Pirmasis Einšteino įrodymas

1949 m. lapkričio 26 d. „Saturday Review of Literature“ paskelbė A. Einšteino esė, kurioje jis aprašė du svarbius savo vaikystės momentus. Pirmasis jų susijęs su kosmosu, kurį jam parodė tėvas, kai jam buvo 4 ar 5 m. Jis prisiminė tą nuostabą, patirtą nuo to, kad kompaso rodyklė visad rodo šiaurę, nors niekas jos nenukreipia ta kryptimi. Jis padarė išvadą apie fizikinio pasaulio sandarą: „Kažkas giliai paslėpta turi būti už visų dalykų“. Kitas – netrukus jam sulaukus 12-a, kai gavo brošiūrą apie Euklido geometriją plokštumoje. Ji atskleidė idėją, kad matematikos teiginys gali būti įrodytas taip tikrai, kad nelieka jokių abejonių dėl jo teisingumo. Tai sukėlė kitokio tipo nuostabą – kad mintis gali būti tokia stipri kaip geomagnetizmas.

Jau praėjo šimtmetis nuo bendrosios reliatyvumo teorijos paskelbimo. Iš tikro, ji neįtikėtinai sudėtinga. Kai britų astrofizikas A. Edingtonas, vadovavęs komandai, patvirtinusiai Einšteino prognozes per 1919 m. Saulės užtemimą, paklaustas, ar tikrai pasaulyje tik 3 žmonės ją supranta, nieko neatsakė. Klausiantysis ragino: „Nebūkite toks kuklus!“, į ką Edingtonas replikavo: „Aš tik bandau atspėti, kas trečias“.

Laimei, turime ankstyvesnį, paprastesnį Einšteino mąstymo pavyzdį. Dar prieš gaudamas geometrijos knygą, ją jį supažindino dėdė inžinierius Jakovas. Einšteiną ypač sužavėjo Pitagoro teorema, kuriai jis, įdėjęs „daug pastangų“, parašė netgi savą įrodymą. Jam viskas, ką rasime ir reliatyvumo teorijoje.

Pitagoro teoremos esmė yra formulė:
a²+b²=c²

Dauguma esam ją girdėję, tačiau retas susimąstęs apie jos esmę. Pradžioje pasižiūrėkime į žodžio geometrija etimologiją – iš graikų kalbos šaknų geo - „žemė” ir metria - „matavimas“. Lengva suprasti, kad senovėje žmonės ir valdovai buvo susirūpinę žemės sklypų matavimu (Egipte patvinęs Nilas kasmet juos užliedavo ir po jo vėl reikdavo juos sužymėti) – dėl mokesčių. Tad įsivaizduokime stačiakampį sklypą:

Koks jo plotas?   axb=30x40=1200
Tas skaičius yra vienintelis dalykas dominantis mokesčių surinkėją. Jam visai nerūpi, kokia sklypo forma. Tuo tarpu matininkui rūpėjo būtent sklypo forma. Ir jam galėjo kilti klausimas – koks atstumas nuo vieno kampo iki kito?

Atsakymas jau ne toks akivaizdus, kaip dėl ploto, tačiau jį buvo radę visos senosios civilizacijos: Egipto, Babilono, Graikijos, Indijos ir Kinijos. Jo esmė ir glūdi Pitagoro teoremoje. Įsivaizduokime ant trikampio kraštinių nupieštus kvadratus:

Pitagoro teorema teigia, kad kvadratų plotai prie trikampio statinių yra lygus kvadrato prie įžambinės plotui. O kadangi stačiakampio įstrižainė dalija stačiakampį į du lygius trikampius, tad

Bet kodėl Pitagoro teorema teisinga? Pateikta šimtai jos įrodymų. Tai paprasti Pitagoro ir kinų, o taip pat nepaprastai sudėtingas, pateiktas Euklido „Elementuose“, vertęs kankintis mokinius per tūkstantį metų, ir privertęs A. Šopenhauerį pajausti „tam tikrą nepatogų pojūtį, kokį patiriame po magų triuko“. Yra netgi prezidento Dž.A. Garfieldo^*) įrodymas, kuriame išmaniai panaudojama trapecija.

Gaila, kad Einšteinas nepaliko savo įrodymo užrašų. Minėtoje esė jis tik užsiminė, kad jis rėmėsi „trikampių panašumu“. Biografai Walter Isaacson‘as, Jeremy Bernstein‘as ir Banesh Hoffman‘as aprašė žingsnius, kuriuos turėjo atlikti Einšteinas, iš naujo atrasdamas gerai žinomą įrodymą. Ir tada knygoje „Fraktalai, chaosas, dėsniai apie jėgą“ (1991) fizikas M. Schroeder’is^**) pateikė ypač paprastą įrodymą, kurį atsekė iki Einšteino. Jis rašė, kad jį išgirdo iš chemiko S. Lifson’o, jį girdėjusi iš E. Straus’o, vieno iš Einšteino padėjėjų, jį girdėjusį iš paties Einšteino.

1 žingsnis: Iš stataus kampo nubrėžkime statmenį į įstrižainę. Abiejų susidariusių trikampių plotas yra viso pradinio trikampio plotas:

2 žingsnis: Visi tie trys trikampiai yra panašūs:

3 žingsnis: Kadangi trikampiai panašūs, kiekvieno jų plotas jų užima tą pačią (f) savo įstrižainės kvadrato dalį - simboliškai, trikampių plotai yra fa², fb² ir fc²:

Pastaba: kol kas nesijaudinkite, kad tai verčia kiek palaužyti galvą – apie tai bus daugiau paaiškinta toliau)

4 žingsnis: Prisiminus, kad mažesnieji trikampiai sudaro didžiausią, galime užrašyti:
fa²+fb²=fc²

5 žingsnis: formulę supaprastinę iš f gausime ieškomą formulę:
a²+b²=c²

Šis įrodymas remiasi dviem įžvalgomis. Pirmoji yra ta, kad trikampį galima suskaidyti į du mažesnius trikampius – tai stačiųjų trikampių savybė. Taigi, statieji trikampiai yra tarsi sudaryti iš mažesniųjų savo kopijų. Antroji įžvalga yra sumavimas – mes galime sumuoti kvadratus (4 žingsnis), nes sudedami trikampiai (1 žingsnis). O kvadratai yra proporcionalūs trikampiams.

Atėjo laikas paaiškinti 3 žingsnį. Paimkim lygiašonį statųjį trikampį ir nubrėžkime kvadratą ant įstrižainės:

O tada nubrėžkime įstrižaines gautame kvadrate (trūkios linijos):

Kaip matote, gaunam 4-is trikampius, lygius pradiniam, kitaip – trikampio protas sudaro ketvirtį kvadrato, t.y. f=1/4
Ir šis santykis išliks toks pat, nepriklausomai nuo trikampio dydžio. f yra formos, o ne dydžio savybė. Tai ir paaiškina 3 žingsnį, nes tai galioja ne vien lygiašoniams statiesiems trikampiams (tik f reikšmės skirtųsi).

Čia matome esminį simetrijos fakto panaudojimą. Moksle ir matematikoje apie simetriją kalbame tada, kai koks nors aspektas išlieka atlikus pakeitimus. Pvz., sfera yra simetriška pasukimo atžvilgiu – kaip bepasuksi, ji išliks tokia pat. Roršacho rašalo dėmė turi atspindžio simetriją – jos veidrodinis atspindys atitinka originalą. 3-iame žingsnyje Einšteinas panaudojo mastelio simetriją.

Per savo gyvenimą Einšteinas simetriją naudojo tarsi skalpelį, kad pasiektų paslėptą dalykų esmę. Revoliucinį 1905 m. straipsnį apie specialiąją reliatyvumo teoriją Einšteinas pradėjo nurodydamas egzistuojančių elektros ir magnetizmo teorijų asimetriją: „Žinoma, kad Maksvelo elektrodinamika, ... taikoma judantiems kūnams, veda į asimetrijas, kurios neatrodo būdingos reiškiniams“. Jis jautė, kad tos asimetrijos privalo būti susijusios su kažkuo labai esminga fizikoje, kurią gali tekti performuluoti.

Abi, specialioji ir bendroji, reliatyvumo teorijos yra ir geometrinės teorijos. Jose Visatos matavimas išeina iš trijų; ketvirtuoju tampa laikas. Vietoje atstumo tarp dviejų taškų imamas intervalas tarp dviejų įvykių (erdvėlaikio matavimas). Ir Pitagoro teorema tebelieka teisinga ir bendrojoje reliatyvumo teorijoje, kurioje erdvėlaikį iškraipo jame esanti materija bei energija – tik tada panaudojama kitokia metrika.

Praėjus daugeliui metų po savojo Pitagoro teoremos įrodymo, Einšteinas ta pamoka pasidalino su 12-mete Barbara L. Wilson, jam parašiusi prašydama patarimo. Ji rašė: „Dauguma mano klasės turi pavyzdžius, kuriems rašė...“ Ji pasiskundė dėl jos pažangos matematikoje: „Turiu dirbti ilgiau nei mano draugės“. Einšteinas atsakė: „Iki šiol niekad nesvajojau būti pavyzdžiu.“ O tada „Nesirūpink dėl sunkumų matematikoje. Galiu tave užtikrinti, kad maniškiai buvo didesni“. Ir tikrai, nors buvo matematiškai „pasikaustęs“, vis tik nebuvo geriausias pasaulyje. D. Hilbertas mestelėjo: „Bet kuris berniūkštis Getingeno gatvėse daugiau supranta keturmatę geometriją nei Einšteinas“.

---

^*) Džeimsas Garfyldas (James Abram Garfield, 1831-1881) – 20-ais JAV prezidentas (1881), nužudytas netrukus po inauguracijos.
1876 m. parodė savo matematinius sugebėjimus, pateikęs savą Pitagoro teoremos įrodymą panaudojant trapecijas (jis buvo paskelbtas „New England Journal of Education“).

^**) Manfredas Šrioderis (Manfred Robert Schroeder, 1926-2009) – vokiečių fizikas teoretikas, daugiausia prisidėjęs akustikos ir kompiuterinės grafikos srityse. 1954 m. išvyko į JAV ir dirbo ATT Bell Laboratories. 1958-1969 m. tyrinėjo kalbos akustiką. 1969 m. pradėjo dirbti Getingeno un-te (iki 1991 m.). Pagarsėjo kaip koncertinių salių akustikos žinovas. Dirbdamas „Bell labs“ taip pat sukūrė suspaudimo algoritmą, dabar naudojamą mobiliuose telefonuose, o taip pat užsiėmė kalbos sintezės klausimais. Parašė ir knygų apie matematiką: iš skaičių teorijos, apie fraktalus. Jis užregistravo 45 patentus.

Ferma taškas
Algebros istorija
Pitagoro teorema
A. Einšteino panteizmas
Hipatija – pirmoji matematikė
Iniciatyva: Matematikos keliu
Pagrindinė aritmetikos teorema
Matematikai: Davidas Hilbertas
Matematika Egipte ir Finikijoje
Galua – genijus ir revoliucionierius
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Lietaus uždavinys ir matematinis mąstymas
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė
S. Lemas. Televizija be korseto
Golbacho teiginio įrodymas?
Skaičiai – apžvalga/ pradmenys
Borchesas ir matematika
Ar įrodytas abc teiginys?
Didžioji Ferma teorema
Begalybė (pristatymas)
Harmoninės eilutės
Dioklas ir jo cizoidė
Nulio istorija
Vartiklis