Senovės graikų matematikai

Archimedas ir jo laikmetis

Aristotelio ir Euklido laikais įvyko esminis pokytis – aktyviausi Balkanų ir Jonijos poliai pateko į makedonų pavaldumą, o juos helenai laikė pusiau barbarais. Išsimokslinusiems helenams teko taikytis prie nuolatinės tironijos mažiau atsižvelgiant į minios nuomonę. Skirtingai nuo Atėnų, Aleksandrijos teismas negalėjo pasmerkti piliečio mirčiai ar tremčiai, tačiau tai galėjo padaryti faraonas Ptolomėjus2). Dar paprasčiau jis galėjo liautis finansuoti Muziejų (skaitykite apie Aleksandrijos biblioteką) – visų mūzų šventovę. Tik štai Ptolomėjai to nedarė – jie siekė visaip palaikyti graikų kultūros klestėjimą naujojoje Egipto sostinėje, kurioje graikai sudarė apie trečdalį gyventojų (kai visame Egipte – tik apie 2-3%).

Žyniai Ptolomėjų paskelbė esant Amono sūnumi, mirusio ir prisikėlusio Ozyrio įsikūnijimu, Ra ir Toto išrinktuoju. Bet Totas buvo mokslų globėjas... ir Euklidas bei kiti Muziejaus darbuotojai buvo pervesti į žynių rangą.

Ir čia pamokančia yra legenda apie Euklido ir Ptolomėjaus ginčą. Valdovas nusprendė, kad „Pradmenų“ kalba ir stilius per sudėtingi paprastam žmogui – ir pasiūlė geometrui parašyti populiarų geometrijos vadovėlį. Euklidas atsisakė – ir faraonas „prarijo“ tą skaudulį. Mat geometrija jau buvo tapusi religijos dalimi – o religijos įsisavinimas negali būti lengvas net valdovams! Kitaip nemokšos negerbs mokytumo! Vėliau tos pažiūros įsitvirtino Viduramžių religinėje bendruomenėje. Daug amžių vienuoliai ir universitetų studentai „zubrino“ sunkią Euklido knygą kaip ir tokią pat nelengvą astronomijos traktatą, Klaudijaus Ptolemėjaus „Almagestą“ (2 a.).

Pirmoji mokslo populiarinimo knyga pasirodė Romoje Cezario laikais – Titas Lukrecijus Karas3) parengė „Apie daiktų prigimtį“, kurios perskaitymas, vienok, skaitytojo nepadarys Archimedo svertas mokslininku. Bet romėnai to ir nesiekė – jie gerbė inžinierių ir teisininkų meistriškumą, bet mokslininkų veikla jiems prarado religinį šventumą. Ir tuo metu teko „laimė“ gyventi Archimedui (apie 287-212 m. pr.m.e.).

Jis gimė Sicilijoje, Sirakūzuose, ir buvo tirono Agafoklio palikuoniu. Tik, matyt, jis nesiveržė į [politinę valdžią, ir jaunuolis nuvyko lavintis į Aleksandriją, kur rado mokytojus ir draugus: Kononą,  Dosifėjų1),  Erastofeną. Vėliau, jau tapęs žinomu mokslininku, grįžo į gimtuosius Sirakūzus, tik nespėjo ten sukurti savo mokyklos.

Jis puikiai derino geometrinę intuiciją ir eksperimentatoriaus vaizduotę su sudėtingais paskaičiavimais (vėliau tokiais sugebėjimais pasižymėjo Oileris ir Gausas). Jis padėjo pagrindus tūrių skaičiavimui bei liestinių kreivėms suradimui „priartėjimo metodu“ (t.y. funkcionalinei analizei). Pvz., jis sumavo begalinę mažėjančią geometrinę progresiją, taip išspręsdamas Zenono  paradoksą apie Achilą ir vėžlį, paskaičiavęs, kada bus pavytas vėžlys. Be to Archimedas tiksliai apskaičiavo pusrutulio tūrį, parodęs, kad jis dukart didesnis už kūgio su tokiu pat pagrindu ir aukščiu tūrį. Jis surado ir svorio centrus pusrutuliui, kūgiui ir kitiems kūnams, neturintiems simetrijos centro atžvilgiu.

Ir gyvendamas mokslo „provincijoje“, aktyviai susirašinėjo su Aleksandrijos mokslininkais. Jo laiškus nurašinėjo tarsi mokslinius straipsnius.

Aišku, jis negalėjo apeiti sunkiausios to meto astronominės problemos: tikrosios planetų orbitų formos ir planetų judėjimo dėsningumų. Dar Eudoksas nustatė, kad neteisingas gražus Pitagoro teiginys apie tolydų planetų judėjimą apskritimais, ir pasiūlė pataisą, kad planetos juda apskritimais, riedančiais apskritimu. Tačiau tada jų orbitas paskaičiuoti gana sudėtinga.

Kad išvengtų sudėtingų skaičiavimų, Archimedas nusprendė sukurti mechaninį Saulės sistemos modelį iš vienas kitu riedančių dantračių. Iš esmės tai buvo pirmasis analoginis kompiuteris, vėliau pavadintas astroliabija. Jo pagalba Archimedas ir matavo planetų judėjimo nukrypimus. Bet ir šio darbo nespėjo baigti – 212 m. jis krito nuo Sirakūzus užėmusio romėnų kario rankos, bandęs užstoti savo darbus („Neliesk mano apskritimų!“) – tuo metu Roma kovėsi su Hanibalu. Išlikę Archimedo rankraščiai ir jo
Archimedo svertas
16 a. graviūra: Archimedas padega laivus
„kompiuteris“ buvo nugabenti į Romą, bet ten neatsirado specialistų, galinčių suprasti ir panaudoti didžiojo sirakūziečio atradimus: astroliabija ilgai stovėjo Forume kaip keistas žaislas smalsiems lankytojams. Taip baigėsi graikų mokslo klestėjimas Italijoje...

Plačiai paplitęs pasakojimas, kad, sutelkęs nuo bronzinių skydų atsispindinčius Saulės spindulius, Archimedas padegdavo Sirakūzus puolančių priešų laivus.Teoriškai tai įmanoma, bet priemonės tam nėra paprastos. Romėnų medikas Klaudijus Galenas veikale „Apie temperamentus“ rašė: „...ir apie Archimedą sako, kad jis degino priešų triremas“. Bizantijos filologas Joanas Cecemas (12 a.) kūrinyje „Tūkstančiai“ aprašo Archimedo uždegančius veidrodžius. Tačiau istorikams kilo abejonių dėl aprašomų įvykių tikrumo, nes ankstyvesniuose kūriniuose jie neminimi, pvz., jų nėra ir Plutarcho „Gyvenimuose“, kur pateikiama nemažai detalių apie Archimedą.

Greitam sauso medžio užsidegimui reikalinga 1500o temperatūra. Taigi, į 1 cm2 plotą turi kristi 150 W galingumo spinduliavimas. Saulės spinduliai ties Žemės paviršiumi duoda tik 0,14 W. Bet kuris juodas paviršius sugeria iki 95% į jį krintančių spindulių. 1 cm2 juodo paviršiaus esant 120o temperatūrai išspinduliuoja tuos pačius 0,14 W. Aukštesnes temperatūras galima pasiekti nukreipus spindulius į vieną tašką (židinį). Bet net milžiniškų dydžių sistemos neleis pasiekti temperatūros, viršijančios Saulės paviršiaus temperatūrą (per 6000o). 3 m skersmens įgaubtas veidrodis gali uždegti sausą medį 30 m atstumu, taigi Archimedui būtų prireikę kelių šimtų pločio plokščių veidrodžių sistemos (su galimybe ją valdyti). Pvz., 1747 m. Biufonas 168 veidrodžių, įtvirtintų judančiuose rėmuose, pagalba padegdavo medį tik 60 m atstumu. Niutonas iš plokščio pasisukančio veidrodžio pagamino heliostatą (Niutono sistema), tačiau apie „veidrodžių ginklą“ net nesvajojo...

Vis tik graikų elektros inžinierius ir archeologas-mėgėjas Joanis Sakas (Ioannis Sakkas) 1973 m. lapkritį patikrino uždegimo veidrodžiais galimybę naudodamas nupoliruotus skydus. Jam, panaudojus 70 veidrodžių, iš 55 m atstumo per 2-3 min. pavyko uždegti „romėnų“ laivus.

Kita vertus, dar tais laikais Dioklas buvo parašęs traktatą „Apie uždegančius veidrodžius“... – jo pavadinimas iškalbingas... [ susipažinkite su parabolės židinio savybe ].
Išliko ir daugiau senovės autorių liudijimai apie uždegantį stiklų ir veidrodžių poveikį. Tokiu būdu, matyt, gaudavo ir šventąją „švarią“ aukojimo ugnį. Dar 5 a. pr.m.e. tokį uždegimą kaip visiems žinomą reiškinį „Debesyse“ mini Aristofanas. Apie stiklinių rutulių uždegantį poveikį rašė Plinijus ir Seneka. Atspindėjimą nuo plokščių ir „iškreivintų“ veidrodžių poemoje „Apie daiktų prigimtį“ nagrinėjo Titas Lukrecijus Karas. Šviesos atspindėjimą detaliai nagrinėjama arabų mokslininkas Ibn al-Haisamo „Optikoje“.

Lęšių ir uždegamųjų veidrodžių istorija

Vis dar nesutariama, ar lęšiai ir jų optinės savybės buvo žinomos senovėje. Kasinėjimų Mesopotamijoje, Egipte, Kretoje, Graikijoje ir Italijoje buvo surasta nemažai į lęšius panašių daiktų iš kalnų krištolo, stiklo, berilio ir kitų skaidrių brangakmenių. Pvz., H. Šlymano Trojos kasinėjimų metu 1890 m. rasti lęšiai, datuojami maždaug 2500 m. pr.m.e. Kretos saloje esančių Knoso rūmų griuvėsiuose aptiktas nedidelis plokščias iškilus lęšis iš kalnų krištolo, kurio Šlymano Trojos lęšis židinio atstumas apie 140 mm, datuojamas 1200-1600 m. pr.m.e., kuris dabar eksponuojamas Kandis miesto muziejuje. Įdomus A. Lajardo5) radinys Asirijos karaliaus Sargono II4) rūmų Ninevijoje (dabart. Mosulas Irake) – kalnų krištolo lęšis, datuojamas 725 m. pr.m.e. Taip pat įdomūs ir lęšiai iš stiklo, rasti Sargone (dabart. Sirija) ir datuojami 400-600 m. pr.m.e. Tačiau specialistų nuomonė dėl tų radinių išsiskiria.

Tuo tarpu veidrodžiai žinomi nuo gilios senovės – ir beveik visi jie buvo metaliniai. Tačiau pasitaikydavo ir stiklinių veidrodžių, pvz., Peru mumijų kapinynuose rasti plokšti, išgaubti ir įgaubti veidrodžiai iš stikliško akmens. Stikliniais veidrodžiais Kinijoje naudojosi jau 2000 m. pr.m.e. 1867 m. pirmąjį graikišką veidrodį rado Korinte.

Senovėje veidrodžius dažnai naudojo ir religinėse apeigose. Graikų mite Persėjas nužudė gorgonę Medūzą nupoliruotu skydu, atspindėjusiu jos žudantį žvilgsnį. Atėnų gramatikas Apolodoras „Bibliotekoje“ (2 a. pr.m.e.) aprašo taip: „Persėjas nusisuko ir, žvelgdamas į varinį skydą, kuriame matė gorgonės vaizdą, nukirto galvą Medūzai“ (taip pat žr. >>>>>).

Įdomu, kad 13 a. anglų filosofas Rodžeris Bekonas, tyrinėdamas sferinius veidrodžius, nustatė, kad jų židinys yra atstumu mažesniu nei pusė jo spindulio, ir, be to, spinduliams, skirtingai nutolusiems nuo ašies, jis skiriasi. Taigi Bekonas pirmasis atrado sferinę aberaciją. Jis nurodė, kad didžiausią uždegamąjį poveikį turi paraboliniai veidrodžiai, nepasižymintys sferine aberacija, kurių židinys nutolęs ketvirčiu jo skersmens. Jo piešiniuose yra nemažai akies kombinacijų su iškiliais ar įgaubtais veidrodžiais, tačiau lęšių piešinių pas jį nėra.

Uždegamieji optiniai instrumentai dar ilgokai traukė mokslininkų dėmesį. 18 a. jais užsiėmė ir A. Lavuazjė ir M. Lomonosovas. Pirmuoju Lomonosovo šios srities darbu buvo „Samprotavimas apie katoptinį-dioptrinį uždegantį Lomonosovo instrumentą“ (1741). Su tema Lomonosovas susipažino perskaitęs G.V. Krafto6) straipsnį „Apie uždegančius veidrodžius ir stiklus“, 1735 m. liepą paskelbtą „Žinių pastabose“; be to, pačioje Peterburgo Mokslo akademijoje saugotas uždegamasis anglų optiko E. Čirnhauso stiklas. Lomonosovas nurodė, kad galima kelių veidrodžių ar lęšių židinius nukreipti į vieną tašką, taip sukeliant „karštį, didesnį nei iki šiol žinomas“. Jis prie šios temos dar grįžo ne kartą.

A. Lavuazjė savo memuaruose „Apmąstymai apie saulės spindulių panaudojimą fizikiniuose tyrimuose“ aprašė įrenginį „super karščio“ gavimui. Tas 1772 m. įrengtas įrenginys buvo su stambiu 1,5 m skersmens abipusiškai išgaubtu lęšiu, pripildytu vandens. Pakako vieno žmogaus jo palinkimo kampo keitimo bei platformos pasukimui į saulę.


Paaiškinimai

1) Dosifėjas iš Peluzijaus (antroji 3 a. pr.m.e pusė) – Konono mokinys ir draugas, o tam mirus – Archimedo, kuris jam siuntė įvairius savo kūrinius. Pirmajame, „Apie parabolės kvadratūrą“, Archimedas užrašė: „Išgirdęs, kad mano brangiu draugu buvęs Kononas mirė, ir kad esate jo perėmėjas ir geometrijos studijuotojas... nusprendžiau rašyti jums ir siųsti kai kurias geometrijos teoremas, kaip dariau Kononui“. Taip pat aišku, kad ir Dosifėjas dažnai rašė Archimedui – tačiau nieko nežinoma apie jo paties matematinius darbus.

Atrodo, kad astronomijos srityje daugiausia rūpinosi kalendoriumi – jis cituojamas Geminus ir Ptolemėjaus kaip sudariusį parapegma, tam tikrą almanachą, pradžioje išraišytą akmenyje ar medyje, o vėliau perkeltą į rankraštį – apie astronominius ir meteorologinius reiškinius kiekvienai mėnesio dienai. Anot Cenzorino, Dosifėjas rašė apie Eudokso octaeteris, 8 m. keliamosios dienos ciklą.

Peluzijus – miestas Nilo deltos šiaurės rytų dalyje.

2) Ptolemėjas I (367–283 m. pr. m. e., vadinamas Ptolemėju Lagidu arba Gelbėtoju [už pagalbą Rodo salai]) – Makedonijos generolas valdant Aleksandrui Makedoniečiui, Egipto valdovas (323 m. - 283 m. pr. m. e.), Ptolemėjų dinastijos pradininkas, 305 m. pr. m. e. pasiskelbęs faraonu.

Jo tėvas nežinomas; senovės šaltiniai nurodo Laguso sūnų arba Pilypą II, Aleksandro tėvą. Ptolemėjas buvo vienas patikimiausių Aleksandro generolų ir asmens sargybinių. Jis buvo keliais metais vyresnis už Aleksandrą ir artimas vaikystės draugas ir priklausė kilmingų vaikų būriui, kurį mokė Aristotelis.

Valdymo metu stiprino graikiškus elementus: valdžios sampratą ir kultūrą. Pradžioje buvo užsiėmęs naujos sostinės plėtimu ir stiprinimu. Jis pastatė (Aleksandrijos) švyturį Taro saloje, laikomą vienu iš 7 pasaulio stebuklų ir įsteigė Muziejų, taip sukurdamas mokslo židinį, kurio dėka Aleksandrija tapo heleniškojo mokslo centru. Ir pats Ptolemėjus linko prie literatūrinio darbo, gal net ir poezijos, bet pasižymėjo istoriografijoje – parašęs Aleksandro Didžiojo biografiją.

3) Lukrecijus (Titus Lucretius Carus, apie 99-55 m. pr.m.e.) – Romos poetas ir filosofas materialistas. Didaktinėje nebaigtoje poemoje „Apie daiktų prigimtį“ (De rerum natura) dėstė ateistines mintis, remdamasis Demokrito atomų teorija ir Epikūro pažiūromis. Jis laikė, kad pasaulis vystosi pagal amžinus dėsnius, kuriuose nėra vietos antgamtinėms jėgoms. Taip pat laikė, kad nėra pomirtinio gyvenimo, - po mirties žmogaus kūnas pereina į kitas egzistavimo formas. Pirmasis užsimena apie gamtoje esančias nematomas sėklas – ligų priežastis, susidarančias dirvoje, ore.

4) Sargonas II - asirų karalius (valdęs 722–705 m. pr.m.e.). Apie jo valdymą išliko daug molinių lentelių su dantiraščiu. Jis siekė Asirijai sugražinti buvusią didybę ir daug kariavo. 717 m. pr.m.e. kaimo vietoje, kiek į šiaurės rytus nuo Ninevijos, pastatė naująją sostinę, Dar-Šarukiną („Sargono tvirtovę“). Nužudytas neaiškiomis aplinkybėmis.

5) Ostinas Henris Lajardas (Austen Henry Layard, 1817-1894) - anglų keliautojas, archeologas, meno istorikas, politikas. Nuo 1842 m. gavo leidimą kasinėti Artimuosiuose rytuose. Geriausiai žinomas Nimrodo ir Ninevijos kasinėjimais, kur atrado Ašurbanipalo biblioteką (1851). Nimrode atrado seniausią iš rastų lęšį. Nuo 1852 m. užsiėmė politine veikla.

6) Georgas Kraftas (Georg Wolfgang Krafft, 1701-1754) – vokiečių matematikas, fizikas, St. Peterburgo MA akademikas. Fizikos srityje dirbo hidrodinamikos, šilumos teorijos, optikos, akustikos, magnetizmo srityse. Parašė pirmąjį fizikos vadovėlį Rusijoje (1738). Rašė mokslo populiarinimo straipsnius ir nemažai prisidėjo prie heliocentrinės sistemos populiarinimo. Atliko mokslinius ir inžinerinius „Ledo namų“ paskaičiavimus. Taip pat sudarinėjo ir horoskopus.

Senovės mechanika
P. Karvasas. Archimedas
Pi keliai ir klystkeliai
Hiparchas iš Rodo
Eudoksas iš Knido
Apolonijus iš Pergo
Dioklas ir jo cizoidė
Parabolės lenktas likimas
Hipatija: pirmoji matematikė
Graikų matematikai: Euklidas
Graikų matematikai - filosofai
Iniciatyva: Matematikos keliu
Matematika Egipte ir Finikijoje
Matematikos pradžia Lietuvoje
E. Galua: genijus ir revoliucionierius
Gausas – iškirstas langas į 19 a.
Matematikai: Anri Puankarė
Senovės graikų astronomai
Matematikai: Pjeras Ferma
Hipokratas iš Chijo salos
Santykis ir proporcija
Pitagoro teorema
Pirminiai skaičiai
Vartiklis