Aritmetika  

Pagrindai

Visų natūrinių skaičių 1, 2, 3, 4, …. aibę žymėsime N. Nesigilinsime į filosofinius svaičiojimus dėl jos egzistavimo – pakanka tarti, kad tai aibė, kuri tenkina Peano aksiomas. Tai reiškia, kad aibėje apibrėžtos sudėties ir daugybos operacijos ir joms tenkinami komutatyvumo, asociatyvumo ir distributyvumo reikalavimai. Papildomai įvedamas N sutvarkymas – kad bet kuriems dviem skirtingiems Nelementams n ir m galiotų n < m arba n > m
Tada iš aksiomų yra akivaizdu pagal matematinės indukcijos principą, kad bet kuris netuščias N poaibis turi bent vieną narį.

Tada Zžymėsime visų sveikų skaičių aibę, o Q – racionaliųjų, t.y skaičių, turinčių p / q pavidalą, kur p priklauso Z, o q - N. Tada per Koši sekas ir sutvarkytas poras gausime dar ir realiųjų (R) ir kompleksinių skaičių (C) aibes. Visos jos sudaro matematinės analizės pagrindus.

Dalumas

Apibrėžimai. Natūrinis skaičius a dalijasi iš natūrinio skaičiaus b (arba a dalusb), jei egzistuoja toks natūrinis skaičius k, kad a=bk.
Natūrinis skaičius b dalo natūrinį a (žymima b|a), jei a dalijasi iš b.
b vadinamas dalikliu, o a – kartotiniu.

Pvz., a=15 ir b=3. 15 dalus iš 3; 3 dalo 15; 3 yra 15-os daliklis, o 15 – 3-jų kartotinis.

Santykis b|a yra refleksyvus (a dalo pats save) ir tranzityvus (jei c dalo b, o b dalo a, tada c dalo a),
tačiau nesimetrinis (jei b|a, tai nebūtinai a|b, pvz, a=15 ir b=3). Iš to seka, kad, jei b|a ir a|b, tada a=b.
Taip pat aišku, kad, jei b|a, tada b £ a, tad natūrinis skaičius turi baigtinį skaičių daliklių.

Dalumo koncepcija lengvai išplečiama sveikų skaičių aibei (Z) su sąlyga b ¹ 0.
Dalybos algoritmas išreiškia faktą, kad bet kuriems a ir b, priklausantiems Z, kai b > 0,
egzistuoja q ir r, priklausantys Z, tokia, kad a = bq + r ir 0 £ r < b
Įrodymas paprastas:  Tarkime, kad visi skaičiai yra natūriniai. Tada, jei bq yra toks didžiausias b kartotinis, kuris neviršija a,
tada sveikasis skaičius r=a-bq akivaizdžiai nėra neigiamas, o kadangi b(q + 1) > a, tada r < b
Tai lieka teisinga ir visiems sveikiesiems skaičiams, kai b ¹ 0, o sąlyga r < b pakeista į r < |b|

Skaičių laipsnių liekanos

Pvz., bet kokio sveikojo skaičiaus kvadratą dalindami iš 3 negausime 2.
Iš tikro, galimi trys variantai: a º 0 (mod 3); a º 1 (mod 3); a º 2 (mod 3).
Pakėlę juos kvadratu gausime: a2 º 0 (mod 3); a2 º 1 (mod 3); a2 = 4 º 1 (mod 3).

Papildomai skaitykite: Skaičiai: apžvalga ir pradmenys
Fundamentalioji aritmetikos teorema
Didžiausias bendras daliklis
Pirminiai skaičiai


Paaiškinimai

Peano aksiomos (arba postulatai) – viena iš natūrinių skaičių aksiomų sistema, pasiūlyta 19 a. italų matematiko Dž. Peano. Jos leido formalizuoti aritmetiką, įrodyti daugelį natūrinių ir sveikų skaičių savybių. Sutrumpintu pavidalu panaudotos daugelio fundamenalių klausimų, tokių kaip skaičių teorijos neprieštaringumo ir pilnumo, nagrinėjimuose.

Pradžioje Peano suformulavo 9-ias aksiomas – iš jų pirmosios 5 yra apie bent vieno element egzistavimą ir teiginiai apie lygybę. Likusios – apie natūrinių skaičių išraišką per eiliškumą bei indukcijos taikymą jiems.

  1. 1 yra natūrinis skaičius;
  2. Kiekvienam natūriniam n, n=n (refleksyvumas);
  3. Visiems natūriniams skaičiams a ir b, jei a=b, tada b=a (simetriškumas);
  4. Visiems natūriniams skaičiams a, b ir c, jei a=b ir b=c, tada a=c (tranzityvumas);
  5. Visiems skaičiams a ir b, jei b yra natūralus skaičius ir a=b, tada a irgi natūralus (uždarumas lygybės atžvilgiu);
  6. Skaičius, esantis po natūrinio skaičiaus, irgi yra natūrinis;
  7. 1 nėra po jokio kito natūrinio skaičiaus;
  8. Jei natūrinis skaičius a seka iškart po b ir c, tada b ir c yra tapatūs (injektyvumas);
  9. Jei koks nors teiginys įrodytas 1 ir iš prielaidos, kad jis teisingas natūriniam skaičiui n, tai jis teisingas ir iškart einančiam po n natūriniam skaičiui (indukcija).

Koši sekos - tai metrinės erdvės elementų seka, kuriai bet kuriam duotam atstumui egzistuoja elementas, pradedant kuriuo visi elementai yra vienas nuo kito mažesniu atstumu nei duotasis atstumas. Seka pavadinta prancūzų matematiko A. Koši garbei.

Koši sekos pasižymi kai kuriomis savybėmis:

Dalyba iš nulio
Kvadratinė lygtis
Ar įrodytas abc teiginys?
Kokiu greičiu skriejame?
Proveržis skaičiuojant skaidinius
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Kombinatorika, polinomai, tikimybės
Kai kurios pirminių skaičių formos
Aukso gysla Ramanadžano lygtims
Omaras Chajamas: ne vien Rubijatai
Geriausios alternatyvos parinkimas
Skaičiai B ir jų kvantinės sistemos
Truputis apie skaičių psichologiją
Matematikos atgimimas Lietuvoje
Pagrindinės statistinės sąvokos
Iniciatyva: Matematikos keliu
Nepaprasti Visatos skaičiai
Didžioji Ferma teorema
Matematiniai anekdotai
Nulio istorija
Vartiklis