Paslėpti matavimai      

Mes gyvename trimačiame pasaulyje. Jei prijungsime laiką – jau bus keturi matavimai (x, y, z, t). Matematikoje įprasta kalbėti ir apie daugiau matavimų erdves. Erdvė, turinti begalinį kiekį matavimų, vadinama Hilberto erdve.

20 a. 3-iąjį dešimtm. Teodoras Kaluza4) ir Oskaras Kleinas5) paskelbė apie 5-ojo matmens egzistavimą. Tai davė postūmį naujam mąstymui. Jie rėmėsi tuo, kad bendroji reliatyvumo teorija (BRT) apima tik gravitaciją ir jos poveikį erdvės formai. Tačiau jos išbaigtumui reikia, kad ji apimtų visas 4-ias fundamentalias sąveikas, įskaitant elektromagnetinę.

BRT gravitaciją aprašo geometriškai. Erdvę galima palyginti su gumine plėvele, ant kurios uždėjus sunkų kūną ji įdumba, t.y. erdvė deformuojasi. Plėvelei įdubus ant jos buvęs mažesnis kūnas ima riedėti jau kita trajektorija ir krypti didesniojo kūno link; t.y. įdubimas mažesnįjį kūną veikia tarsi traukos jėga.

T. Kaluzai ir O. Kleinui kilo mintis BRT išplėsti elektromagnetinę sąveiką – ir įvesti 5-ą matavimą. Kadangi jų neįmanoma pamatyti, buvo daroma prielaida, kad jis labai mažas. Galima įsivaizduoti, kad kiekvienas erdvės taškas susideda iš 5-ojo matmens mažo apskritimo, kuris yra daug mažesnis už atomo skersmenį. Tokio dydžio dalelė negali būti ramybės būsenoje. Ir jei paprastumo dėlei šį 5-ąjį matmenį galima įsivaizduoti nejudančiu, tačiau gali būti, jog toji dalelė nepaliaudama juda apskritimu. Jos judėjimą galima palyginti su elektros krūvio judėjimu.

Netrukus paaiškėjo, kad 5-ių matmenų nepakanka ir reikia įvesti 6-ą matavimą. Kiekvieną erdvės tašką supanti mažytė 6-matė erdvė vadinama Calabi-Yau erdve. Tai stygų teorijos pagrindas.

Visatos geometrinė struktūra

Matavimai:
Nulinio mato erdvė – taškas; jame niekas nejuda;
1-matė erdvė – tiesė; joje galima judėti pirmyn ir atgal;
2-matė erdvė – plokštuma; joje galima judėti dviem kryptimis, pvz., suktis ratais;
3-matė erdvė – tūrinė; trys kryptys. Tokią mes regime Visatą...
n-matės erdvės – jų negalime vizualizuoti, o tik analizuoti matematiškai...

1884 m. išleistoje nuotaikingoje knygoje „Plokščia šalis“ anglų teologas Edwinas Abbottas aprašo dvimačio pasaulio gyventoją Plokštį. Taip jis perteikia mintį, kad mes keturmatę erdvę suvokiame panašiai kaip Plokštis trimatę. Pvz., Plokščio pasaulyje nėra judėjimo aukštyn ir žemyn, todėl jie net neturi žodžių trečios krypties nusakymui.

Taip dvimatėje erdvėje namas tėra stačiakampis. Sienos tėra vertikalios linijos. Jei tai kalėjimas, tai iš jo galima pabėgti pasikeliant į 3-ią matmenį, o po to vėl grįžtant į dvimatę erdvę.
Persikelti per matavimus

Kad geometrija yra svarbi fizikai neturėtų būti siurprizu - bent jau vien dėl to, kad erdvė yra toji arena, kurioje veikia fizika. Tačiau siurprizu yra tai, kaip smarkiai geometrija įtakoja fiziką ir kiek egzotiška gali būti mūsų Visatos geometrinė struktūra.

Pirmuoju prisilietusiu prie fizikos ir geometrijos sąryšių buvo Šing-Tung Yau1). Jis knygoje „Vidinės erdvės forma“ (2010, kartu su S. Nadis) aprašo, kaip jo atrastos keistos geometrinės erdvės pasirodė esą būtent tomis, kurių reikia teoriniams fizikams bandantiems sukurti visuotinę teoriją.

Kreivumas ir gravitacija

Pirmąja užuomina, kad erdvė nėra tik vieta fizikai buvo 1915 m. A. Einšteino bendroji reliatyvumo teorija (BRT), naudojanti 4-matį erdvėlaikį. Revoliucine įžvalga buvo tai, kad gravitacija nėra kažkokia nematoma erdvėlaikiu sklindanti jėga, o kad masyvūs kūnai iškraipo patį erdvėlaikį. Einšteino idėja apjungti erdvę, laiką, materiją ir gravitaciją buvo visiškai nauja. Bet nebuvo nauja matematika, kurią Einšteinas naudojo erdvėlaikio kreivumui apibrėžti. !9 a. K. Gausas ir jo puikusis mokinys B. Rymanas nurodė būdus objekto kreivumo matavimui „iš vidaus“ – jiems daugiau nereikėjo naudoti platesnę erdvę, kurioje tas objektas „sėdi“. Būtent to ir reikėjo Einšteinui. Ir tai buvo stimulas studijuoti geometriją...

Gravitacija vakuume

Kai Yau susipažino su BRT, jis pamatė, kad ji kelia įdomų teorinį klausimą: ar įmanomas erdvėlaikis be materijos, t.y. vakuumas, kuriame tebėra gravitacija. Mat Visata, kurioje gyvename, nėra vienintelis Einšteino lauko lygčių sprendinys. Pvz., yra įmanomas erdvėlaikis be materijos ir be gravitacijos, kuriame aplamai niekas nevyksta. Tad galima klausti, ar tuščias erdvėlaikis tebeturi kokį nors kreivumą, taigi ir gravitaciją tuo pačiu.

Vėliau Yau sužinojo, kad geometrinę šio klausimo versiją 6-me dešimtm. pateikė Eugenio Calabi2). Calabi domėjosi ryšiu tarp objekto geometrijos (dydis, kampai ir pan.) ir jo topologijos. Topologijai visai nerūpi tikslūs matavimai ir ji rūpinasi tik bendrais formos klausimais. Duotosios topologijos objektas gali būti transformuotas į daugelį skirtingų geometrinių pavidalų – sfera – tuščiavidurę piramidę, kubą ir kt. Calabi klausė: ar pavidalas su tam tikru topologijos tipu gali apibūdinti tam tikrą geometrijos tipą. Ir jei „taip“, tada gautasis objektas gali būti interpretuojamas (BRT prasme) kaip vakuumas, turintis gravitaciją.

Calabi klausimas

Nėra galo įsivaizduojamų topologinių formų įvairovei, tačiau topologai paprastai savo dėmesį apsiriboja tuo, kas vadinama daugdaromis. Tie objektai žiūrimi „iš arčiau“ atrodo tarsi įprastinė „plokščia“ erdvė (vadinamoji euklidinė erdvė). Sferos ir torai atrodo tarsi plokščios 2D plokštumos. Jei esate labai maži, tai nepastebėsite nei jų kreivumo, nei kad kažkuri jų turi skylę (kaip kad įprastiniame
Balnas
Balnu vaikštinėjanti skruzdėlė jaus skirtingus kreivumus priklausomai nuo jos kelio
gyvenime nepastebime, kad Žemė apvali). Nesunkiai galite sferos žeėlapį nubrėžti plokščiame popieriaus lape. Tad abu tie tipai yra 2D daugdaros dar vadinamos paviršiais.

Kita bendra sferų ir torų savybė yra tai, kad jos yra kompaktiškos: jums pakaks baigtinio 2D žemėlapių jiems padengti. Tai reiškia, kad jos yra baigtinės savo apimtimi – visada galima rasti „dėžę”, į kurią jas galima sutalpinti – kad ir kokios didelės dėžės prireiktų.

Tačiau daugdaros nėra vien dvimatės. Jos yra ir trimatės, kai (žiūrint „iš arčiau“) atrodo tarsi įprastinės 3D euklidinės erdvės, o taip pat bet kurių kitų matavimų. Calabi norėjo sužinoti, kokio tipo geometriją užtikrina pasirinkta kompaktinė daugdara – atskiru atveju jį domino kreivumas. Kai tik topologinei daugdarai (tarkim, sferai) suteikiame tam tikrą geometrinę struktūrą (tarkim, suspausto futbolo kamuolio), galime išmatuoti kreivumą kiekviename jos taške. Tai nėra tiesmukiškai: balnu ropojanti skruzdėlė jaus kylantį išlinkimą, kai ropos aukštyn link balno išlinkimo, ir žemėjantį, kai ropos žemyn balno šonu. Tokioje daugdaroje galima kreivumą susieti su įvairiomis vienmatėmis kreivėmis einančiomis per duotą tašką.

Panašiai, 3D daugdarose galima kreivumo sąvoką susieti su tam tikrais 2D paviršiais. Paėmę visų tų 2D paviršių kreivumų vidurkį gausime Riči kreivumą tame taške. Kadangi tai vidurkis, tai reiškia, kad daugdara gali turėti nulinį kreivumą (kitaip - turinti nulinį Rymano kreivumą) net nebūdama plokščia. O fizikine prasme, Riči kreivumas nusako erdvėlaikio kreivumą atsižvelgiant, kad jame yra materija. Taigi, erdvė su nuliniu Riči kreivumu atitinka erdvę, kurioje nėra materijos - kitaip sakant, vakuumą.

Tačiau Calabi Riči kreivumu domėjosi dėl grynai geometrinių reikmių. 5-me dešimtm. Šing-šen Černas parodė, kad daugdara su nuliniu Riči kreivumu kiekviename taške gali turėti tik tam tikrą topologiją. Dvimatėje topologijoje tai atitinka toro topologiją. Tačiau aukštesniuose matavimuose tokią topologiją sunkiau apibūdinti. Sakoma, kad tokios daugdaros turi nykstančios pirmosios Černo klasės topologiją.

Calabi Černo klausimą apvertė „aukštyn kojomis“: jei turime kompaktinę daugdarą su nykstančia pirmosios Černo klasės topologija, ar ją galima transformuoti į geometrinį pavidalą, kiekviename taške turintį nulinį Riči kreivumą. Kitais žodžiais, ar tam tikro tipo topologija garantuoja, kad įmanoma tam tikro geometrija. Tačiau Calabi dėmesį sutelkė tik vadinamosios Kahlerio daugdaroms3). Su jomis lengviau dirbti, nes jos nuo euklidinės erdvės nuklysta ribotu būdu. Jos dar vadinamos kompleksinėmis daugdaromis: jos išlaiko kampus ir daugdaros perteikia tam tikrą lokalią simetriją. Taip jos vadinamos todėl, kad primena kompleksinę erdvę (kuri dvimačiu atveju yra kompleksinių skaičių plokštuma). Su jomis įmanomi sudėtingi matematiniai apdorojimai, o taip pat galima joms suteikti tam tikrą simetrijos rūšį.

Yau atsakymas

Yau pradėjo tai nagrinėti 8-o dešimtm. pradžioje iš geometrinės pusės, turėdamas omenyje ir fizikinius aspektus (uždara visata be materijos, tačiau su gravitacija – ką nulemia iš jos topologijos kylantis kreivumas). Ir pradžioje Yau manė, kad atsakymas į Calabi klausimą yra NE, nes atrodė, kad vien topologija negali nulemti tokio ypatingo geometrijos tipo. Jis tai bandė įrodyti kelis metus, bet
Balnas
Dvimatis 6D Calabi-Yau daugdaros pjūvis
nesėkmingai. Ir tada 1971 m. Yau pagaliau įrodė, kad atsakymas yra TAIP – t.y., kad kiekviena kompaktinė Kahlerio daugdara su nykstančia pirmąja Černo klase gali įgauti geometriją su nuliniu Riči kreivumu. Tokios daugdaros egzistuoja visuose matavimuose ir pavadintos Calabi-Yau daugdaromis

Paslėptieji matavimai

1982 m. Yau už Calabi teiginio įrodymą gavo Fieldso medalį. Tačiau tada jis dar nežinojo, kad fizikams reikia būtent Calabi-Yau daugdarų. Jis prisimena, kad vieną 1984 m. dieną su žmona buvo prie vandenyno San Diege, kai jam paskambino A. Strominger’is su G. Horowitz’iu, kurie buvo susijaudinę, nes stygų teoretikams reikėjo žinoti, ar egzistuoja Calabi-Yau daugdaros.
Jų modelyje smulkiausios materijos ir energijos dalelės yra ne taškinės dalelytės, o mažytės stygos, kurios gali vibruoti, o skirtingos vibracijos atitinka stebimas el.daleles bei fizikines jėgas. Bet tada gauname 10-ies matavimų modelį. Bet kodėl tada mes suvokiame tik 4-is matavimus: 3 erdvės ir 1 laiko?

Stygų teorija aiškina, kad tie papildomi matavimai yra standžiai „susukti“ į tokias mažytes erdves, kurių mes nepajėgiam pajusti. Jos mažesnės už 10-30 cm. Calabi-Yau daugdaros jai patrauklios dėl savo kompaktiškumo, o taip pat dėl to, kad jos turi nulinę Riči kreivumą bei leidžia turėti specialią simetrijos atmainą, supersimetriškumą, kas aktualu erdvėlaikio geometrijai.

Stygų ateitis

Taigi 1984 m. stygų teorija gavo orientyrą, tačiau tuo istorija nesibaigė. 1986 m. paaiškėjo, kad jau reikia kiek patobulintos Calabi-Yau daugdaros versijos, kurioje Riči kreivumas būtų ne nulinis, o tiesiog labai arti nulio. Dar daugiau, yra kelios skirtingos stygų teorijai tinkančios 6D Calabi-Yau daugdaros, tačiau deja nė viena jų nebuvo „tinkama“. Tačiau , kai buvo atrasta, kad skirtingų Calabi-Yau daugdarų poros gali „įforminti“ teorinę Visatą su ta pačia fizika. Tai atvedė prie naujos simetrijos sampratos, vadinamosios veidrodinės simetrijos (tiesa, gana sudėtingos). Jos tiksli fizikinė prasmė vis dar nežinoma, tačiau duoda visiškai naują Calabi-Yau daugdarų supratimą. O kartu ir daug matematinių pasekmių, pvz., susijusi su kreivių kiekio paskaičiavimu tam tikrose geometrinėse erdvėse.

Kaip aptikti gravitonus?

Žvelgiant iš Calabi-Yau erdvės pozicijos mūsų trimatė Visata atrodo skurdi ir lėkšta. Trimatė erdvė tėra sudėtingesnės Calabi-Yau erdvės „paviršius“, kuris vadinamas „brana“. Anot mokslininkų. Mūsų trimatė Visata (brana) nesulaiko tik gravitonų, pasireiškiančių tik 5-me matmenyje. Tai, kad gravitronai išlekia iš mūsų Visatos, tai paaiškina, kodėl gravitaciją suvokiame kaip gerokai silpnesnę sąveiką už kitas.

Gravitonas yra hipotetinė el. dalelė, kurios egzistavimas dar neįrodytas. El. dalelėms išlėkti nepastebėtoms iš LHC greitintuvo beveik neįmanoma. Bet įmanoma, kad jos pasirenka „trumpesnį“ kelią – palieka per aukštesnį matavimą (žr. intarpą puslapio pradzioje). Gal taip elgiasi gravitonai?

Kitas būdas aptikti aukštesnių matavimų daleles yra vadinamųjų Calabi-Yau dalelių susidarymas. Calabi-Yau erdvėje esanti dalelė irgi gali turėti aukštesnės energijos sužadintą būseną. LHC greitintuve susidariusius dalelės gali įgauti tokią didelę energiją. Kad prasiskverbtų į Calabi-Yau erdvę ir ten egzistuotų aukštesnių energijų sužadintomis būsenomis – o tai būtų patvirtinta, jei greitintuve būtų aptikta supersunkių dalelių. Pvz., tai galėtų būti elektronas ar pozitronas, kurio masė tūkstančius kartų didesnė nei įprasta.

Stygų teorija vis dar toli gražu neužbaigta. Ji dar neapibrėžia daugelio fizikinių dydžių ir nebuvo patikrinta laboratorijoje. Net jei ji pasirodys neteisinga, ji liks kaip prisidėjusi prie to, kad susijungė tarytum visiškai skirtingos matematikos sritys.


Papildomi komentarai

1) Šing-Tung Yau (Shing-Tung Yau, g. 1949 m.) – iš Honkongo kilęs amerikiečių matematikas, Fieldso medalio laureatas (1982). Pagrindinė darbų sritys yra topologija ir diferencialinė geometrija, ypač geometrinė analizė. Jo darbai turėjo įtaką fizikai ir matematikai, nes jis buvo aktyvus geometrinės ir teorinės fizikos sąveikoje.
Svarbi Yau pedagoginė veikla bei matematikos vystymas Kinijoje ir kinų tarpe užsienyje. Tiesa, tai turi ir neigiamą atspalvį nepagrįstai iškeliant mokinių nuopelnus įrodant Puankarė teiginį nuvertinant G. Perelmano indėlį.

2) Eudženijus Kalabis (Eugenio Calabi, g. 1923 m.) – italų kilmės amerikiečių matematikas, specializavęsis diferencialinėje geometrijoje, dif. lygtyse dalinėmis išvestinėmis bei jų taikyme. Jo darbas su Calabi teiginiu Kahlerio metrikoms (apie tam tikrų „malonių“ Rymano metrikų egzistavimą sudėtingose daugdarose) atvedė prie Calabi-Yau daugdarų teorijos išsivystymo.

3) Kahlerio daugdara - daugdara su trimis tarpusavyje suderinamomis struktūromis: kompleksinę daugdarą, Rymano metriką ir simpleksinę formą. Pavadinta vokiečių matematiko E. Kahleri garbei, ją įvedusią 1933 m. Jos dėka įrodyta algebrinės geometrijos Hodge teorija.

4) Teodoras Kaluza (Theodor Franz Eduard Kaluza, 1885- 1954) – vokiečių matematikas ir fizikas, žinomas Kaluza-Kleino teorija apie lauko lygtis 5-me matavimuose. Jo idėja tame, kad fundamentaliosios jėgos gali būti apjungtos įtraukiant papildomus matavimus, vėliau išsiliejusi stygų teorijoje.
Taip pat Kaluza skelbė straipsnius iš grynosios matematikos, matematinės fizikos, užsiėmė atomo branduolio modelių kūrimu ir bendraisiais energetikos klausimais.

5) Oskaras Kleinas (Oskar Benjamin Klein, 1894-1977) – švedų fizikas, žinomiausias Kleino-Gordono-Foko teorijos, esančios reliatyvistinio Šriodingerio lygties apibendrinimu, sukūrimu. Kitu jo pasiekimu yra indėlis Kaluza-Kleino teorijai, parodant, kad daugiau nei 3 matavimų erdvė turi fizikinę prasmę. Jo vardas suteiktas medaliui už pasiekimus teorinės fizikos srityje.

Topologija
Erdvės formos
Laiko fenomenas
Torsioniniai laukai
Lygiagrečios visatos
Gyvenimas po mirties
Nekritinė stygų teorija
Antigravitacijos paieškos
Kvantinio pasaulio katinai
Juodųjų skylių paradoksai
3-iojo tūkstantmečio mokslas
Specialioji reliatyvumo teorija
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
El. dalelės ir fundamentaliosios jėgos
Šiuolaikinė fizika – į tiesą panašus mitas?
Labai prasta balerina ir šuolis laike?
Visatos topologija: pradžiamokslis
Kokia yra Visata? Sukasi?
Kaip sukurti laiko mašiną?
Vieningo lauko teorija
Vieningo lauko teorija
Tenzoriaus samprata
Visatos modeliai
Vartiklis
NSO.lt