Matematikai

J. Tate: Abelio premijos laureatas

Kiti laureatai: 2009: M. Gromovas; 2010: J. Tate; 2011: J. Milnoras 2012: M. Szemeredi; 2013: Pierre Deligne; 2014: Jakovas Sinajus

2010 m. Abelio premija, kurią nuo 2003 m. skiria Norvegijos vyriausybė (6 mln. NKK), atiteko Džonui Teitui, kuris laikomas pagrindiniu algebrinės skaičių teorijos „architektų“. Šioje srityje pritaikė funkcinės analizės ir algebrinės geometrijos metodus. Dž. Teito darbai elipsinių kreivių srityje prisidėjo prie Ferma teoremos įrodymo. Premija įteikta gegužės 25 d. Osle. Jis yra gavęs ir Volfo premiją (2002-03 m. kartu su Mikio Sato).

John Torrence Tate Dž. Teitas (John Torrence Tate) gimė 1925 m. kovo 13 d. Mineapolyje (JAV, Minesotos v.). Mokslo daktaro laipsnį gavo 1950 m. Prinstono un-te. Dirbo Harvardo (nuo 1954 m.) ir Teksaso un-te Ostine (nuo 1990-ųjų), kurį paliko 2009 m., išeidamas į pensiją. 1969 m. buvo išrinktas į Nacionalinę MA, 1992 m. Prancūzijos MA užsienio nariu, 1999 m. Londono matematikos draugijos nariu. Dalyvavo garsiojoje „Nikolos Burbaki“ grupėje (vienu tų retų narių, kurie nebuvo prancūzais).

Skaičių teorija per praeitą šimtmetį išsiplėtojo į vieną sudėtingiausių matematikos šakų. Joje Dž. Teitas dirbo bent 6 dešimtmečius, pasiūlė nemažai idėjų ir struktūrų, kurios dabar vadinamos jo vardu, pvz., Teito modulis, Teito kreivė, Teito ciklas, Serre-Teito parametras, Teito trajektorija, Šaferevičiaus-Teito grupė, Nerono-Teito aukštis ir t.t. Didelę reikšmę turi klasių laukų teorijoje pritaikytas (kartu su Emiliu Artinu) Galua kohomologijų aparatas.

Abelio premijos komitetas paminėjo ir jo 1950 m. disertaciją apie Furjė analizę skaičių teorijoje, kuri nutiesė kelią šiuolaikinei automorfinių formų su L-funkcijomis teorijai, naudojančiai adityvių idelių (idele) žiedą. Vėliau tai išvystė į dabar vadinamąją Teisto kohomologijų teoriją. Su Džonatanu Lubinu perkūrė lokalių klasių laukų teoriją panaudodami formaliąsias grupes, sukurdamas Lubino-Teiko sudėtingos daugybos lokaliąją teoriją. Griežtų analitinių erdvių įvedimas išsiplėtojo į griežtos analitinės geometrijos sritį. Dž. Teitas sukūrė p-analogą Hodžo (Hodge) teorijai, gavusiai Hodžo-Teito teorijos vardą.

Toliau populiaria kalba pabandysime paaiškinti keletą aspektų toms idėjoms, su kuriomis dirbo Teitas.

Teito disertacija: nesąmonei suteikiama prasmė

Nemažai žmonių palaikys pokštu pasakymą, kad Abelio premijos kertinis akmuo yra lygtis
1+2+3+4+....=-1/12

Garsusis indų matematikas Ramanudžanas apie šios formulės atradimą parašė keliems Anglijos matematikams ir, suprasdamas jos tariamą absurdiškumą, pridūrė: „Jei jums tai pasakysiu, jūs iškart man nurodysite, mano tikslu yra lunatikų psichiatrinė“. Tačiau vienas Kembridžo matematikas. G.H. Hardy suprato, kad tas skaičiavimas nėra nesąmonė. Faktiškai jis perteikia viena stulbinančių B. Rymano įžvalgų. Teito disertacija suteikė šiai lygčiai naują matematinę perspektyvą, apibendrinusią Rymano pasiekimą ir leidusią išplėsti tas idėjas į daugelį kitų skaičių teorijos sričių. Visų šių priemonių centre buvo bandymas perprasti paprasčiausius, bet vis dar išliekančius paslaptingais, pirminius skaičius, kurie yra baziniai blokai, iš kurių sukonstruojami visi kiti skaičiai. Map of Zeta function

Rymanas iškėlė idėją, vadinamą dzeta funkcija, siekdamas nustatyti mechanizmą, kuris valdo pirminių skaičių elgesį. Zeta funkcija priima du skaičius, kuriuos galima laikyti tarsi koordinatėmis žemėlapyje ir gražina skaičių, kuris yra tarsi vietovės aukštis. Taigi, Rymano zeta funkcija tarsi aprašo kraštovaizdžio reljefą, pagal kurio kontūrus galima spręsti apie pirminių skaičių ypatybes.

Tačiau nesklandumas tame, kad dzeta funkcija turi prasmę, kai pirmoji koordinatė, nusakanti padėtį rytų- vakarų kryptimi, yra didesnė už 1. O brėždami kreivę vakarų kryptimi gauname spiralę, užsiriečiančią į begalybę. Tačiau Rymanas rado būdą, kaip pratęsti kraštovaizdžio reljefą ir būtent tą būdą perteikia formulė
1+2+3+4+....=-1/12

Kairė jos pusė mums sako, kad aukštis aplink tašką (-ą,0) spirale kils iki begalybės, o dešinė pusė nurodo, koks būtų aukštis, jei kraštovaizdis būtų tęsiamas. Jo analizė taip pat atskleidė tam tikrą simetriją tame kraštovaizdyje. Rymanas turėjo įvesti kai kuriuos nenatūraliai atrodančius elementus, kad gautų savo pasiekimus. Tačiau būtent Teito disertacija atskleidė, kodėl tai visai natūralūs dalykai. Jo darbas įnešė tokį aiškumą, kad jis imtas taikyti ir daugeliui kitų dzeta funkcijų. Dzeta funkcijos skaitines reikšmes perteikia geometriniais objektais, iš kurio formos galima spręsti apie skaitinių reikšmių ypatybes. Taip Rymano amžininkas Dirichlė panaudojo dzeta funkcijos idėją spręsdamas uždavinį:
Kiek yra pirminių skaičių, kuriuos dalinant iš 4 gauname liekaną, lygią 1 (kaip 17 ar 41)? Ar jų be galo daug? O kaip skaičių, kuriems liekana lygi 3 (kaip 19 ar 43)?

Nors matematikai gali tirti skaičių savybes vien iš įdomumo, tai turi ir labai rimtą praktinę reikšmę, nes pirminiai skaičiai turi didelę įtaką ekonomikai, nes jie yra šifrai, kurie naudojami tinklais perduodamos informacijos šifravimui (daugiau apie tai skaitykite >>>>).

Susipažinkite: Rymano hipotezės paaiškinimas

Nedidelis iššūkis jums: imkime skaičių 126619. Jis nėra pirminis, nes yra dviejų kitų pirminių skaičių sandauga. Kaip greitai pavyks jums rasti tuos du skaičius? Truputį užtruko? Jei pavyko, tai laikykite, kad nulaužėte šifrą. Tačiau dabar informacijos šifravimams naudojami skaičiai, kuriuos sudaro per 200 skaitmenų. Juos „nulaužti“ tikrai labai sunku (iš šiuolaikiniams kompiuteriams praktiškai neįmanomu uždaviniu). O Teito darbai skaičių teorijoje gali padėti suprasti, kaip galima įveikti tokius šifrus. Tačiau tada galima bus pradėti šifrus, kurių matematinis pagrindas visai kitoks.

Pastaba: Prof. Opeyemis Enochas (Opeyemi Enoch) iš Nigerijos teigia įrodęs Rymano hipotezę ir jos įrodymą pristatė 2015 m. lapkričio 11 d. Tarptautinėje Matematikos ir Kompiuterijos mokslų konferencijoje Vienoje (Austrija).

Elipsinės kreivės Taip pat skaitykite >>>>>

Garsioji Pitagoro formulė yra
a2+b2=c2
Clay Tablet with Mathematics kurios vienas sprendinių yra 3, 4 ir 5. Kitas sveikų skaičių sprendinys pateikiamas Babilono molio lentelėje, kuri žymima „Plimpton 322”:
135002+127092=185412

Senovės graikai nustatė, kad yra be galo daug sveikų sprendinių ir Diofantas (3 a.) parašė formulę visų jų generavimui. Tas pasisekimas paskatino kitus matematikus ieškoti sveikų sprendinių įvairioms lygtims. Pvz., Archimedas pateikė iššūkį Aleksandrijos matematikams:

Suskaičiuok, o drauge, skaičių galvijų, kuriuos, suskirstytą į 4 bandas pagal plauko spalvą, kartą išvydo saulė, pažvelgusi į Sicilijos lygumas: pieno baltumo, juodas, juodmarges ir žalas. Jaučių yra daugiau nei karvių ir priklausomybės yra tokios:
Baltų jaučių = (1/2+1/3) juodų jaučių + žali jaučiai; :
Juodi jaučiai = (1/4+1/5) juodmargių jaučių + žali jaučiai; :
Juodmargiai jaučiai = (1/6+1/7) baltų jaučių + žali jaučiai; :
Baltos karvės = (1/3+1/4) juodos bandos; :
Juodos karvės = (1/4+1/5) juodmargės bandos; :
Juodmargės karvės = (1/5+1/6) žalos bandos; :
Žalos karvės = (1/6+1/7) baltos bandos.

Visiškai suprantama, kad karvių negalima dalinti į dalis, tad reikia rasti sveikų skaičių sprendinį, kas nepavyko Aleksandrijos matematikams. Tai ir nenuostabu, nes bendras uždavinio sprendinys buvo rastas tik 1880 m., o mažiausias Archimedo sąlygą tenkinantis galvijų skaičius yra 7,76 * 10206544 eilės (kai visoje matomoje Visatoje tėra 1080 atomų!). Tik atsiradus kompiuteriams atsirado galimybė gauti tą skaičių. Sprendimo pagrindu yra rasti sveikus sprendinius lygčiai:
x2-ny2=1

18 a. matematikas L. Oileris (Euler) ją lygtis pavadino Pelo lygtimi 17 a. anglo John‘o Pell‘o garbei. Tačiau reikia prisiminti, kad šias lygtis dar 7-me a. tyrinėjo indas Brahmagupta. Jos įdomios ir tuo, kad trupmena x/y neblogai aproksimuoja kvadratinę šaknį iš n.

Pakeitus šiose lygtyse antrą laipsnį į trečiąjį gausime vadinamąsias elipsines lygtis, kurių sprendimu užsiėmė ištisos matematikų kartos. Yra daugybė elipsinių lygčių, kurių bendra išraiška yra tokia:
y3=x3+ax+b
Pvz.,
Eliptic Curves

Vienas iš svarbių uždavinių yra rasti sveikus arba racionalius (trupmeninius) šių lygčių sprendinius. Pvz., y3=x3-2 turi sprendinį y=5 ir x=3. Ar yra daugiau sprendinių? Šiai konkrečiai lygčiai yra be galo ją tenkinančių daug sveikų arba racionalių skaičių porų. Tačiau lygtis y3=x3-43x+166 teturi tik 7-is sprendinius: (y=8, x=3) ir kt.

DJ. Tate kūrė priemones, padedančias tirti elipsinių kreivių paslaptis. Pvz., Šaferevičiaus-Teito grupė duoda matą, leidžiantį nustatyti kiek sprendinių galima suformuoti iš trupmenų, sudarytų iš vadinamųjų p-adinių skaičių. Įdomu, kad Rymano įvestos priemonės tinka ir šių lygčių sprendinių sampratai, - panaudojant dzeta funkcijų analogą vadinamą L-funkcijomis.

Atsiras sakančių – „o kam tai rūpi?“. Tačiau elipsinių funkcijų matematika vis plačiau naudojama mobiliuosiuose telefonuose, įvairiose elektroninėse kortelėse ir pan. , kur užtikrina sistemų saugumą. Šifravimo metu taškas juda aplink kitą tašką pagal elipsinių lygčių aprašomą geometriją. Šifro nulaužimui vėlgi reikia atlikti nepaprastai daug matematinių veiksmų.

Papildomai apie elipsines kreives: >>>>

Numerologinė įžvalga

Savotiškai įdomu į šį įvykį pažiūrėti numerologijos akimis. Dž. Teitas gimė 1925.03.13.
Tad jo asmeniniai metai 2+0+1+0+0+3+1+3=19, o tai reiškia: pasiekimą, sėkmę, sunkiai užsidirbtus nuopelnus, kantrybę.
19 m.+3 (kovas) = 22 – jo asmeninis mėnuo (2010.03.13-04.12);
22 mėn. + 25 (kovo 25-a) = 47 0 jo asmeninė diena, o tai yra ateitis, šlovė, garbė, išgarsėjimas, VIP, gyvenimas viešumoje ir pan.

John Torrence Tate – 81-108 metus nusako 10-12 vardo raidės: 14 (n)+3(c)+5(e) = 22
O tai sutampa su jo mėnesio skaičiumi!

Literatūra

  1. J. Tate. Fourier analysis in number fields and Hecke’s zeta functions// Ph.D. thesis under Emil Artin, 1950
  2. L. Serge, J. Tate. Principal homogenous spaces over abelian varieties// Am. J. of Mathematics, 80, 1958
  3. J. Lubin, J. Tate. Formal complex multiplication in local fields// Annals of Mathematics, 81, 1965b
  4. J. Tate. Endomorphisms of abelian varietes over finite fields// Inventiones Mathematicae, 2, 1966
  5. J. Tate. P-divisible groups// Proc. Of a Conf. On Local Fields, 1967
  6. E. Artin, J. Tate. Class field theory, 2009 [1967]
  7. J.-P. Serre, J. Tate. Good reduction of abelian varieties// Annals of Mathematics, 88, 1968
  8. J. Tate. Rigid analytic spaces// Inventiones Mathematicae, 12, 1971

Pastaba: Kelios trumpos kitų matematikų biografijos pateiktos atskiruose puslapiuose:
G. Perelmanas - Keistuolio suprasti neįmanoma?
Michailas Gromovas - Abelio premijos laureatas
George Sugihara-biologas-teoretikas ir opologas
Martin John Dunwoody - nepavyko bandymas
Sandy L. Zabell ir „dviejų vokų“ paradoksas
Donas Zagieras - skaičių teorijos specialistas
Aslanas R. Kasimovas

Pirminiai skaičiai
Trikampiai skaičiai
Jų begalinė išmintis
Šiuolaikiniai matematikai
Didžioji Ferma teorema
Iniciatyva: Matematikos keliu
Proveržis skaičiuojant skaidinius
Tjorstono geometrizacijos teiginys
Žvaigždžių virš Babilono funkcija
Apie Tarskio skritulio kvadratinimą
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Algoritmų pirmeivis laimėjo Kyoto premiją
Džordžas Birkhofas - matematikas ir meno matuotojas
D. Spielmanas gavo Nevanlinna premiją
Viešojo rakto kriptografija
Graikų matematikai - filosofai
Matematikai: Davidas Hilbertas
Japonų matematikas Sh. Mochizuki
Rymano hipotezės paaiškinimas
Archimedas ir jo laikmetis
Matematikai: Pjeras Ferma
Borchesas ir matematika
Smeilo paradoksas
Matematiniai anekdotai
Landau nuslopimas
Fieldso medalis
Matroidai
Vartiklio naujienos