Matematika Egipte

Rindo papirusas  

Taip pat skaitykite: Matematika Egipte ir Finikijoje

Rindo (Raindo arba Achmeso) papirusas - senovės Egipto Viduriniojo (karaliaus Amenemhato III, 12 dinastija, 19 a. pr.m.e.) laikotarpio aritmetikos ir geometrijos vadovėlis, raštininko Rhind Mathematical Papyrus Achmeso perrašytas apie 1650 m. pr.m.e. Britų muziejuje jis žymimas nr.10057 ir yra 5,25 m ilgio ir 33 cm pločio ritinys. Pavadintas škotų antikvaro Aleksandro Henrio Rindo (Rhind), 1858 m. jį įsigijusio Liuksore, vardu. Britų muziejus jį nupirko iš Rindo 1864 m. kartu su Egipto Matematiniu pergamentu. Nedideli papiruso fragmentai saugomi Bruklino muziejuje Niujorke. Kartu su (trumpesniu, tačiau senesniu) Maskvos Matematiniu papirusu, tai vienas iš garsiausių matematinių papirusų. Vis dar nėra iki galo išverstas.
Apie Rindo papirusą savo darbą paskaitų forma paskelbė A.H. Seisas (1907).

Įvade paaiškinama, kad jis skirtas „pilnam ir nuodugniam visų dalykų tyrimui, jų esmės suvokimui, jų paslapčių pažinimui“. Pradžioje beveik trečdalį papiruso užima 2/n tipo trupmenų sumų lentelė (kai n yra nelyginiai nuo 5 iki 101). Toliau papiruse pateikiami 84 uždaviniai ir jų sprendimai (Maskvos papiruse – 25 uždaviniai). Visi uždaviniai daugiau ar mažiau turi praktinį aspektą ir galėjo būti panaudoti statyboje, žemės sklypų matavime ir pan. Daugiausia tai trikampių, keturkampių ir skritulio ploto suradimo uždaviniai, įvairūs veiksmai su sveikais skaičiais ir trupmenomis, proporcijų nustatymas. Daugelio jų sprendimui buvo išvedamos bendros taisyklės.

Vienok, yra nemažai požymių, kad matematika Egipte jau buvo išaugusi vien iš praktinio panaudojimo marškinėlių ir įgavusi torinį pobūdį. Buvo mokama kelti laipsniu ir traukti šaknį, žinomos aritmetinė bei geometrinė progresijos (vienas uždavinių, Nr.79, susiveda į geometrinės progresijos narių sumos suradimą). Daugelį uždavinių, suvedamų į lygties (tame tarpe ir kvadratinės) su vienu nežinomuoju sprendimą, vienija specialaus hieroglifo „krūva“ (analogiško šiuolaikiniam x) naudojimas, o tai rodo algebros užuomazgas.

Papirusas (kaip ir Maskvos) rodo, kad egiptiečiai naudojo gana tikslią skaičiau pi (p) reikšmę, kuri papiruse (Nr.50) paskaičiuojama kaip (8/9)2 * 4 (t.y. apie 3,16), o tuo tarpu visuose Artimuosiuose Rytuose ji laikyta lygi 3. Tačiau kartu paaiškėjo ir egiptiečių matematikos ribotumai: pvz., bet kurio keturkampio plotas skaičiuotas kaip priešingų kraštinių sumų pusių sandauga, nors tai teisinga tik stačiakampiams, o taip pat veiksmai atliekami tik su 1 / n pavidalo trupmenomis (kartu su 2/3). Kartais m/n buvo pakeičiama m sandauga su 1/n.

Egiptiečių matematiką pailiustruosime uždaviniu Nr. 26.

Sąlyga: nežinomasis (h) sudedamas su 1.4, kuris irgi turi h ir gauname 15,
t.y., x+1/4x=15

1 žingsnis: vietoje x įstatoma 4. Aišku, jis netenkina lygties nes 5 <> 15.
2 žingsnis: nustatomas santykis tarp 5 ir 15, - 5 reikia padauginti iš 3, kad gautume 15.
Problem R48: Rhind Mathematical Papyrus 3 žingsnis. 4 padauginama iš 3 – gauname 12.
4 žingsnis. Patikrinama, ar 12 tenkina uždavinį – taip tenkina. Atsakymas: ieškomas h yra lygus 12.

Uždavinys Nr. 48 yra kiek neaiškus, nes jame be jokių paaiškinimų pateikiamos dvi skaičių lentelės ir vienas piešinys, kuris vaizduoja aštuonkampį (ar apskritimą) primenančią figūrą, įbrėžtą į kvadratą. Anot vieno spėjimo, jame pavaizduotas kvadratas, kurio kraštinės lygios įbrėžto apskritimo skersmeniui (9). Įbrėžto aštuonkampio plotas yra lygus 63 (92-2*32); skritulio plotas tada turėtų būti 64.

Michel‘is Guillemot aiškino, kad čia pavaizduotas netaisyklingas aštuonkampis, kurio plotas (92>-32-2*4 = 64) lygus įbrėžto skritulio plotui. Beje, Liudvigas Borhardtas labai panašų piešinį rado ant Liuksoro šventyklos sienos.

Uždavinyje Nr.51 skaičiuojamas trikampio plotas, Nr.52 – trapecijos plotas, Nr. 56, 57, 58 ir 59 skaičiuoja piramidės nuolydžio ilgį. Nr. 64 susijęs su aritmetine progresiją – 10 heqat kviečių reikia padalinti 10- čiai žmonių taip, kad kiekvienas sekantis gautų po 1/8 heqat daugiau, nei ankstesnis.

Literatūra

  1. T.E. Peet. The Rhind Mathematical Papyrus, 1923
  2. R. Gay Robins, Ch.C.D. Shute. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text, 1987
  3. R.J. Gillings. Mathematics in the time of pharaohs, 1972
  4. K.S. Brown. The Akhmin Papyrus, 1995
  5. A. Imhausen. Egyptian Mathematical Texts and their Contexts// Science in Context, vol 16, 2003

Egipto matematinis pergamentas  

Tai 10 x 17 colių odinis ritinys (EMLR), kurį 1858 m. nusipirko A. H. Rindas, iš kurio jį, kartu su Achmeso (arba Rindo) papirusu, 1864 m. įsigijo Britų muziejus. Jis nebuvo chemiškai suminkštintas ir išvyniotas iki pat 1927 m.

R.J. Gillings. Mathematics in the time of pharaohs Jis parašytas Viduriniosios karalystės hieroglifų raštu rašant iš dešinės į kairę. Jame išvardintos 26 racionaliosios trupmenos, kurias palydi egiptietiškų trupmenų sekos. Tai dešimt “Horo akies” skaičių (1/2, 1/4 (dukart), 1/8 (triskart), 1/16 (dukart), 1/32, 1/64) konvertuotų į egiptietiškas trupmenas, o taip pat dar 7 kitos lyginės trupmenos (1/6 – dukart, tačiau vienąkart su klaida, 1/10, 1/12, 1/14, 1/20 ir 1/30). Ir galiausiai – devynios nelyginės trupmenos (2/3, 1/3 – dukart, 1/5, 1/7, 1/9, 1/11, 1/13 ir 1/15).

Tyrinėtojai nerado nei įvado, nei paaiškinimo, kaip ir kodėl buvo paskaičiuotos ekvivalentiškos trupmenų sekos. Jos susietos su trupmenomis 1/3, 1/4, 1/8 ir 1/16. O 1/15 ir 1/13 sekose padarytos klaidos.

Vidurinės karalystės trupmenų konversijos ištaisė klaidą „Horo akies“ numeracijoje. Senojoje karalystėje naudojo begalinę numeraciją, kurioje buvo apvalinama iki 6 nario, numetant 1/64 elementus. Pavyzdžiui, 1 apibrėžiamas taip: 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + …. numetant nuo paskutinio (1/64) nario. Viduriniojoje karalystėje buvo rašomos tikslios baigtinės sekos taip išvengiant apvalinimo klaidų.

EMLR naudojo raudonus papildomus skaičius padaugintus iš mažiausių bendrų daugiklių, kad konvertuotų 26-is 1/p ir 1/pq trupmenas į neoptimalias egiptietiškų trupmenų sekas. 1/p ir 1/pq, padauginti iš daugiklių naudojant Egipto daugybos ir dalybos metodus, buvo užrašomi raudonų skaičių sumomis. Iš viso 22 unikalios trupmenos buvo konvertuotos naudojant daugiklius (2, 3, 4. 5, 6, 7, 10 ir 25), užrašytus kaip 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6, 10/10 ir 25/25.

Literatūra

  1. R.J. Gillings. The Egyptian Mathematical Leather Role – Line 8. How did the Scribe do it?// Historia Mathematica, 1981
  2. M. Gardner. The Egyptian Mathematical Leather Roll... // History of the Mathematical Sciences (ed. I. Grattan-Guinness, B.C. Yadav), 1002
  3. O. Ore. Number theory and its history, 1948
  4. E.M. Bruins. Egyptian Arithmetic// Janus 68, 1982
  5. C.S. Rees. Egyptian Fractions// Mathematical Chronicle, 10, 1981
  6. W.R. Knorr. Techniques of Fractions in Ancient Egypt and Greece// Historia Mathematica, 9, 1982
  7. J.A.R. Legon. A Kahun Mathematical Fragment// Discussions in Egyptology, 24, 1992

Maskvos matematinis papirusas  

Tai papirusas, dar vadinamas Goleniščevo matematiniu papirusu (pagal pirmąjį savininką), saugomas Puškino Valstybiniame Vaizduojamojo meno muziejuje Maskvoje. Yra 5,4 m ilgio, o plotis svyruoja nuo 4 iki 7 cm. Jis datuojamas Viduriniosios karalystės 11-ąja Egipto dinastija (apie 1850 m. pr.m.e.) – ir, tikėtina, parašytas valdant Senusertui III arba Amenemhetui III.

Tekstas 1930 m. V.V. Struvės buvo suskaidytas į 25 uždavinius, kurių kiekvienam pateikiamas sprendimas. Dauguma uždavinių skirti praktiniams klausimams, susijusiems su geometrijos panaudojimu.

Uždavinys 10: Pusrutulio plotas

Duota pintinė (pusrutulis) su 4+1/2 [pločio] anga. Koks jos [paviršiaus] plotas?

Tai pirmas žinomas istorijoje erdvinio paviršiaus ploto paskaičiavimo atvejis. Jam reikia žinoti pi (p), kurį egiptiečiai laikė esant lygiu (16/9)2=3,16… (kai Artimuosiuose Rytuose jo reikšme laikyta 3). Uždavinys spręstas taip:
Paimkite 1/9 iš 9, nes pintinė yra pusė kiaušinio. Gaunate 1. Paskaičiuojate skirtumą [atėmus iš 9), kuris lygus 8. Paskaičiuojate 1/9 iš 8. Gaunate 2/3+1/6+1/18. Randate likutį atėmus iš 8, kuris lygus 7+1/9. Sudauginate 7+1/9 ir 4+1/2. Gaunate 32, ir tai yra paviršiaus plotas.

Tai aprašo paskaičiavimą: S = 2 x d x 8/9 x 8/9 x d = (128/81) x d2

Palyginę su pusrutulio ploto formule (S = 1/2 x p x d2) matome, kad skirtumas tik apie 0.2 Problem M14: Moscow Mathematical Papyrus

Uždavinys 14: Nukirstos piramidės tūris

Jums sakys: piramidės aukštis 6, jos pagrindas – 4, o viršūnė 2. Koks jos tūris?

Sprendimas: raskite 4 kvadratą, gausite 16. Sudėkite 4 ir 4, gausite 8. Raskite 2 kvadratą, gausite 4. Dabar sudėkite 16, 8 ir 4, bus 28. Tada 6 padauginkite iš 1/3, bus 2. Tuos 2 padauginkite iš 28, bus įš – tai ir yra atsakymas.

Tai yra buvo pritaikyta teisinga formulė: V = 1/3 h (a2+ab+b2). Tik lieka neaišku, kaip egiptiečiai išvedė tą formulę.

Beje, babiloniečiai nukirstos piramidės tūrį skaičiavo netiksliai - suvidurkintą pagrindo ir viršaus plotą padaugindami iš aukščio.

Pastaba: be šių papirusų dar turimos ir Akmimo medinės lentelės...

Algebros istorija
Matematiniai anekdotai
Eudoksas iš Knido
Hiparchas iš Rodo
Dioklas ir jo cizoidė
Prometėjo pėdsakas
Pirmasis Einšteino įrodymas
Iniciatyva: Matematikos keliu
Hipatija – pirmoji matematikė
Matematika Egipte ir Finikijoje
Matematikos pradžia Lietuvoje
Abelio premijos laureatas
Puankarė teiginio įrodymas
Kas tie romėniški skaitmenys?
A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė
Australijos aborigenų matematikos samprata
Truputis apie skaičių psichologiją
Graikų matematikai - filosofai
Matematinė kalba ir simbolika
Matematikos filosofinės problemos
Senovės Graikijos skaičiuotuvas
Kalendorius senovės Egipte
Indijos matematikos istorija
Skaičių simbolika Vedose
Revoliucija mazgų teorijoje
Borchesas ir matematika
Aritmetikos pagrindai
Skaičius vienuolika
Pitagoro teorema
Vartiklis