengrų matematikas Miklos Laczkovich įrodė, kad Tarskio skritulio kvadratinimo uždavinys yra išsprendžiamas.

Wooster koledžo matematikai parodė, kaip galima kvadratinę vinį sukišti į apvalią skylę. Na gerai, ne visai tai. Alfredo Tarskio 1925 m. suformuluotame skritulio kvadratinimo uždavinyje reikia duotą diską plokštumoje padalinti į baigtinį kiekį dalių, kurias vėliau būtų galima sudėlioti į tokio pat ploto kvadratą. Wooster prof. Pam Pierce sako, kad „geriausias būdas uždavinio iliustravimui yra skritulį aproksimuoti daugiakampiu, o tada sukurti algoritmą, kaip tą daugiakampį sukarpyti taip, kad būtų galima sudėlioti kvadratą. Plika akimi 40-kampio transformaciją į kvadratą mažai kuo skirsis nuo skritulio dekompozicijos į kvadratą.

P. Pierce kartu su prof. John Ramsay ir 4-iais studentais 2010 m. rugpjūčio mėn. gavo Trevor Evans premiją už straipsnį „Suskaidytas skritulio kvadratinimo uždavinys“, paskelbtą „Math Horizons“ 2009 m. lapkritį.

Awardees of Trevor Evans 1964 m. L. Dubins, M.W. Hirsch ir J. Karush “Skriestuvinis kongruentumas” (Israel Journal of Mathematics, vol.1, no 4) įrodė, kad Tarskio paskritimo kvadratinimo uždavinys neišsprendžiamas naudojant liniuotę ir skriestuvą. O Wooster matematikai straipsnyje pateikė M. Laczkovich įrodymo vizualų paaiškinimą nurodydami, kaip artimai skritulio kvadratinimas gali būti aproksimuotas daugiakampiais, pateikiamas daugiakampio suskaidymo algoritmas ir pateikiami spėjimai, į kiek dalių reikia skaidyti daugiakampį.

Pam Pierce, gavęs matematikos daktaro laipsnį Sirakūzų un-te, specializuojasi realaus kintamojo analizėje, pagrindinį dėmesį skirdamas Hardy funkcijoms.
J. Ramsay, gavęs daktaro laipsnį Viskonsino un-te, specializuojasi algebrinėje topologijoje. Studentai: H. Roberts iš Youngstown (Ohajo v.), N. Tinoza iš Zimbabvės, J. Willert iš Chigrin Falls (Ohajo v.) ir Wenyuan Wu iš Kinijos.

Trevor Evans premija įsteigta 1992 m. ir pirmąkart įteikta 1996 m.

M. Laczkovich savo įrodyme rėmėsi „išrinkimo aksioma“, todėl jis nėra konstruktyvus (ir naudoja apie 1050 skirtingų dalių, kurios yra „neišmatuojami poaibiai“). Faktiškai M. Laczkovich įrodė, kad skaidymą galima atlikti naudojant vien perkėlimą, t.y. nepasukant skritulio dalių.

Alfredas Tarskis

Alfredas Tarskis (1901-1983, Alfred Teitelbaum) – iškilus lenkų kilmės JAV matematikas, logikas, teisingumo teorijos pradininkas.

Alfred TArski, 1971 Gimė 1901 m. sausio 14 d. pasiturinčioje Varšuvos žydų Ignaco Teitelbaumo ir Rozos Prusak šeimoje. Polinkis matematikai išryškėjo dar mokykloje, tačiau 1918 m. jis įstojo į Varšuvos un-tą ketindamas studijuoti biologiją. Tai metais Lenkija tampa savarankiška valstybe, o Varšuvos universitetas garsėja logikos ir matematikos pagrindų srityse. S. Lesnievskis įtikina Alfredą atsisakyti biologijos, o vėliau vadovauja jo disertacijai. 1924 m. A. Tarskis (pavardę, kartu su broliu, pasikeitė 1923-iais, nenorėdami afišuoti savo žydiškos kilmės; jiedu netgi pasikrikštijo katalikais, nors Alfredas buvo užkietėjęs ateistas – o vėliau, jau JAV, šeimoje kalba tik lenkiškai) gauna filosofijos daktaro laipsnį; lieka dirbti universitete. Tuo laikotarpiu paskelbia keletą darbų iš logikos ir aibių teorijos.

1929 m. veda lenkę Mariją Vitkovską, su kuria susilaukia dviejų vaikų: Janas tapo fiziku, o duktė Ina ištekėjo už matematiko A. Ehrenfeuchto. 1930 m. apsilankė Vienoje, kur susitiko su K. Giodeliu. 1939-ais vyksta į mokslinį kongresą JAV, - prieš pat įsiveržiant vokiečiams į Lenkiją – ir tai jį gelbsti. Jis laikinai įsidarbina Harvardo un-te, kelis kartus keičia darbą universitetuose, kol 1948 m. gauna profesoriaus vietą Berklio un-te, kur dirba iki mirties. Čia sukuria savo mokyklą ir tarp mokinių įgauna griežto ir labai reiklaus vadovo reputaciją. Mirė 1983 m. spalio 26 d.

Indėlis

A. Tarskiui priklauso keletas rezultatų formaliųjų teorijų išsprendžiamumo ir neišsprendžiamumo pirmos eilės logikoje. Žinomiausios yra teoremos apie tiesinės aritmetikos bei euklidinės geometrijos išsprendžiamumą. Pirmosios atveju sėkmingai pritaikytas kvantorių eliminavimo metodas, tapęs vienu pagrindiniu įrodant pirmos eilės teorijų išsprendžiamumą. Antruoju atveju A. Tarskis sukūrė savą euklidinės geometrijos aksiomų sistemą, kuri buvo sėkmingesnė už Hilberto sistemą. Neišsprendžiamumas buvo apibendrintas “Neišsprendžiamose teorijose” (1953), kur buvo parodytas tinklelių teorijos, projektyvinės geometrijos ir vidinių algebrų teorijos neišsprendžiamumas.

Didelę įtaką A. Tarskis padarė aibių teorijai. 1924 m. atskleistas Banacho-Tarskio paradoksas: iš rutulio euklidinėje erdvėje supjaustant ir suklijuojant galima gauti du rutulius, kurių kiekvieno tūris lygus pradinio rutulio tūriui. Jis paaiškinamas tuo, kad objekto tūris negali būti adekvačiai apibrėžiamas laisvai pasirinktoms aibėms, o būtent tokios „aibės be tūrio“ atsirasdavo proceso metu. Paradoksas labai pasitarnavo vystant mato teoriją.

Neseniai filosofų dėmesį patraukė A. Tarskio „Kas yra loginės sąvokos?“ (1986), kurioje išdėstyta jo 1966 m. kalba. Joje jis pasiūlė atskirti logines operacijas (kurias vadino „sąvokomis“, notions) nuo ne loginių. Pasiūlytas kriterijus buvo paimtas iš 19 a. vokiečių matematiko F. Kleino Erlangeno programos, kuri suklasifikavo įvairius geometrijų tipus pagal erdvės vienas-į-vieną transformaciją į save (pvz., tokios transformacijos yra pasukti 30o ar padidinti 2 kartus). [šią temą būtų verta aptarti atskirai...]

Pirminiai skaičiai
Smeilo paradoksas
Tenzoriaus samprata
Monte-Karlo metodas
Jų begalinė išmintis
Šiuolaikiniai matematikai
Didžioji Ferma teorema
Matematikai: Anri Puankarė
Iniciatyva: Matematikos keliu
Paviliota senovinio žaidimo
P-NP: Ant sveiko proto svarstyklių
Da Vinči matematinė klaidelė
Ar jau rūksta dūmai? Navier Stokes lygtys
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Ar nepabandysite išpręsti uždavinį?
Džordžas Birkhofas: matematikas ir meno matuotojas
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
D. Spielmanas gavo Nevanlinna premiją
Diagramos, pakeitusios pasaulį
Tjorstono geometrizacijos teiginys
Rymano hipotezės paaiškinimas
Viešojo rakto kriptografija
Kaip supakuoti standžiau?
Matematiniai anekdotai
Borchesas ir matematika
Matematika ir muzika
Landau nuslopimas
Fieldso medalis
Žanas Furjė
Topologija
Matroidai
Vartiklis