Revoliucija mazgų teorijoje: Virtualūs mazgai. Vartiklis

Geometrinis mazgas yra paprasta uždaroji kreivė R³ erdvėje; geometrinė jungtis yra mazgų, kuriuos galima sujungti, aibė. Mazgo arba jungties K diagrama D yra tokia K projekcija į plokštumą, kad joks D taškas negaunamas daugiau nei iš dviejų K taškų. Kiekvienas taškas projekcijoje iš dviejų šaltinių yra susikirtimo tašku; jei mazgas būtų ant lapo uždėta fizine virve, susikirtimo taškai būtų vietos, kuriose susiliečia virvė. Mes, brėždami apatines gijas su trūkiu susikirtimo taške, pažymime, kurios mazgo gijos praeina virš ir kurios po susikirtimo tašku.

Tada kombinatoriškai mazgo ar jungties diagrama yra keturvalentis grafas plokštumoje, kurio viršūnės išskirtos (nuspalvintos) susikirtimo informacijos perteikimui. Tokią diagramą galime apibrėžti pateikdami susikirtimų sąrašą ir nurodydami, kaip sujungti galai: pvz., Gauso kodas yra cikliškai sutvarkytas sąrašas iš eilės einančių virš ir po susikirtimais esančių gijų (žr. pieš. 2).

Intuityviai aišku, kad perkeliant mazgą erdvėje jo nesutraukant ar nepermazgant, neturėtų pasikeisti turimas mazgas ar jungtis. Taigi, realiai norime turėti topologinius mazgus ar jungtis, kai du geometriniai mazgai yra topologiškai ekvivalentiški, jei vienas gali būti deformuotas į kitą tolydžiai. Formaliai, topologiniai mazgai yra geometrinių mazgų ar jungčių gaubiančios izotopinės klasės. 3-me dešimtm. Kurtas Reidemeisteris įrodė, kad paprastų uždarųjų kreivių R³ erdvėje gaubianti izotopija atitinka mazgų diagramas, atlikus pieš. 3. pavaizduotų veiksmų, sekas (žr. [21]). Tiems veiksmams, diagramos dalis už pavaizduotos gretimos vietos, lieka nekitusi. Įrodymas, kad funkcija, apibrėžta mazgų diagramomis, yra topologinis mazgo invariantas yra supaprastinamas iki patikrinimo, kad funkcijos reikšmės nekeičia tie trys [nurodyti] veiksmai. >/A>

1990-ųjų dešimtm. viduryje mazgų teoretikai (pvz., [11, 14, 17] ), tyrinėdami kombinatorinius mazgų invariantus naudojant Gauso kodus ir panašias mazgų diagramų kodavimo schemas, pastebėjo, kad net Gauso kodai, kurių atitinkami grafai

Pieš. 3. Reidemeisterio veiksmai

negali būti atvaizduoti plokštumoje, vis tiek tam tikrais būdais elgiasi tarsi mazgai – pvz., mazgo invariantai, apibrėžti Gauso kodų kombinatoriniu poravimu, vis tiek sukuria leistinus invariantus tuo atveju, kai įprastiniai mazgai poruojami su neplokštuminiais Gauso kodais. Plokštuminis Gauso kodas visada aprašo paprastą uždarąją kreivę trimatėje erdvėje; tada kokį dalyką apibrėžia neplokštuminis Gauso kodas?

Plokštuminio keturvalenčio grafo viršūnių kaip susikirtimų traktavimas atitinka paprastąją uždarą kreivę trimatėje erdvėje¹⁾. Norėdami nubrėžti neplokštuminius grafus, mes paprastai briaunų persikirtimus atvaizduojame į susikirtimus, tačiau tada visi susikirtimai jau laikomi kaip grafo viršūnės. Tad mums reikia naujo susikirtimo tipo, virtualaus susikirtimo, kurio realiai ten nėra, kad būtų išspręsta neviršūninių briaunų susikirtimų neplokštuminiame Gauso kodo grafe problema. Kad atskirtume susikirtimų tipus, virtualų susikirtimą vaizduojame kaip apibrėžtą susikirtimą, kuris neturi virš ar po požymio (žr. pieš. 4).

Pasirodė, kad Reidemeisterio ekvivalentiškumai šioms neplokštuminėms „mazgų diagramoms“ yra svarbūs apibrėžiant ir surandant invariantus. Kadangi Reidemeisterio plokštuminių mazgų diagramų ekvivalentiškumo klasės sutampa su klasikiniais mazgais, atrodo natūralu laikyti apibendrintas ekvivalentiškumo klases kaip „mazgus“ nepaisant to, kad jie priklauso neplokštuminėms diagramoms. Buvo spėta, kad įprastiniai topologiniai mazgai yra atskiras atvejis bendresnio dalyko, būtent Reidemeisterio ‚mazgų diagramų“, galinčių būti ir neplokštuminėmis, ekvivalentiškumo klasių. Įvykusi „kombinatorinė revoliucija: buvo poslinkis nuo mąstymo apie diagramas kaip topologinius objektus atvaizduojančius simbolius (paprastųjų uždarųjų kreivių iš R³ erdvės gaubiančios izotopinės klasės) prie mąstymo apie pačius objektus kaip diagramų ekvivalentiškumo klases. Atmesti tuos virtualius mazgus dėl to, kad jie nereiškia paprastųjų uždarų kreivių iš R³ erdvės, reikštų atmesti begalines mazgų invariantų klases, panašiai kaip būtų ignoruoti kompleksines daugianarių šaknis dėl to, kad jos nėra „realūs“ skaičiai.

Virtualius susikirtimus iš jų sąveikos taisykles 1996-ais įvedė Louis Kauffman‘as [17]. Kadangi virtualūs susikirtimai nėra realūs, bet kokia gija vien tik su virtualiais susikirtimais turėtų būti pakeičiama bet kokia kita gija su tuo pačiu pabaigos tašku ir vien tik virtualiais susikirtimais. Tai vadinama lanksto veiksmu; jis virsta 4-iais virtualiais veiksmais 4-me piešinyje.

Pieš. 4. Virtualūs veiksmai

Nepaisant savo abstrakčios kilmės, virtualūs mazgai turi konkretų geometrinį paaiškinimą. Virtualių mazgų galima išvengti brėžiant neplokštumines mazgų diagramas kompaktiškuose S paviršiuose, kurie gali turėti nenulinę gentį², numatant tiltus arba „sliekanges”, kurie gali būti naudojami, kad būtų išvengta briaunų susikirtimų. Tada virtualus mazgas yra paprastoji uždara kreivė gaubiančioje erdvėje S x (-e, e) (vadinamoje pastorintuoju paviršiumi arba trivialiąja I-pyne. Virtualūs susikirtimai nėra susikirtimai klasikine dviejų artimai esančių gijų prasme – gijos virtualiajame susikirtime yra priešingose gaubiančios erdvės arba „visatos, kurioje mazgas gyvena“, pusėse – tai artefaktai, verčiantys mazgą neplokštuminėje erdvėje atsidurti plokštumoje. Šis diagramų-paviršiuje metodas įvestas Naiko ir Seiichi Kamada, kurie [14] perteikė rezultatus su abstrakčiais mazgais. Kitos nepriklausomai pasiektos idėjos apie virtualius mazgus apima Vladimiro Turajevo virtualias stygas [24] bei Roger Fenn'as, Richard Rimanyi ir Colin Rourke susiūtas juosteles (welded braids) [8].

Pieš. 5 parodo mažiausią neklasikinį virtualų mazgą, pateikiamą kaip sąrašą pažymėtų susikirtimų, kurių negalima realizuoti plokštumoje, virtualaus mazgo diagramą ir mazgo diagramą, nubrėžta paviršiuje su nenuline gentimi.

¹⁾ Iš tikro, mums tėra būtina R² x (-e, e) - nes mazgai yra beveik dvimačiai!

²⁾ Techniškai, turime leisti stabilizavimo veiksmus paviršiuje, turinčiame mazgų diagramą.