Trilijonas trikampių/ Billion of Congruent Triangles. Vartiklis

Šiaurės ir Pietų Amerikos, Europos, Australijos matematikai rado pirmąjį trilijoną seno matematikos uždavinio sprendinių. Pažanga pasiekta pritaikius greitesnį ypač didelių skaičių daugybos algoritmą. Skaičiai yra tokie dideli, kad išrašyti ranka nuo Žemės pasiektų Mėnulį ir netgi grįžtų atgalios. Daugiausia sunkumų kėlė tai, kad tokie skaičiai netelpa į kompiuterių operatyviąją atmintį, todėl tenka dažnai naudoti diską.

Pats uždavinys, kuriam daugiau nei tūkstantis metų, susijęs su stačiųjų trikampių plotu. Netikėtai nelengva užduotis yra rasti sveikus skaičius, kurie būtų plotu trikampių, kurių kraštinės yra sveiki skaičiai arba trupmenos. Tokie skaičiai vadinami kongruentiniais skaičiais. Pvz., trikampio, kurio kraštinės yra lygios 3, 4 ir 5, turi plotą lygų 6, todėl 6 yra kongruentinis skaičius. Mažiausias kongruentinis skaičius yra 5, kuris yra stačiojo trikampio su kraštinėmis 3/2, 20/3 ir 41/6 plotas. Pirmieji yra: 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, …

Kongruentinių skaičių savybės kartais netikėtos. Pvz., sekoje (žingsniu 8) 5, 13, 21, 29, 37, … visi skaičiai kongruentiniai, tačiau panašiai atrodančioje sekoje 3, 11, 19, 27, 35, … kiekvieną skaičių reikia tikrinti atskirai.

Komandos narys Bill‘as Hart‘as pastebėjo, kad sunki dalis buvo sukurti greitų funkcijų biblioteką šio tipo skaičiavimams. Kai tai buvo padaryta, parašyti programai nereikėjo daug laiko.

Be praktinio rezultato, tai turi ir teorinių implikacijų. Waterloo matematikas Michael‘is Rubinstein‘as aiškino: „Prieš kelis metus mes suderinome skaičių teorijos idėjas ir fiziką, kad nuspėtume, kaip statistiškai pasiskirstę kongruentiniai skaičiai. Labai malonu matyti, kad mūsų prognozės buvo gana tikslios“.

Tokie skaičiavimai neretai priimami skeptiškai dėl tokių didelių paskaičiavimų sudėtingumo, galimų kompiuterio ar programavimo klaidų. Tad skaičiavimai buvo atliekami dukart, su skirtingais kompiuteriais, naudojant skirtingus algoritmus, užprogramuotus skirtingų komandų. Bill‘o Hart‘o (Anglija) ir Gonzalo Tormaria (Urugvajus) naudojo Warwick un-to kompiuterį “Selmer”. Mark’o Watkins’o (Australija), David’o Harvey bei Robert’o Bradshaw (abu JAV) naudojo Vašingtono un-to kompiuterį “Sage”.

Kongruentinių skaičių uždavinį pirmasis iškėlė persų matematikas al-Karadži (apie 953–1029). Tik jo versijoje nebuvo minimi trikampiai. Jis klausė: kuriems sveikiems skaičiams n egzistuoja kvadratas a² toks, kad a² + n ir

a² - 
n

irgi būtų kvadratai. Didžiausią įtaką al-Karadži padarė graikų matematikas Diofantas (apie 210-290), kėlęs panašius klausimus.

Didelio progreso uždavinio sprendime nebuvo. 1225 m. L. Fibonatis parodė, kad 5 ir 7 yra kongruentiniai skaičiai ir teigė (bet neįrodė), kad 1 nėra kongruentinis. Įrodymą 1659 m. pateikė P. Ferma. Iki 1915 m. buvo nustatyta mažiau nei 100 kongruentinių skaičių. 1952 m. Kurt’as Heegner’is pritaikė sudėtingus matematinius metodus ir įrodė, kad kongruentiniai yra visi skaičiai p, kuriems p mod 8 = 5 (5, 13, 21, 29, ...). Tačiau iki 1980-ųjų vis dar buvo nustatyta mažiau nei 1000 kongruentinių skaičių.

Didelę pažangą 1982 m. Jerrold‘as Tunnell‘is, panaudojęs ryšį tarp kongruentinių skaičių ir elipsinių kreivių. Jis surado paprastą formulę, nustatančią, ar skaičius yra kongruentinis. Tai leido gana greitai nustatyti kelis tūkstančius atvejų. Tačiau pats tos formulės teisingumas remiasi vis dar neįrodytu Birch ir Swinnerton-Dyer teiginiu, kuris yra viena iš 7-ių Clay Matematikos instituto problemų, už kurios išsprendimą numatyta milijono dolerių premija.

Uždavinį galima suvesti į lygtį

, kai y <> 0. n yra kongruentinis, kai ši lygtis turi racionalų sprendinį.

Servetėlių žiedo tūris

Geometrijoje servetėlių žiedo uždavinys yra apie figūros, sudarytos iš rutulio, per centrą pradurto cilindru, tūrio suradimui. Intuityviai aišku, kad tasai tūris nepriklauso nuo rutulio spindulio ir priklauso tik nuo „skylės“ (t.y ir žiedo) aukščio. Ir iš tikro, tasai tūris yra lygus:
V=ph³/6
, ką galima įrodyti panaudojant integralinį skaičiavimą.

Šį uždavinį sprendė 17 a. japonų matematikas Seki Kowa (1642-1708) panaudodamas integralinį skaičiavimą, kurį jis vadino Enri. Pačią figūrą jis vadino kokan - „lanko žiedu“.

Servetėlių žiedas (dar kartais vadintas krikšto apyranke) pradžioje buvo naudojamas servetėlių savininko tarp skalbimų nustatymui. Jie naudojami stalo serviravimui (užmaunant ant vamzdeliu susuktos servetėlės) nurodant konkretų asmenį. Jų skersmuo paprastai yra 35-40 mm, plotis – 30-40 mm, svoris – 40-50 g. Gaminami iš metalų (sidabro, melchioro, vario ir pan.), ragų ir kt. medžiagų. Kartais turi išgraviruotas monogramas ar pažymėjimus.
Servetėlių žiedas