Revoliucija mazgų teorijoje
(tęsinys)

Prieš tai jau pateikėme įvadą į šį straipsnį (o taip pat jo pristatymą) bei namažai jame naudojamų sąvokų paaiškinimų. Šįkart tęsiame pristatydami išplėtimą įprastiniams mazgams. Vėliau bus pateikti ir kiti šio straipsnio skyreliai...
Tiesa, Google Chrome naršyklė dėl nesuderinamumų su kitomis naršyklėmis netiksliai atvaizduoja šį straipsnelį.

Įvadas  |  Pradžia  |  Virtualūs mazgai  |  Apibendrinti mazgai  |  Algebrinis mazgymas  |  Nauji mazgų invariantai ]

Virtualūs mazgai
Knot diagrams with Gauss diagram
Pieš. 2. Mazgas ir jo Gauso kodas
O1U203U1O2U3

Geometrinis mazgas yra paprasta uždaroji kreivė R3 erdvėje; geometrinė jungtis yra mazgų, kuriuos galima sujungti, aibė. Mazgo arba jungties K diagrama D yra tokia K projekcija į plokštumą, kad joks D taškas negaunamas daugiau nei iš dviejų K taškų. Kiekvienas taškas projekcijoje iš dviejų šaltinių yra susikirtimo tašku; jei mazgas būtų ant lapo uždėta fizine virve, susikirtimo taškai būtų vietos, kuriose susiliečia virvė. Mes, brėždami apatines gijas su trūkiu susikirtimo taške, pažymime, kurios mazgo gijos praeina virš ir kurios po susikirtimo tašku.

Tada kombinatoriškai mazgo ar jungties diagrama yra keturvalentis grafas plokštumoje, kurio viršūnės išskirtos (nuspalvintos) susikirtimo informacijos perteikimui. Tokią diagramą galime apibrėžti pateikdami susikirtimų sąrašą ir nurodydami, kaip sujungti galai: pvz., Gauso kodas yra cikliškai sutvarkytas sąrašas iš eilės einančių virš ir po susikirtimais esančių gijų (žr. pieš. 2).

Intuityviai aišku, kad perkeliant mazgą erdvėje jo nesutraukant ar nepermazgant, neturėtų pasikeisti turimas mazgas ar jungtis. Taigi, realiai norime turėti topologinius mazgus ar jungtis, kai du geometriniai mazgai yra topologiškai ekvivalentiški, jei vienas gali būti deformuotas į kitą tolydžiai. Formaliai, topologiniai mazgai yra geometrinių mazgų ar jungčių gaubiančios izotopinės klasės. 3-me dešimtm. Kurtas Reidemeisteris įrodė, kad paprastų uždarųjų kreivių R3 erdvėje gaubianti izotopija atitinka mazgų diagramas, atlikus pieš. 3. pavaizduotų veiksmų, sekas (žr. [21]). Tiems veiksmams, diagramos dalis už pavaizduotos gretimos vietos, lieka nekitusi. Įrodymas, kad funkcija, apibrėžta mazgų diagramomis, yra topologinis mazgo invariantas yra supaprastinamas iki patikrinimo, kad funkcijos reikšmės nekeičia tie trys [nurodyti] veiksmai. >/A>

1990-ųjų dešimtm. viduryje mazgų teoretikai (pvz., [11, 14, 17] ), tyrinėdami kombinatorinius mazgų invariantus naudojant Gauso kodus ir panašias mazgų diagramų kodavimo schemas, pastebėjo, kad net Gauso kodai, kurių atitinkami grafai
Reidemeister moves
Pieš. 3. Reidemeisterio veiksmai
negali būti atvaizduoti plokštumoje, vis tiek tam tikrais būdais elgiasi tarsi mazgai – pvz., mazgo invariantai, apibrėžti Gauso kodų kombinatoriniu poravimu, vis tiek sukuria leistinus invariantus tuo atveju, kai įprastiniai mazgai poruojami su neplokštuminiais Gauso kodais. Plokštuminis Gauso kodas visada aprašo paprastą uždarąją kreivę trimatėje erdvėje; tada kokį dalyką apibrėžia neplokštuminis Gauso kodas?

Plokštuminio keturvalenčio grafo viršūnių kaip susikirtimų traktavimas atitinka paprastąją uždarą kreivę trimatėje erdvėje1). Norėdami nubrėžti neplokštuminius grafus, mes paprastai briaunų persikirtimus atvaizduojame į susikirtimus, tačiau tada visi susikirtimai jau laikomi kaip grafo viršūnės. Tad mums reikia naujo susikirtimo tipo, virtualaus susikirtimo, kurio realiai ten nėra, kad būtų išspręsta neviršūninių briaunų susikirtimų neplokštuminiame Gauso kodo grafe problema. Kad atskirtume susikirtimų tipus, virtualų susikirtimą vaizduojame kaip apibrėžtą susikirtimą, kuris neturi virš ar po požymio (žr. pieš. 4).

Pasirodė, kad Reidemeisterio ekvivalentiškumai šioms neplokštuminėms „mazgų diagramoms“ yra svarbūs apibrėžiant ir surandant invariantus. Kadangi Reidemeisterio plokštuminių mazgų diagramų ekvivalentiškumo klasės sutampa su klasikiniais mazgais, atrodo natūralu laikyti apibendrintas ekvivalentiškumo klases kaip „mazgus“ nepaisant to, kad jie priklauso neplokštuminėms diagramoms. Buvo spėta, kad įprastiniai topologiniai mazgai yra atskiras atvejis bendresnio dalyko, būtent Reidemeisterio ‚mazgų diagramų“, galinčių būti ir neplokštuminėmis, ekvivalentiškumo klasių. Įvykusi „kombinatorinė revoliucija: buvo poslinkis nuo mąstymo apie diagramas kaip topologinius objektus atvaizduojančius simbolius (paprastųjų uždarųjų kreivių iš R3 erdvės gaubiančios izotopinės klasės) prie mąstymo apie pačius objektus kaip diagramų ekvivalentiškumo klases. Atmesti tuos virtualius mazgus dėl to, kad jie nereiškia paprastųjų uždarų kreivių iš R3 erdvės, reikštų atmesti begalines mazgų invariantų klases, panašiai kaip būtų ignoruoti kompleksines daugianarių šaknis dėl to, kad jos nėra „realūs“ skaičiai.

Virtualius susikirtimus iš jų sąveikos taisykles 1996-ais įvedė Louis Kauffman‘as [17]. Kadangi virtualūs susikirtimai nėra realūs, bet kokia gija vien tik su virtualiais susikirtimais turėtų būti pakeičiama bet kokia kita gija su tuo pačiu pabaigos tašku ir vien tik virtualiais susikirtimais. Tai vadinama lanksto veiksmu; jis virsta 4-iais virtualiais veiksmais 4-me piešinyje.

Reidemeister moves
Pieš. 4. Virtualūs veiksmai
Nepaisant savo abstrakčios kilmės, virtualūs mazgai turi konkretų geometrinį paaiškinimą. Virtualių mazgų galima išvengti brėžiant neplokštumines mazgų diagramas kompaktiškuose S paviršiuose, kurie gali turėti nenulinę gentį2, numatant tiltus arba „sliekanges”, kurie gali būti naudojami, kad būtų išvengta briaunų susikirtimų. Tada virtualus mazgas yra paprastoji uždara kreivė gaubiančioje erdvėje S x (-e, e) (vadinamoje pastorintuoju paviršiumi arba trivialiąja I-pyne. Virtualūs susikirtimai nėra susikirtimai klasikine dviejų artimai esančių gijų prasme – gijos virtualiajame susikirtime yra priešingose gaubiančios erdvės arba „visatos, kurioje mazgas gyvena“, pusėse – tai artefaktai, verčiantys mazgą neplokštuminėje erdvėje atsidurti plokštumoje. Šis diagramų-paviršiuje metodas įvestas Naiko ir Seiichi Kamada, kurie [14] perteikė rezultatus su abstrakčiais mazgais. Kitos nepriklausomai pasiektos idėjos apie virtualius mazgus apima Vladimiro Turajevo virtualias stygas [24] bei Roger Fenn'as, Richard Rimanyi ir Colin Rourke susiūtas juosteles (welded braids) [8].

Pieš. 5 parodo mažiausią neklasikinį virtualų mazgą, pateikiamą kaip sąrašą pažymėtų susikirtimų, kurių negalima realizuoti plokštumoje, virtualaus mazgo diagramą ir mazgo diagramą, nubrėžta paviršiuje su nenuline gentimi.


1) Iš tikro, mums tėra būtina R2 x (-e, e) - nes mazgai yra beveik dvimačiai!

2) Techniškai, turime leisti stabilizavimo veiksmus paviršiuje, turinčiame mazgų diagramą.

Reidemeister moves
Pieš 5. Neklasikinis virtualus mazgas

Paaiškinimai 4-valent graph

Aibių A ir B Dekarto sandauga AxB - tai aibė sutvarkytų porų (a,b), kur a Ì A, b Ì B.

Turime dvi aibes A ir B, o S Î AxB. Jei a Ì A, b Ì B, o (a,b) Ì S Î AxB (S yra A ir B Dekarto sandaugos poaibis), tada a ir b susieti sąryšiu S arba susietos incidenčiai S.

Grafo viršūnei incidenčios briaunos – grafo briaunos, ateinančios į viršūnę.

Grafo viršūnės laipsniu (valentingumu) laikomas incidenčių jai briaunų skaičius, - o paprasčiau tariant, į viršūnę ateinančių briaunų skaičius.

K-reguliarusis (k-valentis) grafas – tai grafas su vienodais minimaliu ir maksimaliu laipsniais, lygiais k (visų grafo viršūnių laipsniai yra lygūs k).

Topologijoje uždaro orientuoto paviršiaus gentimi S vadinamas jo „rankyčių“ kiekis, t.y. toks skaičius
Reidemeister moves
Dvigubas toras – genties 2 atstovas
g, kad tasai paviršius yra homeomorfinis sferai su g rankyčių. Kitaip tariant, kiek galima padaryti pjūvių, kad daugdara neišsiskirtų. 0 gentis yra sfera, 1 – toras ir t.t.

Colin Patrick Rourke (g. 1943 m.) – britų matematikas, topologas, Varviko un-to profesorius-emeritas. Specializavozi mažų matų topologijoje.

1986 m. kartu su savo studentu E. Rego teigė įrodę Puankarė teiginį, tačiau topologai skeptiškai priėmė tą tvirtinimą, ir C. Rourke seminaro metu buvo aptikta klaida. Įdomu, kad kai 2002 m. M. Dunwoody irgi teigė įrodęs tą teiginį (žr. apie tai >>>>>), klaidą šio išvedžiojimuose rado būtent C. Rourke.

1966 m. apgynė daktaro disertaciją. Nuo 1968 m. dirbo Varviko un-te. Apie 50-ies straipsnių autorius ir 2 žurnalų redaktorius: „Geometrija ir topologija“ ir „Algebrinė ir geometrinė topologija“.
Kiti pomėgiai: kosmologija, geometrinė topologija, singuliarumo teorija, kombinatorinė grupių teorija.

C. Rourke išnagrinėjo 4-ias NASA nuotraukas apie „Apollo-15” misiją. Jis tvirtina, kad jos turi prieštaringų duomenų, ir kad dvi jų yra suklastotos.

Rodžeris Fenas (Roger Fenn) – Susekso un-to Braitone (JK) matematikos dėstytojas (paskaitos apie žiedų teoriją), astronomas mėgėjas, susikonstravęs 3 teleskopus, kurių didžiausias turi 9 colių skersmens lęšius. Laisvalaikiu dainuoja chore.
Tyrinėjimų sritys: mažų matavimų topologija, mazgų ir kasų teorijos ir susijusios algebros. Publikacijos:

  • A. Bartholomew, R. Fenn. Quaternionic invariants of virtual knots and links// J. of Knot Theory and Its Ramifications, 17 (2), 2008, pp. 231-251
  • R. Fenn, C. Rourke, B. Sanderson. The rack space// Trans.of the Am. Math. Society, 359 (2), 2007, pp. 701-740
  • Richard Rimanyi - vengrų kilmės matematikas Šiaurės Karolinos un-te, dirba geometrijos ir diferencialinės topologijos, simguliarumo teorijos srityse.

    Literatūra:

    [8] Roger Fenn, Richard Rimanyi, and Colin Rourke. The braid-permutation group// Topology, 36 (1997), 123–135.

    [11] Mikhail Goussarov, Michael Polyak, and Oleg Viro. Finite type invariants of classical and virtual knots// Topology, 39 (2000), 1045–1068.

    [14] Naoko Kamada and Seiichi Kamada. Abstract link diagrams and virtual knots// J. Knot Theory Ramifications 9 (2000), 93–106.

    [17] Louis Kauffman. Virtual knot theory// European J. Combin. 20 (1999), 663–690.

    [21] Kurt Reidemeister. Knotentheorie (reprint), 1974.

    [24] Vladamir Turaev. Virtual strings// Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 54 (2004), 2455–2525.

    Topologija
    Pirminiai skaičiai
    Kaip supakuoti standžiau?
    Statistikos sąvokų pristatymas
    Pagrindinės algebrinės struktūros
    Mokslininkui nereikia matematikos!
    Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
    Intuicijos ribojimas matematikoje 19-me amžiuje
    Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
    Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
    Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
    Moksleivis „perkando“ I. Niutono uždavinį
    Apie Tarskio skritulio kvadratinimą
    Skaičiai – apžvalga/ pradmenys
    Diagramos, pakeitusios pasaulį
    Specialioji reliatyvumo teorija
    Scenoje - paprastos grupės
    Matematika ir muzika
    Harmoninės eilutės
    Ar viskas čia taip?
    Krafordo premija
    Dalyba iš nulio
    Matroidai