Fundamentaliosios matematikos teoremos. Vartiklis

Pristatysime tris pagrindines matematikos teoremas trijose jos srityse: algebroje, aritmetikoje ir matematinėje analizėje. Jas privalo žinoti bet kuris, nors kiek besidomintis matematika. Tai – daugianarių išskaidymo nesuprastinamais daugianariais, skaičių išskaidymu į pirminius daugiklius ir ploto skaičiavimą.

Apie pagrindinę algebros teoremą 1637 m. R. Dekartas rašė „Geometrijoje“, kurios skyrius apie lygtus prasideda:

Žinokite, kad bet kuri lygtis gali turėti tiek šaknų, koks lygties laipsnis; nes sudauginus dvi lygtis x-2=0 ir x-3=0, gausime antros eilės lygtį x²-5x+6=0, turinčią šaknis 2 ir 3. Jei tą lygtį, savo ruožtu, padauginsime iš x-4=0, tai gausime trečios eilės lygtį x³=9x²+26x-24=0 trimis šaknimis: 2, 3 ir 4.

Mokykloje moko, kad antros eilės daugianarius, turinčius šaknis x₁ ir x₂, galima pateikti dviejų pirmos daugianarių sandauga:
x²+px+q=(x-x₁)(x-x₂)
pvz.,
x²-x-2=(x+1)(x-2)

Tačiau kartais nutinka, kad kvadratinis trinaris neturi šaknų ir jo taip išskaidyti negalima. O aukštesnio laipsnio daugianariams teisinga tokia teorema:

Bet kurį daugianarį xⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ galima išdėstyti sandauga daugianarių, turinčių formą x-a ir antros eilės neturinčių šaknų x²+px+q, - ir toks išdėstymas yra vienintelis: du tokie išdėstymai skiriasi tik daugiklių laipsniu.

Pavyzdžiai:
x³+1=(x+1)(x²-x+1) - viena šaknis;
x³- 6x²+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)) - 3 šaknys;
x⁴+1=(x²-sqrt(2)+1)( x²+sqrt(2)+1) – 0 šaknų

Iš šios teoremos seka, kad daugianaris gali turėti daugiausia n šaknų – tuo atveju, jei išsiskaido į n pirmos eilės daugianarių (jei kai kurie daugikliai kartojasi – šaknų mažiau; kaip ir tuo atveju, jei yra neišskaidomų antros eilės daugianarių).

Gerokai vaizdingesnę formą ši teorema įgauna įtraukus kompleksinius skaičius. Tada jau bet kuris kvadratinis trinaris (su realiaisiais ar kompleksiniais koeficientais) turi dvi kompleksines šaknis ir išskaidomas į pirmo laipsnio daugiklius. Pvz., x²+4=(x+2i)(x-2i)

Bet kurį daugianarį xⁿ+a_n-1x^n- 1+… +a₁x+a₀ galima išdėstyti n daugiklių, turinčių formą (x-b_i), sandauga.

Fundamentalioji aritmetikos teorema (FAT) yra apie bet kurio natūrinio skaičiaus išdėstymą (vieninteliu būdu!) pirminiais daugikliais (apie ją plačiau skaitykite >>>>>).
Pvz., 2016=2⁵*3²*7

Šia teorema, iš esmės, naudojamės prastindami trupmenas, bei ieškodami didžiausio bendro daugiklio. Tiesa, dažniau naudojamės išvestiniu teiginiu: Jei sveikų skaičių sandaugą dalo kažkoks skaičius, tai jis dalo kurį nors iš daliklių (aišku, gali ir abu).

Griežtą pagrindinės algebros teoremos įrodymą 1799 m. pateikė K. Gausas (1777-1855); jis taip pat suformulavo ir įrodė fundamentaliąją aritmetikos teoremą (1801), - nors ji buvo aiški ir žinoma dar nuo antikos laikų, tačiau tik Gausas susivokė apie išdėstymą vieninteliu būdu.

Tačiau pasirodo, kad yra tokių skaičių sistemų, kuriose FAT analogai nustoja galioti – pvz., skaičių sistema, kurios nariai turi formą a+b*sqrt(-5) (a, b - sveikieji skaičiai), kurioje sudėties ir daugybos operacijos atliekamos taip pat, kaip su kompleksiniais skaičiais. Joje, tarkim 21 išdėstomas dviem galimais būdais: a) 21=3*7; b) 21=(4+sqrt(-5))(4-sqrt(-5))
Pastaba: šiai sistemai priklauso visi sveikieji skaičiai, nes jie gali būti užrašomi k=k+0*sqrt(-5)

Beje, atkreipsime dėmesį, kad Gauso skaičių (t.y., turinčių formą a+b*sqrt(-1)) atveju FAT analogas galioja.
Beje, formuluojant FAT analogus, reikia atkreipti dėmesį į atvirkštinius skaičius, t.y. tokius, kurių sandauga lygi 1. Todėl formuluojant FAT reikia pabrėžti, kad visi skaičiai > 1, o pagrindinėje algebros teoremoje – aukščiausio laipsnio koeficientas yra 1.

Pagrindinė matematinės analizės teorema jau labiau nutolusi – tai vadinamoji Niutono-Leibnico teorema (NLT), leidžianti rasti kreivių ribojamą plotą. Tai, kad skirtingi geometriniai uždaviniai – išvestinių (liestinių) ir ploto (integralų) suradimo – yra abipusiškai susiję, pirmieji pastebėjo I. Niutonas ir Izaokas Barrou. Tačiau formulės pavidalu ją nepriklausomai vienas nuo kito užrašė I. Niutonas ir Leibnicas.

NLT teigia, kad jei tolydi intervale [a, b] teigiama funkcija f, esanti funkcijos F išvestine tame intervale, tai po ja esančios srities plotas S paskaičiuojamas formule

Pvz., F(x)=x³/3 funkcijos išvestinė yra f(x)=x² - ir intervale [0; 1] plotas po ja lygus:
Srities plotas

Tą plotą pirmąkart paskaičiavo, nieko nežinodamas apie integralus, Archimedas. Įdomu, kad jis šį uždavinį skirtinguose kontekstuose sprendė tris kartus, neįtardamas, kad sprendžia tą patį uždavinį.

Pirmykštės funkcijos (F) duotai f funkcijai suradimas (integravimas) tapo svarbiu analitiniu uždaviniu. Racionalioms funkcijoms ji susijusi su pagrindine algebros teorema: pirminę trupmenine forma sudarančiąją funkciją visada galime išreikšti elementariomis funkcijomis (įtraukiant logaritmą ir arktangentą), tačiau tam reikia žinoti skaitiklio išskaidymą į tiesinius ir kvadratinius daugiklius.